Безруков А.В. ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

	N 1
	bi z	i
H (z)	i0		.	(5.6)
	M 1
	1 ak z k

k 1

Порядок ПФ (5.6) равен

max{(M 1),(N 1)}.

Как правило (N 1) (M 1) . Как любая дробно-рациональная функция, ПФ (5.6) характеризуется своими особыми точками (полюсами) и нулями.

Нулями называют значения z, при которых ПФ (5.6) равна нулю (числитель равен нулю, как правило).

Полюсами называют значения z, при которых знаменатель равен нулю.

Если среди полюсов или нулей встречаются одинаковые, их называют

кратными.

Рассмотрим пример ПФ

H (z)	b z 1	b z 2
	1		2		.
	1 a z 1		a	z 2
	1		2

После умножения числителя и знаменателя на z 2 получим ПФ

H (z)	b1 z b2
	z 2 a z a	2
1

Такая ПФ имеет два нуля. Один определяется как корень уравнения

b1 z b2 0 z01 b2 , b1

а второй — называемый неинформативным z2 . Такие нули появляются всегда, когда степень знаменателя больше степени числителя.

Полюса z*1 и z*2 определяются из решения уравнения

z 2 a1 z a2 0 .

Совокупность нулей (0) и полюсов (*) на z-плоскости называется

картой нулей и полюсов.

5.2. Взаимосвязь между передаточной функцией (ПФ) и разностным уравнением (РУ)

Из сопоставления передаточной функции вида (5.6) и разностного уравнения (4.8) понятна их взаимосвязь при нулевых начальных условиях:

а) числитель ПФ связан с отсчетами воздействия bi x(n i) РУ:

задержка отсчета x(n i) отображается в ПФ степенью z i ;

41

коэффициент bi сохраняется.

Символически это можно записать следующим образом:

bi x(n i) bi z i ;

б) знаменатель ПФ связан с отсчетами реакции y(n) и ak y(n k) РУ:

свободный член знаменателя всегда равен 1 ( a0 1 ), в РУ он соответствует реакции y(n) ;

	задержка отсчета y(n k) отображается в ПФ степенью z k ;
	у коэффициента ak изменяется знак.
Пример: ПФ звена 2-го порядка
	H (z)	b b z 1	b z 2
		0 1	2
		1 a z 1 a		z 2
	1		2

соответствует РУ

y(n) b0 x(n) b1 x(n 1) b2 x(n 2) a1 y(n 1) a2 y(n 2)

5.3.Оценка устойчивости по передаточной функции

Вразделе 4 был получен критерий (4.14), позволяющий оценить устойчивость ЛДС по импульсной характеристике. Аналогичный критерий можно получить в z-области. Получим его на основании критерия (4.14)

h(n)

n 0

Поскольку в z-области основной характеристикой является ПФ – z- изображение импульсной характеристики, представим ПФ общего вида (5.6) при M=N в виде (3.19)

	M 1			Ak
H (z) A0		(					)
				d		1
	k 1	1			k	z

и запишем ИХ в виде (3.20)

M 1

h(n) A0U 0 (n) Ak dkn

k 1

В соответствии с критерием (4.14), устойчивость определяется вторым слагаемым, обозначив который

~	M 1
h (n) Ak dkn		(5.7)

k1

иподставив (n) в (4.14), имеем

42

	~		M 1	M 1		M 1				n
			Ak dkn		Ak dkn		Ak		dk
	h (n)
n0		n0	k 1	n0 k 1		n0 k 1

Изменим порядок суммирования

	~	M 1				n
	h (n)		Ak		dk	(5.8)
n0		k 1		n0

~

Отсюда следует, что для h (n) критерий (4.14) будет справедлив в области абсолютной сходимости ряда

				n
		dk			,k 1,2....,M 1
n0

которая соответствует следующему ограничению для полюсов d k

	dk		1 ,k 1,2....,M 1	(5.9)

Это позволяет сформулировать критерий устойчивости в z-области: для того. чтобы ЛДС была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все полюсы ее передаточной функции находились внутри круга единичного радиуса комплексной z-плоскости.

Как правило, устойчивость ЛДС проверяют по критерию (5.9). Вопервых, он более удобен для практического использования, а во-вторых, критерий (4.14) имеет ограничение: если хотя бы один из коэффициентов разложения Ak в (5.8) равен нулю, условие (4.14) может выполняться и для неустойчивой ЛДС.

Например, передаточная функция

H (z)			(1 1,1z 1 )						(5.10)
			(1 0,8z 1 )(1 1,1z 1 )
может быть представлена в виде суммы простых дробей
H (z)			A1			A2
	1 0,8z 1					1 1,1z 1
Коэффициенты разложения			A1	и	A2 , определяемые в результате
решения системы уравнении (см. пункт 3.5.3)
A A 1
1	2			1,1
1,1A1 0,8A2

равны

A1 1

A2 0

43

Следовательно, импульсная характеристика, соответствующая (5.10), имеет вид (см. табл. соотв. разд.3)

h(n) 0,8n

Получается, что по критерию (4.14) ЛДС устойчива, а по критерию (5.9) – не устойчива.

Вывод: критерий (4.14) справедлив, если ПФ не содержит сокращающихся множителей (в этом случае появляются равные нули и полюса). В противном случае необходимо обратить на эти множители внимание. Если полюсы (и равные им нули) расположены внутри единичного круга, ЛДС будет устойчива, иначе – неустойчива.

6. Описание линейных дискретных систем в частотной области

Описание ЛДС в частотной области позволяет:

ввести фундаментальное для теории линейных систем понятие частотной характеристики. При проектировании большинства систем ЦОС именно к частотным характеристикам предъявляются и выдерживаются требования;

определить реакцию ЛДС в установившемся режиме не только на гармоническое воздействие, но и на любое воздействие, которое можно представить как линейную комбинацию гармонических воздействий.

6.1.Частотная характеристика

Вчастотной области основной характеристикой ЛДС является Фурьеизображение импульсной характеристики h(nT ) , которое определяется с

помощью преобразования Фурье.

H (e j T ) h(nT )e j Tn			(6.1)
n 0
или для нормированных времени и частоты
H (e j ) h(n)e j n			(6.2)

n 0

и называется комплексной частотной характеристикой (КЧХ) или частотной характеристикой (ЧХ). Это математическое описание ЧХ.

По	известному	Фурье-изображению	H (e j t ) )	импульсная
характеристика h(nT ) находится с помощью обратного				преобразования
Фурье.

44

		T	T
	h(nT )		H (e j T )e j T d	(6.3)
		2
			T

Рассмотрим реакцию ЛДС на дискретное комплексное гармоническое воздействие (из теории линейных аналоговых систем известно, что в установившемся режиме гармонического воздействие вызывает гармоническую реакцию той же частоты, но (в общем случае) другой амплитуды и начальной фазы)

x(n) Cx e j ˆn Cx e j x ( ˆ ) ,

n

с амплитудой и фазой соответственно

Cx const

x ( ˆ ) ˆn

Для вычисления реакции воспользуемся формулой свертки

y(n) h(m)x(n m) h(m)Cx e jˆ (n m)
m0	m0
Cx e jˆn h(m)e jˆn x(n) h(m)e jˆm ,		- n
m0	m0

(6.4)

(6.5)

откуда с учетом определения ЧХ (6.2)

y(n) x()H (e jˆ )

(6.6)

Комплексную функцию аргумент

H (e jˆ ) можно выразить через ее модуль и

j ˆ

j ˆ

j arg

H (e j ˆ )

ˆ

j ( ˆ )

(6.7)

H (e

)

H (e

)

e

A(

)e

Модуль частотной характеристики частотной характеристикой (АЧХ)

H (e jˆ ) называют амплитудно-

ˆ

)

H (e

j ˆ

)

,

(6.8)

A(

а аргумент – фазочастотной характеристикой ФЧХ ЛДС

ˆ

)

arg{H (e

j

)}

(6.9)

(

Перепишем выражение для реакции (6.6), подставив в него

воздействие (6.4) и ЧХ (6.7)

y(n) x(n)H (e jˆ ) C

e jx ( ) A( ˆ )e j ( ˆ )

x

,

(6.10)

Cx A( ˆ )e

j[ x ( ˆ ) ( ˆ )]

C y e

j y ( ˆ )

45

n

из чего следует, что реакция на комплексный гармонический сигнал есть комплексный гармонический сигнал той же частоты, что и воздействие, но с частотой зависимыми амплитудой

Cy Cx A( ˆ )

и фазой

y ( ˆ ) x ( ˆ ) ( ˆ )

На основании (6.6) частотную характеристику можно представить как отношение гармонических сигналов – воздействия и реакции

ˆ	y(n)
H (e j )			j ˆn		C	y		ˆ	ˆ
								j[ y ( ) x ( )]
	x(n)		x(n) Cx e				e
					Cx

и определить ее следующим образом.

Частотной характеристикой	ˆ	ЛДС называется частотная
	H (e j )

зависимость отношения реакции к дискретному гармоническому воздействию в установившемся режиме.

Ограничение "в установившемся режиме ведено в связи с тем, что теоретически воздействие и реакция существует в области нормированного времени (конечный спектр имеет бесконечную длительность). Однако на практике имеет дело с гармоническими воздействием в областиn , где время n 0 соответствует началу воздействия. Это приводит к появлению так называемого переходного процесса, когда реакция не является периодическим сигналом.

Сопоставив выражение для реакции (6.10) и воздействия (6.4) дадим определение АЧХ и ФЧХ. подобные тем, которые существуют для линейных аналоговых систем.

Амплитудно-частотной характеристикой A( ˆ ) линейной дискретной системы называется частотная зависимость отношения амплитуды реакции к амплитуде дискретного гармонического воздействия в установившемся режиме:

Cy Cx A( ˆ ) A( ˆ ) Cx Cx

Фазочастотной характеристикой ( ˆ ) ЛДС называется частотная зависимость разности фаз реакции и дискретного гармонического воздействия в установившемся режиме:

y ( ˆ ) x ( ˆ ) [ x ( ˆ ) ( ˆ )] x ( ˆ ) ( ˆ )

46

6.1.1. Связь частотной характеристики (ЧХ) с передаточной функцией

Сравним ПФ (5.1) с ЧХ (6.1). Очевидна их взаимосвязь: ЧХ								H (e j )
								ˆ
совпадает с ПФ H (z) ,	если область значений переменной z на комплексной
плоскости ограничена точками на единичной окружности e j :
							ˆ
	ˆ							(6.11)
	H (e j ) H (z)			z e	j
Это позволяет при	известной	ПФ		(5.6) путем подстановки e j
								ˆ
автоматически получить ЧХ в виде
		N 1
		bi e j
						ˆ
	ˆ	i 0
	H (e j )						.	(6.12)
		M 1
		1 ak e jk

k 1

6.1.2. Соотношение вход/выход

Взаимосвязь (6.11) позволяет также от известного соотношения (5.6) в z-области

H (z) Y (z)

X (z)

автоматически перейти к соответствующему соотношению в частотной области

ˆ	Y (e j )
	ˆ

H (e j )		.	(6.13)
	ˆ
	X (e j )

Т. е. ЧХ ЛДС можно определить как отношение Фурье-изображений реакции и воздействия при нулевых начальных условиях.

Подчеркнем, что ЧХ (как это видно из 6.12) зависит исключительно от внутренних параметров ЛДС и не зависит ни от воздействия, ни от реакции.

6.2. Свойства частотных характеристик

Перечислим основные свойства ЧХ: 1. Непрерывность

ЧХ, АЧХ и ФЧХ — непрерывные (или кусочно-непрерывные) функции частоты по определению;

2. Периодичность

47

ЧХ, АЧХ и ФЧХ — периодические функции частоты с периодом,

	равным частоте дискретизации д				2	.
					T
	Доказательство. Периодичность функции следует из периодичности
	аргумента e j t	с периодом по частоте д						2
								T
		e j T e j (	2 k	)T e j T e j 2 k e j T , k = 0, 1, 2, … .
			T

Соответственно, период ЧХ, АЧХ и ФЧХ в зависимости от используемой шкалы частот будет равен:

f fд ;	(6.14)
ˆ	(6.15)
f 1;
д ;	(6.16)
2 .	(6.17)
ˆ

3. Четность АЧХ и нечетность ФЧХ Если коэффициенты ПФ — вещественные числа (а другие случаи мы

не рассматриваем), то модуль ЧХ (АЧХ) является четной, а аргумент (ФЧХ)

— нечетной функцией частоты:

H (e j T ) H (e j T ) ;

arg{H (e j T )} arg{H (e j T )} .

Доказательство. Запишем ЧХ (6.1) в виде

H (e j T ) h(nT )e j Tn h(nT ) cos( nT ) j h(nT )sin( nT )
n 0	n 0	n 0

или коротко

H (e j T ) Re j Im ,

где вещественная часть — четная

Re h(nT ) cos( nT ) ,

n 0

а мнимая — нечетная функция частоты

Im h(nT )sin( nT ) ,

n 0

т. е. в первом случае имеем сумму косинусов (четных функций), а во втором

— синусов (нечетных функций).

Изменив знак аргумента , получим:

48

H (e j T ) Re j Im .

Для модуля ЧХ справедливо равенство

H (e j T ) H (e j T ) Re2 Im2 ,

следовательно, АЧХ — четная функция частоты.

Для аргумента ЧХ, принимая во внимание, что арктангенс — нечетная функция, справедливы равенства:

arg{H (e j T )} arctg( ReIm) ,

arg{H (e j T )} arctg( ReIm) arctg( ReIm) ,

следовательно, ФЧХ — нечетная функция частоты.

6.2.1. Основная полоса частот

Наименование основная полоса частот возникло в результате того, что при дискретизации аналогового сигнала его спектр по теореме Котельникова ограничивается верхней частотой

fв f2д ,

вследствие чего спектры дискретных сигналов, а также частотные характеристики ЛДС имеет смысл рассматривать только в диапазоне [0; f2д ] ,

который и назвали основным диапазоном или основной полосой частот.

Напомним, что в зависимости от используемой шкалы частот основная полоса соответствует областям:

	f		[0;		fд	];		(6.18)
					2
		ˆ	[0;0,5]				;	(6.19)
	f
	[0;	д		] [0;			] ;	(6.20)
			2		T
	[0; ] .							(6.21)
	ˆ

АЧХ и ФЧХ рассчитывают и изображают на графике в основной полосе частот, при необходимости их легко продолжить на любом интервале частот, учитывая свойства периодичности, а также четности АЧХ и нечетности ФЧХ.

49

6.3. Расчет АЧХ и ФЧХ

Расчет АЧХ и ФЧХ линейной дискретной системы выполняется по известной передаточной функции H (z) (5.6). Получим необходимые расчетные формулы для АЧХ и ФЧХ, выполнив следующие преобразования:

1) в H (z) (5.6) заменим z e j , в результате чего автоматически перейдем
			ˆ
к ЧХ
			N 1
			bi e j (i )
			ˆ
		ˆ	i 0
H (e j )					;	(6.22)
			M 1
			1 ak e j ( k )
				ˆ
			k 1
2) разложим экспоненты			ˆ		ˆ
	jk
e	ˆ	cos(k ) j sin(k ) ;				(6.23)
	ji		ˆ	ˆ
e	ˆ	cos(i ) j sin(i ) ;				(6.24)

3)выделим вещественные и мнимые части в числителе (с индексом «4») и знаменателе (с индексом «3») ЧХ (6.22):

							N 1	N 1
								ˆ	ˆ
ˆ	Re		j Im			[b0 bi cos(i )] j bi			sin(i )
		4		4			i 1	i 1
H (e j )										.	(6.25)
	Re 3		j Im3				M 1	M 1
					[1		ak	ˆ	ˆ
								cos(k )] j ak	sin(k )
							k 1	k 1

4)запишем АЧХ и ФЧХ, исходя из их определений (6.8) и (6.9) соответственно:

A( ˆ )

( ˆ ) arg{H (e

N 1	2	N 1	2

ˆ

[ bi

ˆ

2

2

ˆ

Re

Im

[b0 bi cos(i )]

sin(i )]

4

4

i 1

i 1

H (e

j

)

(6.26)

2

2

2

2

Re3

Im3

M 1

ˆ

M 1

ˆ

[1 ak

cos(k )]

[ ak sin( k )]

k 1

k 1

j T )} arctg(

Im 4

) arctg(

Im3

)

Re 4

Re 3

M 1

N 1

ˆ

ˆ

ak sin(k )

bi sin(i )

arctg

k 1

arctg

i 1

.

(6.27)

M 1

N 1

ˆ

ˆ

1 ak cos(k )]

b0 bi cos(i )

k 1

i 1

7. Структурные схемы линейных дискретных систем

Структурная схема (структура) ЛДС отображает алгоритм вычисления реакции. Напомним, что во временной области соотношение вход/выход при известных параметрах ЛДС описывается разностным уравнением (4.8), которое решается методом прямой подстановки при нулевых начальных условиях. Таким образом, алгоритм вычисления реакции задается

50