Безруков А.В. ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

n
g(nT ) h(mT )	(4.4)
m0
(см. п/о)
Например, если импульсная характеристика имеет вид убывающей
дискретной экспоненты
h(n) n ,				1

то переходная характеристика определяется как сумма конечной убывающей геометрической прогрессии и имеет вид:

g(nT ) h(mT ) m			1	n
n	n
m0	m0		1
Зная переходную характеристику	g(nT) ,	также можно определить

реакцию на произвольное воздействие.

5.Начальные условия в дискретной системе могут быть нулевым или ненулевым.

Признаком нулевых начальных условий является отсутствие реакции y(nT ) 0 при отсутствии воздействия x(nT) 0 .

Признаком ненулевых начальных условий является наличие ненулевых значений реакции (свободных колебаний) при отсутствии воздействия.

4.2. Соотношение вход/выход

Соотношение вход/выход отображает взаимосвязь между входным x(nT ) и выходным y(nT) сигналами линейной дискретной системы (ЛДС).

Во временной области соотношение вход/выход описывается линейными уравнениями, а именно:

формулой свертки (сверткой), если используется импульсная характеристика;

разностным уравнением, если используются параметры ЛДС.

4.2.1. Формула свертки

Уравнение взаимосвязи между входным x(nT ) и выходным сигналами y(nT) для ЛДС, заданной своей импульсной характеристикой h(nT ) задается уравнением, называемым формулой сверти (сверткой)

y(nT ) h[(n m)T ]x(mT )	(4.5)

m0

31

где h[(n n)T ] - импульсная характеристика, задержанная на m периодов дискретизации.

Выполнив в последнем уравнении замену переменных, можно получить другой вариант записи формулы свертки

y(nT ) h(mT )x[(n m)T ]	(4.6)

m 0

Пример. Вычислить реакцию ЛДС по формуле свертки при нулевых начальных условиях. Импульсная характеристика и воздействие заданы графически на рисунке 4.4

32

Рассмотренный механизм вычисление реакции по формуле свертки позволяет сделать следующие выводы:

если длительность воздействия и/или импульсной характеристики бесконечна, то длительность реакции также бесконечна;

если длительность воздействия x(nT ) и импульсной характеристики h(nT ) конечны и равны NT и MT соответственно, то длительность реакции y(nT ) также конечна и равна LT , где

L N M 1

(4.7)

4.2.2. Разностное уравнение

Наряду с формулой сверти взаимосвязь между воздействием x(nT ) и реакции y(nT ) - соотношение вход/выход – может описываться линейным разностным уравнением (РУ)

33

N 1	M 1
y(nT ) b x[(n i)T ] ak y[(n k )T ]		(4.8)
L 0	k 1

где:

bi , ak - коэффициенты (вещественные константы); x(nT), y(nT) - воздействие и реакция.

Коэффициенты bi , ak - называют внутренними параметрами ЛДС.

Разностное уравнение (4.8) решается методом прямой подстановки при нулевых начальных условиях.

Пример 4.2.

Решить разностное уравнение

y(n) x(n) 0,5y(n 1)

(4.9)

методом прямой подстановки при заданном воздействии

x(n) 0,1n

и нулевых начальных условиях. Вычислить 5 отсчетов реакции.

Вычисление реакции приведено в таблице 4.2.

n	Воздействие	Реакция
0	x(0) 1	y(0) x(0) 0,5y( 1) 1 0,5 0 1
1	x(1) 0,1	y(1) x(1) 0,5y(0) 1 0,51 0,4
2	x(2) 0,01	y(2) x(2) 0,5y(1) 0,01 0,5 ( 0,4) 0,21
3	x(3) 0,001	y(3) x(3) 0,5y(2) 0,01 0,5 0,21 0,104
4	x(4) 0,0001	y(4) x(4) 0,5y(3) 0,0001 0,5 ( 0,104) 0,0521

4.3. Рекурсивные и нерекурсивные линейные дискретные системы

Линейная дискретная система называется рекурсивной, если хотя бы один из коэффициентов ak разностного уравнения (4.8) не равен нулю. Порядок рекурсивной ЛДС равен порядку РУ (4.8), т.е.

	max{(M 1),(N 1)}	(4.10)
Согласно (4.8) реакция y(n) рекурсивной ЛДС в каждый		момент
времени n определяется:
	текущем отсчетом воздействие x(n) ;
	предысторией воздействия x(n i), i 1,2,...N 1
	предысторией реакции y(n k), k 1,2,...M 1
Для нерекурсивной ЛДС разностные уравнения принимают вид
	34

N 1
y(nT ) bi [x(n 1)T	(4.11)
i0
Порядок нерекурсивной ЛДС равен порядку РУ (4.11), т.е.	(N 1) .

Согласно (4.11) реакции y(n) нерекурсивной ЛДС в каждый момент времени

иопределяется:

текущим отсчетом воздействия x(n) ;

предысторией воздействия x(n i), i 1,2,...N 1

Выберем в качестве аналогового фильтра прототипа простейший вариант – ФНЧ, состоящий из однозвенной интегрирующей RC – цепочки

(рис. 4.6).

Получение эквивалентного цифрового фильтра, обладающего свойствами аналогового прототипа, базируется дискретизации временных процессов. действующих в цепях этого прототипа. При дискретизации временных процессов производная по времени заменяется выражением

	dy(t)		y(t) y(t t)
	dt		t

где t		- приращение по времени. Поскольку в цифровых фильтрах t
равно интервалу дискретизации Т, запишем.
	dy(t)				y(nT ) y[(n 1)T ]				y(n) y(n 1)	,	(*)
		dt				T			T
где n – номер дискретизации.
Дифференциальное уравнение фильтра в виде однозвенной RC – цепи (см. рис.)
имеет следующий вид:
y(t) r		dy(t)		x(t) ,
Ф		dt
где rФ RC .					Заменим y(t) на			y(n) , x(t) на x(n) ,			а производную поставим в
соответствии с выражением (*). В результате получим
y(n) ax(n) by(n 1)
где a T /(T rФ ) ,						b rФ /(T rФ ) .Последнее уравнение называется разностным.

Его ценность состоит в том, что оно позволяет сразу без каких-либо дополнительных исследований представить структуру цифрового фильтра.

35

Назовем эту схему цифровой RC-цепью. Особенностью этой схемы является наличие петли обратной связи с выхода на вход. ЦФ такого типа называется РЕКУРСИВНЫМ.

4.4. Системы с конечной и бесконечной импульсной характеристикой

Оценим особенности импульсных характеристик рекурсивных и нерекурсивных ЛДС.

Рассмотрим процедуру расчета ИХ непосредственно по разностному уравнению (РУ) и сравним результаты на примерах простейших рекурсивной и нерекурсивной системы.

Пример 4.3

Вычислить импульсную характеристику нерекурсивной ЛДС второго порядка, описываемой РУ вида

y(n) b0 x(n) b1 x(n 1) b2 x(n 2)

Решение. Согласно определению, ИХ – это реакция на цифровой единичный импульс, поэтому, выполнив замену

x(n) U	0	(n)	(4.12)
y(n) h(n)
перепишем РУ в виде

h(n) b0U 0 (n) b1U1 (n 1) b2U0 (n 2)

и решив его методом прямой подстановки при нулевых начальных условиях:

h(0) b0U0 (0) b1U0 ( 1) b2U0 ( 2) b0 1 b1 0 b2 0 b0 h(1) b0U0 (1) b1U0 (0) b2U0 ( 1) b0 0 b1 1 b2 0 b1 h(2) b0U0 (2) b1U0 (1) b2U0 (0) b0 0 b1 0 b2 1 b2 h(3) b0U0 (3) b1U0 (2) b2U0 (1) b0 0 b1 0 b2 0 0 h(n) 0

Распространяя полученные результаты на нерекурсивные ЛДС произвольного порядка, приходим к следующим выводам:

импульсная характеристика нерекурсивной ЛДС имеет конечную длительность;

значение отсчетов их равны коэффициентом РУ

h(n) bi ,

n 0,1,...,N 1

(4.13)

36

(N 1)

y(n)

Поэтому нерекурсивные ЛДС называют системами с конечной импульсной характеристикой (КИХ – системами)

Пример 4.4 ЛДС первого порядка, описываемой РУ вида

y(n) b0 x(n) a1 y(n 1)

Решение . Выполнив замену (4.12) перепишем РУ в виде

h(n) b0U 0 (n) a1h(n 1)

и решим его методом прямой подстановки при нулевых начальных условиях

h(0) b0U0 (0) a1h( 1) b0 h(1) b0U0 (1) a1h(0) a1b0

h(2) b0U 0 (2) a1h(1) a1 ( a1b0 ) a12b0

h(3) b0U 0 (3) a1h(2) a1 (a12b0 ) a13b0

Вычисление их можно продолжать бесконечно по формуле

h(n) ( 1)n a1nb0 ,

n 4,5...

Распространяя полученные результаты на рекурсивную ЛДС произвольного порядка, приходим к выводу, что импульсная характеристика рекурсивной ЛДС имеет бесконечную длительность. Поэтому рекурсивным ЛДС называют системами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ

– системами).

4.5. Свойства линейных дискретных систем

Свойство памяти системы подразумевает ее способность помнить предысторию (предшествующие отсчеты воздействия) при вычислении реакции в текущий момент времени. Длительность предыстории (количество предшествующих отсчетов воздействия) определяет длительность памяти.

Согласно разностному уравнению нерекурсивной ЛДС (4.11), при вычислении реакции в текущий момент времени система "помнит"

предшествующих воздействий. Следовательно, нерекурсивная ЛДС обладает свойством памяти, ее длительность конечна и равна (N 1) .

Согласно разностному уравнению рекурсивной ЛДС (4.8), при вычислении отсчета реакции в текущий момент времени, система "помнит" всю предысторию воздействия, т.е. длительность ее памяти в общем случае бесконечна. Это объясняется наличием обратных связей, благодаря чему любой ненулевой отсчет воздействия циркулирует в системе бесконечно. С

37

течением времени он затухает, но присутствует, по крайней мере, теоретически.

4.5.1. Устойчивость линейных дискретных систем

ЛДС называется устойчивой, если при ограниченном воздействии

max x(n) Rx , n

где Rx - любое сколь угодно большое положительное число, не равное бесконечности, и произвольных, но ограниченных начальных условиях реакции будем также ограниченной

max y(n) Ry , n

где Ry - любое сколь угодно большое число (положительное) не равное бесконечности.

4.5.2. Оценка устойчивости по импульсной характеристике

Если ни один из коэффициентов разложения импульсной характеристики в виде (см. 3.20) (подразд. 3.5.3)

					M 1
h(n) A0U 0 (n) Ak dkn
					k 1
не равен нулю
Ak 0 ,			k 1,2,...,M 1
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие абсолютной
сходимости ряда
		h(n)				(4.14)
т 0
Доказательство опускаем.			Если хотя бы один из коэффициентов Ak

равен нулю, возможна ситуация, когда условие (4.14) выполняется, а ЛДС неустойчива (рассмотрим позже).

Критерий (4.14) позволяет утверждать, что нерекурсивные системы принципиально устойчивы, поскольку их импульсная характеристика конечна.

Прежде чем сделать вывод об устойчивости рекурсивных ЛДС рассмотри простой пример.

Определим устойчивость рекурсивной системы с импульсной характеристикой в виде дискретной экспоненты

38

an , n 0 h(n)

0, n 0

Представив данную ИХ в (4.14) получим ряд вида

n

h(n)

a

(4.15)

n 0

n 0

и область его сходимости

a

1.

В этой области импульсная характеристика имеет вид затухающей экспоненты.

Вне области сходимости, при a 1 ряд (4.15) оказывается расходящимся

a n ,

n 0

а ЛДС согласно критерию (4.14), неустойчивой. Обобщая данный результат, можно сделать вывод:

рекурсивные ЛДС (БИХ-системы) требуют проверки на устойчивость;

импульсная характеристика устойчивой рекурсивной ЛДС имеет характер затухающей функции времени.

5.Описание линейных дискретных систем в z-области

Описание систем в z-области позволяет:

ввести фундаментальное для теории линейных систем понятие передаточной функции;

перейти от разностных уравнений к алгебраическим;

упростить анализ устойчивости;

обеспечить автоматический переход к частотным характеристикам и т. д.

5.1.Передаточная функция. Соотношение вход/выход

Вz-области основной характеристикой ЛДС является z-изображение импульсной характеристики h(n) , которое определяется с помощью z-

преобразования

H (z) z{h(n)} h(n)z n	(5.1)

n 0

и называется передаточной функцией (ПФ).

39

h(n)

Соответственно, по известной ПФ импульсная	характеристика h(n)
находится с помощью обратного z-преобразования
h(n) z 1{H (z)} .	(5.2)

Как было показано раньше, соотношение вход/выход во временной области задается формулой свертки, либо разностным уравнением.

В z-области, согласно теореме о свертке (см. раздел 3) при нулевых начальных условиях соответствует уравнение

Y (z) H (z) X (z) ,

(5.3)

где X (z) и Y (z) — z-изображение воздействия и реакции соответственно. Это позволяет представить передаточную функцию как отношение z- изображения реакции к z-изображению воздействия при нулевых начальных условиях

H (z)	Y (z)	.	(5.4)
	X (z)

Данное определение не противоречит предыдущему (5.1), поскольку импульсная характеристика — это реакция на воздействие единичного импульса u0 (n) . Подставив z-изображения данных сигналов в (5.4), получим

	H (z)	Y (z)		Z{h(n)}	Z{h(n)} ,
		X (z)		Z{u0 (n)}

поскольку Z{u0 (n)} 1 (см. раздел 3).

Разностному уравнению (4.8) в z-области при нулевых начальных условиях соответствует уравнение, которое можно получить, выполнив z- преобразование левой и правой частей

N 1	M 1
Z{y(n)} Z{ bi x(n i) ak y(n k)} .
i 0	k 1

Воспользуемся свойством линейности z-преобразования и теоремой о задержке

N 1	M 1
Y (z) X (z) bi z i Y (z) ak z k ,		(5.5)
i 0	k 1

откуда путем простых алгебраических преобразований получим выражение для передаточной функции, не зависящее ни от воздействия, ни от реакции, выраженную явно через внутренние параметры ЛДС (коэффициенты разностного уравнения) в виде дробно-рациональных функций:

40