Раздел 2. Случайные величины

Тема 3. Дискретная случайная величина

Контрольные вопросы

1. Виды случайных величин.

2. Задание дискретной случайной величины.

3. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

4. Биномиальное распределение.

5. Распределение Пуассона.

6. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

7. Дисперсия дискретной случайной величины.

8. Среднее квадратическое отклонение.

Примерные практические задания

1. Охотник, имеющий 3 патрона, стреляет по цели до первого попадания (или пока не израсходует все патроны). Найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х) числа израсходованных патронов, если вероятность попадания при каждом выстреле равна ¼.

2. Стрелок производит по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить ряд распределения случайной величины Х - числа попаданий. Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X), функцию распределения F(X) случайной величины Х.

3. В урне имеется четыре шара с номерами от 1 до 4. Вынули два шара. Случайная величина Х - сумма номеров вынутых шаров. Построить ряд распределения случайной величины Х. Найти среднее квадратическое отклонение

4. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее пять раз вынимают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают в урну и перемешивают. Величина Х – число вынутых белых шаров. Найти М(Х) и D(X).

5. В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули шар. Случайная Х – число вынутых белых шаров. Построить функцию распределения F(x).

6. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобрали 3 детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – число стандартных деталей среди отобранных. Найти М(Х), D(X), F(x).

7. В урне 2 белых и 1 черный шар. Наугад выбирают шар, если он не белый, снова возвращают в урну. После перемешивания наугад выбирают, если он не белый, снова возвращают и т.д. Х – число опытов до появления белого шара. Найти М(Х).

Тема 4. Непрерывная случайная величина

Контрольные вопросы

1. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.

2. Закон больших чисел.

3. Определение функции распределения, её свойства и график.

4. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

5. Нормальное распределение.

6. Теорема Ляпунова.

7. Центральная предельная теорема.

8. Распределение Стьюдента.

9. Распределение Фишера-Снедекора.

10. Показательное распределение. Функция надёжности и показательный закон надёжности.

Примерные практические задания

1. Случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью f(x), причем

Найти: а) коэффициент а; б) функцию распределения F(x); в) вероятность попадания Х в интервал (1;2).

2. При каком значении а функция является плотностью вероятности случайной величиныХ? найти .

3. Случайная величина задана плотностью распределения Найти коэффициента и функцию распределения F(x).

4. Случайная величина Х задана функцией распределения НайтиМ(Х), D(X). Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал (1,5;2).

5. Случайная величина Х распределена по показательному закону НайтиF(x), М(Х), D(X).

6. Случайная величина Х задана функцией распределения НайтиМ(Х).

7. Автобусы некоторого маршрута идут по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.

8. Поезда метро идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени, никак не связанный с расписанием поездов. Найти среднее время ожидания поезда. Найти вероятность того, что ждать придется не больше 0,5 минуты.

9. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02А.

10. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.

11. Найти математическое ожидание случайной величины Х, распределенной равномерно в интервале (2; 8).

12. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенную равномерно в интервале (2; 8).

13. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону приипри. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

14. Найти математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по показательному закону, если функция распределения имеет вид

15. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение . Найти вероятность того, что зач элемент: 1) откажет; 2) не откажет.