Безруков А.В. ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

9.2.4Мера близости в задачах аппроксимации ЦОС

Втеории и практике ЦОС, как правило, используются две меры близости:

- чебышевская мера чет близости (чебышевский критерий)

чет	max p( f )		( f ) B(		, f )		min ,	(9.1)
				b
	f F						b

смысл, которой состоит в достижении минимума взвешенной (с весом p(f)) максимальной ошибки аппроксимации на всѐм интервале аппроксимации F за счѐт специально организуемой процедуры подбора коэффициентов b . При этом в 9.1 ( f ) - желаемая АЧХ, B(b , f ) - реально достижимая АЧХ;

- среднеквадратическая мера кв близости (среднеквадратический критерий)

					2		12
кв p( f )		( f ) B(b , f )				df	min ,	(9.2)
F							bk

смысл, которой состоит в достижении минимума среднего квадрата ошибки аппроксимации на всѐм интервале аппроксимации F за счѐт подбора коэффициентов b .

В выражениях (9.1÷9.2) приняты следующие обозначения:

-p(f) – весовая функция;

-ξ(f) – аппроксимируемая функция;

-B(b , f ) - аппроксимирующая функция;

-b – вектор коэффициентов, b b0 ,b1,..., bk .

Разность между аппроксимируемой и аппроксимирующей функциями

( f ) B(b, f ) ( f )

(9.3)

Называется ошибкой аппроксимации. Она может принимать как положительные значения, так и отрицательные значения. Рассмотрим геометрический смысл этих мер.

9.2.4.1 Чебышевская мера

На рисунке 9.7 а показан вариант чебышевской аппроксимации некоторой функции ξ(f) на интервале F f1, f2 при условии, что максимум

модуля ошибки аппроксимации ( f ) не должен превышать допустимой величины δ.

91

( f )

( f1)

	( f1 )
		B(b, f )
	( f1 )

f1 f2

Рисунок 9.6 а

Из рисунка и формулы (9.1) следует:

-ошибка аппроксимации может достигать максимума, как в одной точке, так и в нескольких;

-ошибка контролируется в каждой точке интервала аппроксимации F:

-ни в одной точке интервала аппроксимации ошибка не превышает чет .

Всѐ это означает, что чебышевская аппроксимация важна в тех случаях, когда необходимо знание ошибки аппроксимации в каждой точке интервала аппроксимации.

(в БИХ фильтрах – для контроля устойчивости)

9.2.4.2 Среднеквадратическая мера

На рисунке 9.7 б показан вариант среднеквадратической аппроксимации той же функции, что ( f ) , что и на рис. 9.7, б. Из рисунке и формулы (9.2) следует принципиальное отличие среднеквадратической аппроксимации от Чебышевской.

Ошибка кв не контролируется в каждой точке интервала

аппроксимации, поэтому вполне возможно, что в определѐнных местах интервала аппроксимации абсолютное значение ошибки окажется недопустимо большим, в связи с чем не исключено получение физически невозможной передаточной функции (могут появиться незатухающие свободные колебания, характерные для генератора).

92

( f ), B(b , f )

( f )

B(b , f )

f

0

f1

f2

Рисунок 9.6.б

Последним объясняется широкое использование чебышевской меры близости в разнообразных задачах аппроксимации.

9.2.5 Постановка задачи оптимального синтеза

После того, как мера близости ρ АЧХ и аппроксимироемой функции( f ) определена, сформулированная задача оптимального синтеза ЦФ может быть поставлена следующим образом: при ограничениях, диктуемых условием задачи, найти также коэффициенты b {bk } , чтобы мера близости

была минимальной.

Для чебышевской меры близости это записывается так: ограничения на полосу частот, 1

max p( )	( ) B(b, )			min	(9.4)
ˆ	ˆ	ˆ	ˆ
				b

b {bk }, k=1,2,…,K

Подобно этому для среднеквадратической меры близости имеем.

ограничения

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

df

1/ 2

min

(9.5)

p( )

( ) B(b, )

b

b {bk },

k=1,2,…,K

Таким образом, в задачах оптимального синтеза можно выделить четыре основных этапа:

1.Формулировка задачи, выполняемой фильтром (ФНЧ, ФВЧ, РФ, ПФ и т.п.) и оценка возможности еѐ решения.

2.Установка ограничений, определяющих условия решения задачи, и их математическое описания.

3.Выбор критерия близости.

93

4.Математическое описание оптимизируемой функции, которую называют целевой функцией.

Подобные задачи за редким исключением решаются аналитически, поэтому при оптимальном синтезе используются численные методы.

9.2.6. Весовая функция

Решение задачи аппроксимации требует введения весовой функции p( ˆ ) ,зависящей от частоты. Такая функция позволяет распределить ошибки по интервалам аппроксимации.

Покажем, как это можно выполнить.

Если p( ˆ ) 1, имеем - ошибки аппроксимации имеете вид:

( ) B(b , )

( ) огр

(9.6)

ˆ

ˆ

Если

p( ) 1, имеем взвешенную ошибку аппроксимации

ˆ

p( ) ( ) огр

(15.7)

p( )

( ) B(b , )

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Поделив

последнее

неравенство на p( ) , получим

абсолютную

погрешность аппроксимации

				( ) B(b , )					ˆ
						ˆ			огр
	ˆ							p( )
	( )
									огр
				( ) B(b , )
						ˆ		p( )
									ˆ

огр ,	p( ) 1
огр ,	p( ) 1

Отсюда ясно, как влияет весовая функция на погрешность аппроксимации на тех участках, где p( ˆ ) 1, погрешность аппроксимации не превышает огр , а где p( ˆ ) 1, погрешность может превышать огр ( огр - ограничения на величину ошибки).

10.Синтез КИХфильтров.

10.1Условия безыскаженной передачи.

Такие условия ставятся перед системами связи, в которых всегда стремятся к тому, чтобы сигнал передавался без искажения его формы. Рассмотрим условия передачи сигнала в временной и частотной областях.

1. Во временной области безыскаженная передача означает, что реакция системы y(nT) с точностью до постоянного коэффициента k (вещественного) представляет собой копию воздействия x(nT), чему соответствует свойство линейности системы. Однако выполнение одного этого требования еще не гарантирует отсутствие искажения. Действительно, реакция всегда появляется с задержкой на некоторое время.

ГВЗ dd ,

94

называемое групповым временем задержки относительно воздействия. При выполнении первого условия форма сигнала не будет нарушаться, если все его составляющие получат одинаковую задержку, т.е. задержка является постоянной τГВЗ = n0T. Физически постоянство группового времени задержки означает, что начальные фазы всех частотных составляющих получают пропорциональный частоте сдвиг, поэтому не нарушаются их фазовые соотношения, что приводит лишь к смещению начала реакции на время τГВЗ.

На этих основаниях формальное выражение условий безыскаженной передачи сигнала x(nT) во временной области определяется соотношением

y(nT ) k x[(n n0 )T ] ,

(10.1)

2. Условия безыскаженной передачи в частотной области нетрудно получить из (10.1), если воспользоваться свойством задержки и линейности преобразования Фурье дискретного сигнала Y (e j T ) k e j n0T X (e j T ) .

Это означает, что АЧХ такой цепи должна быть частотно-независимой в пределах заданной области частот, занимаемой спектром сигнала

A( )		H (e j T )			Y (e j T )			k e j n0T		const ,	(10.2)
					X (e j T )

еѐ ФЧХ в этой же области должна быть линейной функцией частоты, поскольку

( ) arg H (e j T ) n0T ,

а групповое время задержки

ÃÂÇ d ( ) n0T d

(10.3)

(10.4)

оказывается постоянным.

Покажем существование таких фильтров на простом примере. Найдем фазочастотную характеристику КИХ-фильтра, описываемого передаточной

функцией H (z) 0.5 z 1 0.5z 2 .

Получим из передаточной функции комплексную частотную характеристику, для чего подставим z e j T

H (e j T ) 0,5 cos( T ) j sin( T ) 0,5 cos(2 T ) j 0,5 sin(2 T )

Отсюда

	Im H (e j T )			2 sin( T ) sin(2 T )
( ) arctg			arctg
	Re H (e j T )			1 2 cos( T ) cos(2 T )

Рассмотрим аргумент арктангенса:

95

2 sin(T ) sin(2T ) 1 2 cos(T ) cos(2T )2 sin(T )(1 cos(T ))

2 cos(T )(1 cos(T ))

2 sin(T ) 2 sin(2T ) cos(T ) 2 cos(T ) (1 cos(2T ))

tg( T ),

2 sin(T )(1 cos(T )) 2 cos(T ) 2 cos2 (T )

откуда следует ( ) arctg(tg(T )) T , т.е. ФЧХ рассматриваемого фильтра строго линейна, а групповое время задержки

				d ( )	T	const
		ГВЗ		d

постоянно. Заметим, что рассмотренная передаточная функция обладает особой структурой – еѐ коэффициенты симметричны b0=b2=0,5.

10.2 Теорема о КИХ-фильтрах с линейной ФЧХ.

Рассмотренный ранее пример показывает, что:

существуют КИХ-фильтры, обладающие строго линейной ФЧХ;

коэффициенты передаточных функций (а потому и отсчеты импульсных характеристик таких фильтров обладают определенной симметрией).

Втеории ЦОС существует теорема, согласно которой передаточная

функция

		R
		H (z) bk z k
		k 0
обладает линейной ФЧХ вида
( ) TR	( 1)k m	, k 1,2,...,m 0,1 ,	(10.5)
2	2
если коэффициенты ее передаточной функции симметричны
	bk	bR k	(10.6)
или ассиметричны
	bk bR k		(10.7)

При этом в соотношении (10.5) m=0 при симметричных коэффициентах и m=1 при антисимметричных.

Свойство симметричных коэффициентов позволяет построить структурную схему КИХ-фильтра с линейной ФЧХ, имеющую практически в

96

два раза меньше умножителей, чем структурная схема КИХ – фильтра с произвольной ФЧХ. Покажем построение таких схем на двух простых примерах.

H(z)=b 0 +b1 z 1 -b 2 z 2 +b1 z 3 +b 0 z 4 =b 0 (1+z 4 )+(z 1 +z 3 )-b 2 z 2 ,(R-четно),

H(z) =b 0 -b1 z 1 -b1 z 2 +b 0 z 3 =b 0				(1+z 3 )-b(z 1 +z 2 ), (R-нечетно).
x(n)			x(n-1)			x(n-2)
		Z-1			Z-1
	x(n-4)		x(n-3)
		Z-1			Z-1
	+			+
	b0			b1			-b2

+

y(n)

Рисунок 10.1

На рис. 10.1 приводится структурная схема фильтра с ПФ вида (R - четное)

H(Z)=b

. Аналогично на рисунке (10.2) приведена структурная схема с ПФ (R- четное)

x(		x(n-
	-			-
x(n-		x(n-
	-
+			+

	+
	y(
H(Z)+b +	Рисунок 10.2
	97

10.3 Частотная характеристика КИХ-фильтров с линейной фазой

Как уже было отмечено, одним из наиболее существенных достоинств КИХ-фильтров является возможность получения абсолютно линейной ФЧХ. Линейность ФЧХ КИХ – фильтра обеспечивается при выполнении единственного условия - симметрии ( или антисимметрии) его ДИХ. Это условие записывается так:

h(n) h(N 1 n) ,

(10.8)

где N – полное число отсчетов ДИХ, включая нулевой. Фильтры с конечной импульсной характеристикой, имеющие линейную ФЧХ, различаются по своим показателям в зависимости от того, является ли ДИХ симметричной или антисимметричной, а также от четности или нечетности числа отсчетов.

10.3.1 Симметричная ДИХ с четным числом отсчетов N

Рассмотрим вначале КИХ-фильтры, у которых ДИХ симметрична и имеет четное количество отсчетов N. Возможная форма ДИХ в таком варианте показана на рис. 10.3.

h(n)

0	2	4	6	8	10	12	n
Рисунок 10.3			Симметричная ДИХ с четным N

Симметричная ДИХ определяется соотношением
h(n) h(N 1 n)	.	(10.9)

Ось симметрии – вертикальная прямая, пересекающая абсциссу в точке n=(N-1)/2. На рис. 10.3 эта точка n=6.5.

Вначале найдем передаточную функцию КИХ-фильтра, как Z – преобразование его ДИХ:

98

N 1
H (z) h(k )z k	(10.10)

k 0

Преобразуем выражение (10.10) к следующему виду, разделив сумму на левые ( относительно оси симметрии) и правые компоненты:

	N / 2 1	N 1
H (z)	h(k )z k	h(k )z k .	(10.11)
	k 0	k N / 2

Дальнейшие преобразование полученного выражения имеют целью ввести в формулу (10.11) одинаковые пределы суммирования в обеих суммах:

	N / 2 1	N / 2 1
H (z)	h(k )z k	h(N 1 k )z ( N 1k ) .	(10.12)
	k 0	k 0

Учитывая свойство симметрии ДИХ (10.9) представим (10.12) в виде:

	N / 2 1
H (z)	h(k )[ z k z ( N 1k ) ]	(10.13)

k 0

Теперь получим выражение для комплексного коэффициента передачи КИХ-фильтра, введя в формулу (10.13) замену:

z exp( jФ) ,

		N / 2 1
	H ( jФ) h(k ) exp( jФk) exp( jФ(N 1 k )) .									(10.14)
		k 0
	Комплексный множитель в выражении (10.14), заключенный в
	фигурные скобки, запишем в обобщенной форме:
		exp( j k ) exp( j k ) M k exp( j k ) ,								(10.15)
	где
	k Фk ; k Ф(N 1 k) .									(10.16)
	Тогда выражение (10.14) перепишется в следующем виде
		N / 2 1
	H ( jФ) h(k )M k exp( j k ) .									(10.17)
			k 0
	Представим левую часть равенства (10.15) как
	exp( j k ) exp( j k ) (cos k cos k ) j(sin k sin k ) ,
	откуда для Mk и υk получим
	M k					2 cos(	k k	)
		(cos k cos k )2 (sin k sin k )2							;	(10.18)
				2
	k arctg		sin k	sin k	.					(10.19)
			cos k
				cos k
				99

Заменив βk и γk в соответствии с выражением (10.16) имеем

M k	2 cos[Ф( k )] ;			(10.20)
k	arctg[tg( Ф)] ,			(10.21)
где α=(N-1)/2.
Выражение для комплексного коэффициента передачи получим
подстановкой формул (10.20) и (10.21) в соотношение (10.17):
		N/2-1
H ( jФ) exp[- j arctg(tg Ф)] 2		h(k)cos[Ф( k)]		,
		k 0

откуда видно разбиение на фазовый (первая экспонента в формуле) и амплитудный (выражение в фигурных скобках) члены.

Вещественная АЧХ H(Ф) и ФЧХ υ (Ф) определяются выражениями:

N/2-1
H (Ф) 2 h(k ) cos[Ф( k )] ,	(10.22)
k 0
(Ô) - arctg( tg αÔ) .	(10.23)

Обратим внимание, что АЧХ (10.22) является четной функцией аргумента Ф. При четном N множитель (α – k) = [(N – 1)/2 – k] при любом целом k всегда содержит дробную часть, равную 1/2. Это приводит к тому, что на частоте, соответствующей верхней частоте интервала Найквиста Фmax = π (fн = fд/2), коэффициент передачи КИХ-фильтра равен нулю. Примерная форма АЧХ КИХ-фильтра с рассматриваемым вариантом ДИХ показан на рис. 10.4.

Н(Ф)

-π

π Ф

Рисунок 10.4

Определяемая выражением (10.23) ФЧХ является линейно-разрывной функцией. Разрывы происходят на частотах Ф, где функция tg(αФ) = tg[(N- 1)Ф/2] обращается в бесконечность. Значение этих частот можно найти из равенства:

N 1		Ф	π	(2k 1) , k = 0, 1, 2 …,
2			2
				100