§2. Свойства функций, заданных в евклидовом пространстве.

Многие понятия, определенные для функции одной переменной, почти без изменения переносятся на функции нескольких переменных, заданных в евклидовом пространстве. Так, функция одной переменной может быть четной, нечетной, возрастающей, убывающей, ограниченной и т.д. Как выглядят эти понятия для функции нескольких переменных?

Прежде чем дать определение возрастающей (убывающей) функции на множестве Е^п, должно быть определеноотношение порядка:Х₁ < Х₂ понимается как строгое неравенство для всех компонент векторов:x₁¹< x₁², x₂¹< x₂², . . . , x_n¹< x_n².Тогда определение возрастающей (убывающей) функции нескольких переменных полностью аналогично соответствующему определению для функции одной переменной:

Определение.Функцияy(X) называется возрастающей (убывающей) на множествеD Ì Е^п, если"Х₁, Х₂ Î D, таких чтоХ₁ < Х₂ следует, чтоy(X₁) < y(X₂) (y(X₁)>y(X₂));функцияy(X) называется неубывающей (не возрастающей) на множествеD Ì Е^п, если"Х₁, Х₂ Î D, таких чтоХ₁ £ Х₂ следует, чтоy(X₁) £ y(X₂) (y(X₁)³ y(X₂)).

Определение.Функцияf(X), область определения которой(D(f))симметрична относительно нуля называется четной (нечетной), еслиf(-X) = f(X) (f(-X) = -f(X))для любогоXÎ D(f).

Определение.Функцияf(X)называется ограниченной сверху (снизу) на множествеD, если существует такоечисло m, чтоf(X) £ m (f(X) ³ m) " X Î D.

Определение.Функцияf(X), ограниченная и сверху и снизу на множествеDназывается ограниченной на этом множестве, еслиm₁ £ f(X) £ m₂, " X Î D(m₁, m₂ – некоторые числа).

Определение.Функцияf(X)называется выпуклой (вогнутой ) на выпуклом множествеD, если"Х₁, Х₂ Î Dи любого числа0 £ l £ 1верно, чтоf(lX₁ + (1-l)X₂) £ lf(X₁) + (1-l)f(X₂) (f(lX₁ + (1-l)X₂) ³ lf(X₁) + (1-l)f(X₂)).

Замечание.Из функции нескольких переменных можно получить несколько функций одной переменной: пусть функцияy = f(x₁, x₂, . . . , x_n)– функцияnпеременных. Зафиксируем значения переменныхx₂ = x₂⁰, x₃ = x₃⁰, . . . , x_n = x_n⁰, ах₁– пусть изменяется. Тогда получим функцию одной переменной: y₁ = f(x₁, x₂⁰, x₃⁰, . . . , x_n⁰) = y₁(x₁).Аналогично можно получить функциюy₂(x₂), зафиксировав значения переменныхх₁, х₃, . . . ,х_n, и т.п. Значит, выражение «функцияy = f(x₁, x₂, . . . , x_n)возрастает пох₁» означает, что возрастает функцияy₁(x₁)приx₂ = x₂⁰, x₃ = x₃⁰, . . . , x_n = x_n⁰.

Графическое изображение функции более чем двух переменных невозможно. В случае же если функция f– функция двух переменныхx иy, а значения ееz, тоz = f(x,y) и график этой функции – поверхность в пространствеR³, состоящая из точек(x,y,z), где(x,y) Î D(f) (D(f) – область определения функции).

Например.

1. z = x² + y² – параболоид.

Область определенияD(z)– множество всех точек плоскостиOXY.

Область значений E(z): [0; +¥).Z

Y

О

X

2) - эллиптический конус.

Область определения D(z)– множество всех точек плоскостиOXY.

Область значенийE(z): (-¥; +¥).Z

OY

X

3) x² + y² + z² = R²– сфера с центром в точкеО(0;0;0)и радиусаR.

Z

OY

X

4)- эллипсоид с центром в точкеО(0;0;0).

Z

Y

OO

X

Для образного представления функции многих переменных используются линии заданного уровня.

Определение.Линией уровня функциидвухпеременныхz = f(x,y)называется плоская кривая, получаемая при пересечении графика этой функции с плоскостью, параллельной плоскостиOXY: z = C,гдеC = const.

Из определения следует, что линия уровня – это линия, в каждой точке которой значение функции не изменяется ( = С ).

Обычно линии уровня, соответствующие различным значениям С, проецируются на плоскостьOXY, тогда с их помощью можно исследовать характер поверхности, описываемой функциейz = f(x,y). Т.о. линии уровня функцииz = f(x,y)– это семейство кривых на координатной плоскостиOXY, описываемые уравнениями вида f(x,y)= С.

Аналогично вводится понятие поверхности уровнядля функцииnпеременных:

Пусть y = f(x₁, x₂, . . . , x_n)– функцияnпеременных иС– какое-либо число, тогда f(x₁, x₂, . . . , x_n)=С – уравнение поверхности уровняС.

В частности, если n= 3:u = f(x, y, z)– функция 3-х переменных, то уравнение поверхности этой функции уровняC:f(x, y, z)=С– это уравнение поверхности в 3-ех мерном пространстве