Безруков А.В. ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

непосредственно разностным уравнением, и в этом смысле структура ЛДС отображает разностное уравнение.

Алгоритм вычисления реакции по РУ (4.8) основан на выполнении трех типов операций с отсчетами сигнала:

1)задержки сигнала на период дискретизации T;

2)умножения на константу;

3)алгебраического сложения.

На структурной схеме они изображаются в виде, изображенном на рисунках 7.1, а, 7.1, б и 7.1, в соответственно.

Условное обозначение элемента задержки связано с тем, что задержка сигнала на период дискретизации T отображается в z-области умножением z- изображения данного сигнала на z 1

X (nT ) X (z) ;

X (nT T ) X (z)z 1 .

Физически элемент задержки представляет собой регистр сдвига. Структура ЛДС может быть реализована аппаратно или программно. Разностному уравнению (4.8) соответствует передаточная функция (5.6). Однако ПФ может иметь и другие, эквивалентные виды математического представления и, следовательно, РУ могут иметь различные виды, отображаемые различными структурами ЛДС.

7.1. Структуры рекурсивных ЛДС

Рекурсивными ЛДС соответствуют три основных структуры:

прямая;

каскадная;

параллельная.

7.1.1.Прямая структура

Прямая структура определяется передаточной функцией (5.6)

51

			N 1
			bi z i
	H (z)		i0			,
			M 1
			1 ak z k
			k 1
	и отображает разностное уравнение (4.8)
	N 1			M 1
	y(n) bi x(n i)			ak y(n k) .
	i 0			k 1
	На рисунке 7.2 приведена прямая структура звена 2-го порядка с ПФ
	H (z)	b b z 1 b z 2					,
		0 1		2
		1 a z 1		a	z 2
			1	2

описываемого РУ

y(n) b0 x(n) b1 x(n 1) b2 x(n 2) a1 y(n 1) a2 y(n 2) .

В общем случае прямая структура содержит [(N 1) (M 1)] элементов задержки, из них: (N 1) — для предшествующих отсчетов воздействий и (M 1) — для предшествующих отсчетов реакций.

Структуру называют канонической, если число элементов задержки в ней минимально и равно порядку ПФ — max{(M 1),(N 1)}. Представим три разновидности таких структур.

7.1.2. Прямая каноническая структура 1

Прямая каноническая структура 1 определяется эквивалентным представлением ПФ (5.6) в виде произведения двух ПФ

	Y (z)			1	N 1
H (z)					bi z i H1 (z)H 2 (z) ,	(7.1)
	X (z)			M 1
		1		ak z k	i 0

k 1

52

одна из которых описывает рекурсивную часть ЛДС

H1 (z)	1		,
	M 1
	1 ak z k
	k 1
а вторая — нерекурсивную
	N 1
H 2 (z) bi z		i .
	i 0
Передаточным функциям H1 (z) , H2 (z)		соответствуют РУ
	M 1
(n) X (n) ak (n k) ;				(7.2)
	k 1
	N 1
y(n) bi (n i) ,				(7.3)

i 0

отображаемые прямыми структурами. На рисунке 7.3, а показана прямая структура звена 2-го порядка в виде последовательного соединения рекурсивной (7.2) и не рекурсивной (7.3) частей. В этом случае ПФ (7.1) и РУ (7.2) и (7.3) принимают вид

H (z) H (z)H		(z)		1			(b	b z 1	b z 2 ) ;	(7.4)
				a z 1	a z	2
1	2	1					0	1	2
				1	2
(n) X (n) a1 (n 1) a2 (n 2) ;										(7.5)
y(n) b0 (n) b1 (n 1) b2 (n 2) .										(7.6)

Объединение двух линий задержки в одну (на основании равенства входного и выходного сигналов в точке А) приводит к прямой канонической структуре 1 (рисунок 7.3, б).

53

7.1.3. Каноническая структура 2

Каноническая структура 2 определяется другим эквивалентным

представлением ПФ H (z) (5.6), которое можно

получить путем деления

числителя на знаменатель по правилу деления многочленов при N M :

M 1

M 1

Y (z)

bi z i

(bk b0 ak )z k

H (z)

i 0

b

k 1

M 1

M 1

X (z)

0

1

ak z k

1 ak z k

k 1

k 1

H нр (z) H р (z)

Yнр

Yр

,

(7.7)

X (z)

X (z)

в результате чего H (z) представляется в виде суммы двух ПФ, описывающих нерекурсивную (с индексом «нр»)

H		(z)	Yнр (z)	b	(7.8)
	нр
			X (z)	0

и рекурсивную (с индексом «р»)

54

M 1

Yр (z)

(bk b0 ak )z

k

H

(z)

k 1

(7.9)

р

M 1

X (z)

1 ak z k

k 1

части ЛДС.

Передаточной функции

H нр ( z )

(7.8) соответствует разностное

уравнение

yнр (n) b0 X (n)

(7.10)

Для того, чтобы получить РУ, соответствующее

H р (z) , представим ее

подобно (7.1) в виде произведения двух ПФ

H

(z)

Yр (z)

H

(z)H

(z)

р

р1

р2

X (z)

1

M 1

(bk b0 ak )z k

M 1

1 ak z k k 1

k 1

и запишем РУ в виде (7.2) и (7.3)

M 1

р (n) X (n) ak (n k) ;

k 1

M 1

yp (n) (bk b0 ak ) (n k) ,

k 1

совокупность которых отображается прямой канонической структурой 1. В итоге передаточной функции H (z) (7.7)

		1	M 1
	H (z) H нр (z) H р1 (z)H р2 (z) b0		(bk	b0 ak )z k	(7.11)
		M 1
		1 ak z k	k 1
		k 1

соответствует система разностных уравнений

y(n)

(n)

M1

yнp (n) yp (n) b0 X (n) (bk b0 ak ) (n k);

	k 1	,	(7.12)
M 1
X (n) ak (n k)

k 1

отображаемая канонической структурой 2.

На рисунке 7.4 приведена каноническая структура 2 звена 2-го порядка. В этом случае ПФ и система РУ [(7.11) и (7.12) соответственно] принимают вид

H (z) b			1			[(b	b a )z 1		(b	b a )z 2 ] ;		(7.13)
			a z 1	a z 2
0	1					1	0	1	2	0	2
			1	2
					55

y(n) b0 X (n) (b1		b0 a1 ) (n 1) (b2	b0 a2 ) (n 2);	.	(7.14)
(n) X (n) a (n 1) a (n 2)
	1	2

7.1.4. Каноническая структура 3

Каноническая структура 3 определяется еще одним эквивалентным представлением ПФ H (z) (5.6), которое получается следующим образом:

								M 1
	полагая N M , умножим левую и правую части (5.6) на [1 ak z k ]
								k 1
				M 1
	M 1			bi z	i	M 1
	H (z)[1 ak z	k	]	i 0		[1 ak z	k	] ;
				M 1
	k 1			1 ak z k		k 1

k 1

сократим общие множители в числителе и знаменателе справа:

M 1	M 1
H (z) bi z i H (z) ak z k ;
i 0	k 1

представим ПФ в виде разложения (в лестничной форме):

H (z) b z 1H						(z);
H			0		1
	1	(z) [b a H (z)] z 1H							2	(z);
			1	1
	2 (z) [b2			a2 H (z)] z 1H3 (z);							(7.15)
H
...
H	M 1		(z) b		a		M 1	H (z)
				M 1

таким образом, что H (z) определяется последовательной подстановкой снизу вверх.

Получим систему РУ, соответствующую данной ПФ, для чего:умножим левую и правую части всех равенств (7.15) на X (z) :

56

M 1 (z) X (z) bM 1 X (z) aM 1H (z) X (z)

H (z) X (z) b X (z) z 1H				(z) X (z);
H		0	1
	1	(z) X (z) b X (z) a H (z) X (z) z 1H			2	(z) X (z);
		1	1
		(z) X (z) b2 X (z) a2 H (z) X (z) z 1H3 (z) X (z); ;(7.16)
H	2
...

H

	обозначим
		Y (z) H (z) X (z);
				(z) H1		(z) X (z);
		V1								;
		...
		V			(z) H		M 1	(z) X (z)
			M 1
	подставим в (7.16)
	Y (z) b X (z) z 1V (z);
				0				1
	V (z) b X (z) a Y (z) V (z);
		1			1		1		2		.
	...
	V		(z) b			X (z) a			Y (z)
		M 1			M 1				M 1

Используя свойства z-преобразования, запишем РУ в виде системы:

y(n) b0 X (n) 1 (n 1);
		(n) b X (n) a y(n)						(n 1);
									.	(7.17)
	1		1	1			2
...
			(n) b	X (n) a		y(n)
	M 1				M 1
			M 1

Она решается снизу вверх и отображается канонической структурой 3. На рисунке 7.5 приведена каноническая структура 3 звена 2-го порядка.

В этом случае ПФ (7.15) и система РУ (7.17) принимают вид:

57

H (z) b z 1H					(z);
		0		1
			a1H (z)] z 1H (z);
H1 (z) [b1										(7.18)
H (z) b a H (z)
	2	2	2
y(n) b0 X (n) 1 (n 1);
	(n) b X (n) a y(n)								(n 1);	(7.19)
1		1			1			2
	(n) b X (n) a					2	y(n)
2		2

7.1.5. Каскадная структура

Дробно-рациональная ПФ вида (5.6) может быть представлена в виде произведения множителей второго порядка с вещественными коэффициентами (при M N L ) (см. п/о)

k1

k1

b0k

b1k

z

1

b2k

z

2

H (z) H k

(k) (

) ,

1

1

1

1

2

k1 1

k1 1

1 a z

a

z

1k1

2k1

где b0k

, b1k

, b2k ,

a1k

, a2 k

— вещественные коэффициенты, а k1 — количество

1

1

1

1

1

звеньев второго порядка. Опуская вывод этого соотношения, заметим, что коэффициенты aik и bik определяются по координатам комплексно-

сопряженных нулей и комплексно-сопряженных полюсов и k1 k2 L2 . k1

определяется числом полюсов (нулей) ПФ.

При прямой структуре всех звеньев (см. рисунок 7.2) данному виду ПФ соответствует система РУ

1 (n) b01 X (n) b11 x(n 1) b21 x(n 2) a11 1 (n 1) a21 1 (n 2);

(n) b

(n) b

(n 1) b

(n 2) a

(n 1) a

(n 2);

2

1

1

1

2

2

02

12

22

12

22

...

y(n) b

k 1

(n) b

(n 1) b

(n 2) a

y(n 1) a

2,k 1

0,k 1

1,k 1 k 1

2,k

1 k 1

1,k 1

,

y(n 2)

из которых следует, что реакция k-го звена, k = 1, 2, …, (k – 1), служит воздействием для (k + 1)-го звена, поэтому данная система отображается каскадным соединением рекурсивных звеньев 2-го порядка — каскадной структурой.

На рисунке 7.6 изображена каскадная структура из трех звеньев 2-го порядка прямой структуры.

58

Для перехода к ПФ с вещественными множителями попарно умножают простейшие множители с комплексно-сопряженными нулями (в числителе) и комплексно-сопряженными полюсами (в знаменателе)

		N
H (z) p		(x xk	0	)	, при M N L .
		k 1
	0
		N
		(x xk	n	)
		k 1

7.1.6. Параллельная структура

Параллельная структура определяется ПФ, представленной в виде суммы дробей второго порядка с вещественными коэффициентами (см п/о)

k1

k1

b0k

b1k z

1

H (z) H k1

(k1 ) (

2 ) ,

1

1

1

k1 1

k1 1

1 a

z a

2k1

z

1k1

где b0k ,

b1k ,

a1k ,

a2 k

— вещественные коэффициенты, а k1 — количество

1

1

1

1

звеньев второго порядка, определяемые как и в предыдущем пункте. Получим РУ, соответствующее данному виду ПФ, для чего

умножим левую и правую части последнего равенства на X (z) :

k1

k1

b0k

b1k z

1

Y (z) H (z) X (z) H k1 (z) X (z) (

2 ) X (z) ;

1

1

1

k1 1

k1 1

1 a

z

a

z

1k1

2k1

обозначим

b

b

z 1

Vk1 (z) H k1 (z) X (z)

0k

1k

z 2

X (z) ;

1 a z 1

a

1

1

1k

2k

1

1

представим реакцию Y (z) в виде суммы реакций

k

Y (z) 1 Vk1 (z) ;

k 1

выполним обратное z-преобразование левой и правой частей и запишем искомое разностное уравнение

			k1
			y(n) k1 (n) ,				(7.20)
			k 1
где
k	(n) b0k	X (n) b1k	x(n 1) a1k k	(n 1) a2k	k	(n 2) .	(7.21)
	1	1	1	1	1

Из РУ (7.20) следует, что воздействие для всех звеньев одинаковое, а реакция равна сумме реакций отдельных звеньев, поэтому данное РУ отображается параллельной структурой. На рисунке 7.7 изображена

59

параллельная структура из трех звеньев 2-го порядка прямой или канонической структуры.

Для перехода к ПФ с вещественными коэффициентами попарно складывают простые дроби с комплексно-сопряженными полюсами.

Если порядок многочлена числителя меньше порядка многочлена знаменателя

M 1	M 1			Ak
H (z) H k	(z)	(				)
					1
k 1	k 1	1			z
				k
где k Z*k — k-й полюс ПФ.

В общем случае полюса — попарно комплексно-сопряженные. Ak — коэффициент разложения при k-м полюсе, всегда число того же типа, что и полюс (вещественное или мнимое). M 1 — число полюсов (и констант Ak ).

Для перехода к ПФ с вещественными коэффициентами необходимо попарно сложить простые дроби с комплексно-сопряженными полюсами (и комплексно-сопряженными коэффициентами Ak ). В результате чего получим функцию в виде суммы дробей второго порядка с вещественными коэффициентами.

7.2. Структуры нерекурсивных фильтров

Нерекурсивные ЛДС описываются ПФ, которая может рассматриваться как частный случай H (z) общего вида (5.6) при ak 0 , k = 1, 2, …M – 1. При этом знаменатель H (z) оказывается равным единице, и ПФ имеет вид рациональной функции.

Нерекурсивным ЛДС соответствуют два вида математического представления ПФ:

рациональный;

произведение множителей второго порядка, которые определяют две основные структуры:

прямую;

каскадную.

60