Глава 6. Функции нескольких переменных и многомерные пространства.

§1. Основные понятия.

Приведем примеры функций нескольких переменных:

а) объем параллелепипеда: V = abc, гдеa,b,c– его длина, ширина и высота;

б) сила гравитационного притяжения между телами: , гдеm₁ и m₂ – массы тел,R– расстояние между телами,g- гравитационная постоянная.

Это примеры функций трех переменных. Введем понятие функции nпеременных на примере пространства товаров.

Будем считать, что имеется n различных товаров. Количествоi– го товара обозначим x_i(i = 1,2, . . . n).Тогданабор товаровобозначимX = (x₁, x₂, . . . , x_n)– его можно рассматривать какn– мерный вектор. Множество всех наборов товаров{X}называетсяпространством товаров.ВекторыХназываются элементами этого пространства. Любые два набораX₁ = (x₁¹, x₂¹, . . . , x_n¹)иX₂ = (x₁², x₂², . . . , x_n²)можно сложитьХ₁ + Х₂ по правилу сложения векторов и умножить любой набор товаров на любое неотрицательное число, последнее означает безграничную делимость товаров, т.е. товары «устроены» наподобие сахарного песка, а не автомобилей. Если в пространстве для всех его элементов определены операции сложения и умножения на число со всеми своими свойствами, то такое пространство называетсялинейным(Rⁿ).Таким образом, пространство товаров является линейным.

Пусть каждый товар имеет цену p_i (i = 1,2, . . . n, p_i > 0).Тогда векторP = (p₁,p₂,_{, . . . ,}p_n) – называется вектором цен. Набор товаровХи вектор ценРимеют одинаковую размерность. Тогда их скалярное произведениеPX = p₁x₁ + p₂x₂ + . . . +p_nx_n есть число, которое называетсяценой набораили егостоимостьюи обозначаетсяС(Х). Если в линейном пространстве определена операция скалярного произведения, то такое пространство называетсяевклидовым(Eⁿ).Пусть вектор цен известен, т.е. ценыp₁,p₂,_{, . . . ,}p_n – данные (фиксированные) величины, тогда стоимость набора товаров есть функцияnнеизвестных:С(Х) = p₁x₁ + p₂x₂ + . . . +p_nx_n.

Приведем примеры многомерных функций, используемых в экономике (их одномерные аналоги мы уже рассматривали).

Функция полезностиu(X) = u(x₁, x₂, . . . , x_n)– субъективная числовая оценка данным индивидом полезности набора товаровХ = (x₁, x₂, . . . , x_n).

Функция издержекC(Y) = C(y₁, y₂, . . . y_n)– зависимость издержекСот объемов выпускаемой продукцииY = (y₁, y₂, . . . y_n).

Производственная функция y = F(X) = F(x₁, x₂, . . . , x_n) - зависимость объема выпускаемой продукцииyот объемов перерабатываемых ресурсовХ = (x₁, x₂, . . . , x_n).Наиболее известная производственная функция –функция Кобба-Дугласа:

y = AK^aL^1-a, гдеA,a -неотрицательные константы,K– объем вкладываемого в производство капитала,L –объем вкладываемых трудовых ресурсов.

Определение.Если каждому векторуХ = (x₁, x₂, . . . , x_n) из множестваD, являющегося подмножеством евклидова пространстваЕⁿ, по некоторому правилу (закону)fпоставлено в соответствие одно и только одно числоyÎ E Ì R, то говорят, что на множествеD задана (определена) функцияnпеременных:y = f(x₁, x₂, . . . , x_n)илиy = f(X).

При этом x₁, x₂, . . . , x_n – независимые переменные (аргументы),y –зависимая переменная (функция).

Множество D – называетсяобластью определения функции; множество значений, принимаемых функциейE,называетсяобластью изменения функции.

Введем понятие предела функции нескольких переменных.С этой целью рассмотрим топологиюn– мерного пространства.

Топология пространства – это вопрос о том, как оно устроено с точки зрения предельного перехода. Топология евклидова пространства Е^почень похожа на топологию пространства действительных чиселR, только модуль числахзаменяется длиной вектораХ = (x₁, x₂, . . . , x_n):.Основные определения:

Определение.e(эпсилон) – окрестностью точкиAÎ Е^п называется множество всех точекX, для которых выполняется условие, т.е. этоn– мерный шар радиусомeи центром в точкеA.

Определение.ТочкаAназываетсявнутренней точкой множестваDÌ Е^п, если для этой точки существуетe- окрестность, все точки которой принадлежат множествуD.

Определение.ТочкаAназываетсяграничной точкой множестваDÌ Е^п, если любая ееe- окрестность содержит как точки множестваD, так и точки пространства, не принадлежащие ему.

Определение.МножествоD Ì Е^пназываетсяоткрытым, если все точки этого множества – внутренние.

Определение.МножествоD Ì Е^пназываетсязамкнутым, если все граничные точки этого множества принадлежат ему.

Определение.МножествоD Ì Е^пназываетсяограниченным, если найдется такое числоК, что для всехХÎ Dвыполняется условиеêХê£ К.

Можно рассмотреть последовательностьэлементов евклидова пространства:

Х₁, Х₂, . . . Х_n . . . = {X_n}.

Определение.ЭлементA Î Rⁿназывается пределом последовательности{X_n}Ì Е^п,если для любогоe > 0найдется такой номерN, что для всех номеровn > Nвыполняется условие. Обозначается:.

Определение.Числоа называется пределом функцииy = f(X) приХ ® А (Х и А Î Е^п),если для любогоe > 0найдется такоеd > 0, что для всехХ, для которых выполняется неравенствоследует выполнение условия. Обозначается:.

Определение.Функцияy = f(X) называетсянепрерывнойв точке А (А Î Е^п),если она определена в этой точке и.

Определение.Пустьa(Х) – функция, определенная в евклидовом пространстве (Х Î Е^п). Тогда величинаaназываетсябесконечно малойв точкеА (А Î Е^п),если.

Основные свойства пределов и непрерывности, бесконечно малых величин, рассмотренные ранее для функции одной переменной, справедливы (с соответствующими поправками) для функции многих переменных. Это позволяет определить понятия дифференциального исчисления для числовых функций нескольких переменных, аналогично тому, как это было сделано для функции одной переменной.