19. Вычисление интегралов и решение уравнений

19.1. Методы вычисления определенных интегралов

Приближённое вычисление определенного интеграла основано на геометрическом смысле интеграла и сводится к приближенному вычислению площади, ограниченной графиком подынтегральной функцииf(x), прямыми x = a = x₀, x = b = x_n и осью OX (рис. 19.1).

И

Рис. 19.1. График подынтегральной функции

нтервал[a, b] делится на n равных частей длиной .

Тогда значениям x_i = x_i-1 + h, i = 1,2, ..., n соответствуют значения y_i = f(x_i).

Метод прямоугольников. Согласно методу левых прямоугольников, искомая площадь вычисляется как сумма площадей прямоугольников, основание которых равно h, а высота равна соответственно y₀ для первого прямоугольника, y₁ – для второго и т.д. вплоть до последнего с высотой y_n-1. Тогда

Для метода правых прямоугольников аналогично

Метод трапеций. По методу трапеций определяется сумма площадей трапеций, основаниями которых являются ординаты y₀, y₁ и т. д., а высоты равны h:

Погрешность метода оценивается как , гдеМ – максимальное значение второй производной f(x) на отрезке [a,b]. Используя это соотношение, можно определить количество точек, на которое делится отрезок, исходя из заданной погрешности.

З

начение интеграла, вычисленное по формуле трапеций, равно среднему арифметическому от значений интеграла, вычисленных по формулам левых и правых прямоугольников при том же разбиении.

Рассмотрим алгоритм метода трапеций (рис. 19.2):

1. Ввод a, b, n.

2. Вычисление , x = a + h,

s = 0.

3. Расчет s = s + f(x), x = x + h.

4. Если x > (b – h), то переход к пункту 5, иначе – переход к п. 3.

5. Вычисление значения интеграла

6. Вывод z.

М

Рис. 19.2. Схема алгоритма метода трапеций

2. Содержание задания

1. С помощью микрокалькулятора вычислить приближенно значение определенного интеграла из табл.1 для n=4. Номер варианта определяет преподаватель. Для нечетных по номеру вариантов использовать метод трапеций, для четных – метод парабол.

2. Написать программу, реализующую вычисление определённого интеграла соответствующим методом. Для всех вариантов принять n=20.

3. Выполнить вычисления в пакете MathCad. Результаты сравнить между собой.

Таблица 1

Номер вар.	Функция	Пределы интегри-рования	Номер вар.	Функция	Пределы интегри-рования
1	x^3+x-3	a=1, b=2	9	x^3+3x-1	a=4, b=8
2	ln(x)+x+3	a=3, b=4	10	x^3+x-1	a=3, b=4
3	x^3+2x-11	a=6, b=7	11	ln(x)+x^3	a=3, b=7
4	2ln(x)-1/x	a=8, b=9	12	e^x-2x^2-1	a=2, b=9
5	2-x^2+x	a=1, b=3	13	2x+ln(x)+7	a=2, b=4
6	5x-1+x^3	a=2, b=5	14	x^3+2x-4	a=1, b=5
7	1+e^x+x	a=3, b=8	15	2-x+ln(x)	a=3, b=7
8	x^3+x-2	a=6, b=9	16	x^2+4x+2	a=6, b=8

Приближенное решение уравнений

апеций

етод парабол (Симпсона). Согласно методу парабол интервал [a, b] делится на четное количество частей – 2n. Тогда , x_i = x_i–1 + h,

i = 1, 2, 3 …, 2n,

Алгоритм метода парабол:

1. Ввод a, b, n.

2. Вычисление , x = a + 2h, s1=0, s2=0, i=1.

3. Расчет s2 = s2 + f(x) , x = x + h, s1 = s1 + f(x), x = x + h, i = i + 1.

4. Если i < n – 1, то переход к п. 3, иначе – переход к следующему пункту.

5. Вычисление значения интеграла:

6. Вывод z.

Здесь s1 = y₃ + y₅ + … + y_2n-1, а s2 = y₂ + y₄ + … + y_2n-2.