Глава 8. Определенный интеграл

§1. Определение определенного интеграла.

Пусть функция y=f(x)определена и непрерывна на отрезке [a,b],a<b.

Выполним следующие действия:

1. Точками разобьем отрезок [a,b] наn частичных отрезков

X

a=x₀ x1 x2 xi-1 xi b=x_n

2. На каждом частичном отрезке выберем произвольную точкуc_i  [x_i-1; x_i] и вычислим значения функцииf(с_i).

3. Умножим найденные значения функции f(c_i)на длину соответствующего единичного отрезкаx_i = x_i – x_i-1. Т.е. получим произведение:f(c_i)x_i.

4. Просуммируем полученные произведения. Получим (1)

Полученную сумму (1) называют интегральной суммойфункцииy=f(x)на отрезке [a,b].

5. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка: λ=max{ } (i=1, 2..n).

λ - шаг разбиения.

6. Перейдем к пределу интегральной суммы (1) при    (при этомn  ):

(2)

Если предел (2) существует, то он называется определенным интеграломфункцииy=f(x)на отрезке [a,b] иобозначается

Определение. Определенным интегралом называется число, равное пределу интегральной суммыпри шаге разбиения  0, если этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка [a,b] на частичные отрезка ни от выбора внутренних точек сi.

Таким образом, согласно определению: (3). Сама функцияf(x) при этом называетсяинтегрируемой на отрезке[a,b].

Числа aи bназываются соответственнонижнимиверхним пределами интегрирования; f(x) – подинтегральной функцией; f(x)dx – подинтегральным выражением; x – переменной интегрирования; отрезок [a,b] –областью (отрезком) интегрирования.

При фиксированных пределах интегрирования aи bопределенный интеграл (3) есть постоянное число. Определение определенного интеграла при помощи схемы 1. – 6. принадлежит Римману, поэтому интеграл (3) называется риммановым. Существуют и другие конструкции интегралов. Нам они не понадобятся.

Сформулируем теорему существования определенного интеграла:

Теорема (Коши). Если функцияf(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке, т.е. определенный интегралсуществует.

Некоторые свойства определенного интеграла, следующие непосредственно из его определения (3):

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

.

3. Если подинтегральная функция равна единице, то определенный интеграл этой функции по отрезку [a,b] равен длине этого отрезка, т.е.:

.

§2. Геометрический смысл определенного интеграла.

Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функцияy = f(x)0. Фигура, ограниченная сверху графиком функцииy = f(x), снизу – осьюОх, сбоку прямымиx = aи x = b, называетсякриволинейной трапецией.

y

y = f(x)

0 x

Найдем площадь этой трапеции S.

Если функция f(x)0 на отрезке [a,b], тогда интегральная сумма

(1) геометрически представляет собой площадь ступенчатой фигурыS_n:

y

0 a c₁x₁ c₂x₂ x_i-1 c_i x_i x_n-1c_n b x

Площадь криволинейной трапеции Sприближенноравна площади ступенчатой фигуры:

.

С уменьшением всех величин x_iточность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличивается. Поэтому за точное значение площадиSкриволинейной трапеции принимается пределS, к которому стремится площадь ступенчатой фигурыS_nпри неограниченном возрастанииn  так, что  0:

.

Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла.