- •Высшая математика (краткий курс лекций)
- •§2. Ограниченные, монотонные последовательности.
- •§3. Число е.
- •§4. Понятие предела функции.
- •4.5. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
- •§5. Сравнение бесконечно малых функций.
- •§6. Некоторые замечательные пределы.
- •§7. Непрерывность функции в точке.
- •§8. Точки разрыва и их классификация.
- •§9. Непрерывность функции на интервале и на отрезке.
- •Глава 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •§1.Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
- •§2. Основные правила дифференцирования.
- •§3. Дифференциал функции.
- •§4. Формула Тейлора. Тейлор (1685-1731) – английский математик
- •§5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •§6. Теоремы о среднем.
- •§7. Раскрытие неопределенностей.
- •§8. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Глава 5. Исследование функций с помощью производной.
- •§1. Возрастание и убывание функций.
- •§2. Точки экстремума.
- •§3. Выпуклость и вогнутость кривой.Точки перегиба.
- •§4. Асимптоты.
- •§5. Схема исследования функций
- •§ 5. Применение производной в экономике
- •Свойства эластичности
- •Решение.
- •Глава 6. Функции нескольких переменных и многомерные пространства.
- •§1. Основные понятия.
- •§2. Свойства функций, заданных в евклидовом пространстве.
- •§3. Частные производные функции нескольких переменных.
- •§4. Понятие дифференцируемости функции нескольких переменных.
- •Замена факторов по функции Кобба-Дугласа.
- •Геометрический смысл полного дифференциала.
- •§5. Производная по направлению, градиент функции.
- •Пусть j- угол междуgrad uиl, тогда:
- •§6.Частные производные высших порядков.
- •§7. Экстремумы функции нескольких переменных
- •Теорема 1 (необходимый признак экстремума функции многих переменных):
- •Функция l(X) называется функцией Лагранжа.
- •Глава 7. Неопределенный интеграл
- •§1. Понятие неопределенного интеграла
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •§2. Таблица основных интегралов
- •§3. Простейшие правила интегрирования
- •§4. Интегрирование подстановкой (заменой переменной)
- •§5. Метод интегрирования по частям
- •§6. Интегрирование элементарных дробей.
- •§7.Интегрирование рациональных дробей.
- •§8. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •1) Интеграл вида .
- •2) Интеграл вида если
- •3) Интеграл вида если
- •4) Интеграл вида
- •5) Интеграл произведения синусов и косинусов
- •§9. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
- •Глава 8. Определенный интеграл
- •§1. Определение определенного интеграла.
- •§2. Геометрический смысл определенного интеграла.
- •§3. Формула Ньютона-Лейбница.
- •§4. Основные свойства определенного интеграла.
- •8. Теорема Барроу. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подинтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.Е.
- •§5. Вычисление определённого интеграла.
- •§6. Геометрическое применение определённого интеграла.
- •§7. Несобственные интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы первого рода).
- •§8. Кратные интегралы.
§4. Понятие дифференцируемости функции нескольких переменных.
Пусть функция y = f(X)определена в точкеM(X)и в некоторой ее окрестности. Составим полное приращение функции в точкеМ(Х)= M(x1, x2, . . . , xn). Для этого дадим приращения каждой независимой переменнойDМ(Dх1, Dx2, . . . , Dxn). В результате получим «новую» точкуМ + DМ = (x1+Dx1, x2+Dx2, . . . , xn+Dxn), которая принадлежит данной окрестности точкиМ. Тогдаполным приращением Dy функцииy = f(X)в точкеM(X) будет являться разность:
Dy = f(M+DM) – f(M) = f(x1+Dx1, x2+Dx2, . . . , xn+Dxn)-f(x1, x2, . . . , xn)(1).
Определение.Функцияy = f(X)называетсядифференцируемойв точкеM(X), если ее полное приращение(1)в этой точке можно представить в виде:
Dy =++. . .+ +a1Dx1+a2Dx2+ . . .+ anDxn (2),
где a1, a2, . . . an– бесконечно малые функции соответственно приDx1 ® 0, Dx2 ® 0, . . . Dxn ® 0.
Сумма первых nслагаемых в равенстве(2) представляет собойлинейноевыражение относительноDx1, Dx2, . . . , Dxn и являетсяглавной линейной частьюполного приращения функцииy = f(X), которое называетсяполным дифференциаломэтой функции и обозначаетсяdy или df(X):
dy = =++. . .+ (3).
Для независимых переменных x1, x2, . . . , xn полагаютDx1 = dx1, Dx2 = dx2, . . . , Dxn = dxn,тогда формулу(3)можно переписать в виде:
dy = =++. . .+ (4).
Теорема 1. (необходимое условие дифференцируемости функции)
Если функция y = f(X)дифференцируема в точкеM(X), то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные ,i = 1,2,…n.
Доказательство.
Пусть выполняется условие (2)и - некоторые числа (i = 1,2,…n).
Из условия (2)следует, что частные приращения функцииy = f(X)в точкеМ, соответствующие приращениюDхiлюбого изnаргументовxi, i = 1,2,…n,будут иметь вид:
Dхiy = +aiDxi, т.к.Dxi ¹ 0, а всеDxj = 0,еслиj ¹ i.
Тогда . УстремимDxi®0и перейдем к пределу
, т.к. по определению(2).
Непрерывность функции f(X)в точкеМследует непосредственно из условия(2):
т.е. Dy ® 0 приDxi ® 0, i = 1,2, . . . , n.Ч.т.д.
Теорема 2. (достаточное условие дифференцируемости функции)
Если функция y = f(X)имеет частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности точкиМ(Х), причем эти производные непрерывны в самой точкеМ(Х), то данная функция дифференцируема в точкеМ(Х).(без доказательства).
Теорема 2 имеет важное следствие: непрерывность функции вытекает из непрерывности ее частных производных.
Непрерывность функции нескольких переменных напрямую проверить бывает довольно сложно, но, используя данное следствие, можно установить это свойство функции, если проверить непрерывность ее частных производных.
Замена факторов по функции Кобба-Дугласа.
Установим, на какую величину следует изменить объем вложенного капитала K, чтобы при изменении трудовых ресурсов наDL выпуск продукции оставался неизменным.
Функция Кобба-Дугласа: Q = AKaL1-a.
dQ = =+.
Полагая Q(выпуск) неизменным(const)получаем, что дифференциал этой функции равен 0, т.е.dQ = 0или +=0 Þ .
Итак (5)
или в относительных величинах: , что означает:
если ресурс труда изменится (например, увеличится) на 1%, то ресурс капитала следует изменить (уменьшить) на % для того, чтобы выпуск продукции остался неизменным.
Из (5) следует формула - предельная норма замены трудовых ресурсовL капиталом K.