2 Дәріс . Істен шығудың негізгі таралым заңдылықтары. Сенімділік көрсеткіштері.

Сенімділікті талдаудың негізінде кездейсоқ шамалар мен кездейсоқ оқиғалар жатыр. Кездейсоқ оқиғалар ретінде сынақ кезінде алынатын нәтижелерді алуға болады. Сынақ кезінде кездейсоқ оқиғалар орын алуы немесе алмауы мүмкін. Кездейсоқ оқиғалар (істен шығу, қалыпқа келтіру т.с.с.) өз кезегінде кездейсоқ ағындарды және кездейсоқ процесстерді құрайды. Оқиғалар ағыны деп, қандайда бір уақыт мерзімінде орын алатын оқиғалардың тізбегін айтады. Мысалға, қалыпқа келтірілетін жүйелердегі істен шығу оқиғалары істен шығу ағынын құрайды. Істен шығу және қалыпқа келтіру ағындарының нәтижесінде жүйе түрлі күйде болуы мүмкін (толық істен шығу, жартылай істен шығу, жұмыстық күй т.с.с.). Жүйенің бір күйден екінші күйге ауысуын кездейсоқ процесс дейміз. Кездейсоқ шама деп, тәжрибе кезінде алынатын нәтижелерді сипаттайтын айнымалы шамаларды айтады. Кездейсоқ шамаларды функция деп алсақ, онда аргумент ретінде кездейсоқ оқиғаларды алуға болады. Кездейсоқ шамалар дискретті (мысалға, белгілі уақыт аралығындағы істен шығу сандары) және үздіксіз (жүйенің істен шыққанға дейінгі жұмыс уақыты, жүйелерді қалыпқа келтіру уақыты, т.с.с.) болып бөлінеді.

Кездейсоқ шамалардың таралым заңдылықтары деп, кездейсоқ шама мен олардың ықтималдылықтарының араларындағы байланысты тағайындайтын сипаттаманы айтады. Таралым заңдылықтары формулалармен, кестелермен, гистограммалармен берілуі мүмкін.

Дискретті кездейсоқ шамалар _Х мен олардың ықтималдылықтарының р(х) араларындағы байланыс дискретті болып келеді. Мысалға, дискретті шамалар үшін ықтималдылықтың үлестіру заңдылығы былайша беріледі

_{Х1 Х2 Х3 Х4 .......}

Р(_Х1) Р(_Х2) Р(_Х3) Р(_Х4) _.......

Үздіксіз кездейсоқ шамалар үздксіз таралым функцияларымен сипатталады. Кездейсоқ шаманың Х таралым функциясы F(x) деп, келесі функцияны айтады.

F(x) = P(X ≤ x).

мұндағы Х кездейсоқ шама, х алдын-ала берілген нақты айнымалы шама.

F(x) функциясы кездейсоқ шаманың Х берілген қандай да бір мәннен х кем немесе тең болу ықтималдылығын береді. F(x) функциясын кейде таралымның интегралдық заңдылығы депте атайды. Бұл заңдылық 0-мен 1-дің аралығында монотонда өспелі болып келеді де, келесі мәндерді қанағаттандырады: F(-∞)=0 және F(+∞)=1. 2.1 суретте F(x) функциясының графигі келтірілген. F(x)

1

x

0

2.1 сурет. F(x) функциясының графигі

Егер F(x) функциясы дифференциалданатын болған жағдайда, онда таралымның дифференциалдық заңдылығы (кездейсоқ шаманың таралым тығыздығы) былайша анықталады

Таралым заңдылықтары үшін келесі қатынас тура

Сенімділіктің теориясында негізінен кездейсоқ шамалардың келесі таралым заңдылықтары кездеседі: экспоненциалдық таралым, қалыпты таралым (Гаусс таралымы) және Вейбулла таралымы.

Экспоненциалдық таралымда жүйенің алғашқы істен шыққанға дейінгі жұмыс уақытының таралым функциясы былайша анықталады

(2.1)

Мұндағы λ – таралым параметрі.

Таралым тығыздығы

(2.2)

2.2 суретте F(x) және f(x) функцияларының графиктері келтірілген

F(x), f(x)

1 F(x)

λ

0 f(x) 2.2. сурет F(x) және f(x) функцияларының графигі

х

Экспоненциалдық заңдылықта таралым параметрі λ=const, сол себептен бұл заңдылықтың колданыс аймағы – жүйелердің қалыпты эксплуатациялау периодына сәйкес келетін қезең (істен шығу қарқыны тұрақталған период ).

Қалыпты таралым (Гаусс таралымы). Бұл таралым жүйелердің қажалып тозу (износ) және қартаю периодтарына сәйкес келетін кезеңдеріндегі жұмыстарының сенімділігін бағалауда қолданылады. Қалыпты таралым бойынша, кездейсоқ шамалардың таралым функциясы F(x) мен таралым тығыздығы f(x).былайша анықталады

(2.3)

(2.4)

мұндағы және m – қалыпты таралымның параметрлері

Функциялардың графиктері 2.3 суретте көрсетілген

F(x), f(x)

1 λ

F(x)

f(x) 2.3 сурет. F(x) және f(x)функцияларының графигі

0 х

Практикалық есептеулерде F(x) және f(x) функцияларының мәндерін табу кезінде таралымның нормалданған функциясы Ф(z) қолданылады (Ф(z) функциясының мәні арнайы кестеден алынады).

F(x)=Ф(z) және (2.5)

мұндағы ;

Ф(z) функциясының келесі қасиеті бар : Ф(-z) = 1- Ф(z).

Қалыпты таралым кездейсоқ шамалардың -∞ - тен +∞ - ке дейін өзгергендегі заңдылығын сипаттайды. Ал сенімділік теориясында кездейсоқ шаманың (уақыт) өзгеру интервалы 0- ден +∞ - ке дейін. Сол себептен практикалық есептеулерде қысқартылған қалыпты заң (усеченное нормальное распределения) қолданылады. Әдетте қысқартылған қалыпты заңның дәлдігі жоғарылайды, егерде келесі шарт орындалса m<3σ .Егер бұл шарт орындалмаса, онда кәдімгі қалыпты таралым заңдылығын қолдану қажет

Қысқартылған қалыпты заң бойынша F(x) және f(x) функциялары былайша анықталады

(2.6)

(2.7)

мұндағы қысқартылған таралымның тұрақтысы

Вейбулла таралымы. Бұл таралым жүйелерді жеделтетіп сынақтан өткізу кездерінде олардың сенімділігін анықтауда, жүйелердің қажалып тозу (износ) және қартаю периодтарына сәйкес келетін кезеңдеріндегі жұмыстарының сенімділігін бағалауда, сонымен қатар істен шығу ағындары стационар болмаған жағдайда (уақыт бойынша өзгеріске ұшырағанда) қолданылады. Вейбулла таралымы бойынша F(x) және f(x) функциялары былайша анықталады.

(2.8)

(2.9)

2.4 суретте F(x) және f(x) функцияларының графигі көрсетілген

F(x), f(x)

1

f(x) (к >1)

F(x) 2.4. сурет F(x) және f(x) функцияларының графиктері

0x

Вейбулла таралымы екі параметрлік таралым. Таралымның k параметрі таралым тығыздығының формасын (ассиметриясы мен экцессін), ал α параметрі – масштабын айқындайды.

Егер k=1 болса, Вейбулла таралымы экспоненциалдық таралыммен сәйкес келеді. Кездейсоқ шамалардың (жұмыс істеу уақыттары) таралым заңдылықтары белгілі болған жағдайда, сенімділік көрсеткіштерінің сандық мәндері сәйкесінше формулалармен анықталады.

Әдебиеттер нег. 1 [23-29]

Бақылау сұрақтары

1.Кездейоқ шамалар мен оқиғалар туралы түсініктемелер

2.Сенімділік теориясында жиі кездесетін кездейсоқ шамалардың таралым заңдылықтары.

3. Экспоненциалдық таралым.

4. Қалыпты таралым.

5. Вейтулла таралымы