Безруков А.В. ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

На рис. П.3.7. приведен график АЧХ, рассчитанный по выражению (П.3.13) при следующих значениях параметров:f0=4000Гц, fД=16кГц, r0=0,995, rn=0,95

10

5

f 43Гц

0	2000	600	800

Рисунок П.3.7. АЧХ селективного фильтра

Приложение 4.

Рассчитать методом взвешивания полосовой КИХ-фильтр с линейной ФЧХ по следующим исходным данным:

центральная частота f0 = 60 кГц;

полоса пропускания П = 12 кГц;

ширина переходных зон АЧХ f=(4±1) кГц;

внеполосное затухание L=(-50±3) дБ;

рабочий диапазон fр=0…100 кГц.

Решение. Минимально допустимое значение частоты дискретизации

f Д 2 f рm ax 200 кГц.

Для обеспечения нужных значений L и f выберем окно Хэмминга, имея ввиду, что реально внеполосное затухание оказывается больше, чем указанная в табл. 10.2, а ширина переходной зоны (примерно равная ширине главного лепестка АЧХ) оказывается меньше ширины главного лепестка

Н=8π/N.

Найдем порядок N КИХ-фильтра. Исходя из требований к ширине переходной зоны можем записать, переходя от цифровых частот (в которых

задана ширина лепестка в табл. 10.2) к циклическим (в которых задана ширина переходной зоны) в соответствии с известным соотношением

ˆ	2 f / f Д ,
f
	141

8		2 f	,
N		f Д

откуда получим N 4 f Д / f 200 . Для реализации полосового КИХ-фильтра с

линейной ФЧХ наиболее приемлемой является антисимметричная ДИХ с нечетным числом отсчетов (поскольку АЧХ такого фильтра антисимметрична относительно частоты ±kπ, k=0, 1, …, а при нечетном количестве ФЧХ имеет на один разрыв меньше). Для обеспечения нечетного числа отсчетов скорректируем значение N =201.

Далее в соответствии с выработанной нами выше методикой (см. п. 10.5.2) перейдем к отысканию выражения для ДИХ. Зададимся прямоугольной форой АЧХ. Тогда выражение для ДИХ примет следующий вид:

			Ф		Ф
	h(n)	1	2 H(Ф(Ф)sin[n - )]dФ	1	2sin[Фin - )]dФ ,
			Ф		Ф
			1		1

где α=(N-1)/2=100, а граничные полосы пропускания Ф1 и Ф2 составляют:

Ф	2π	( f		- ) 1.7; Ф			2π	( f		) 2.1.
			0		2				0
1	f Д			2			f Д			2

Заменив пределы интегрирования числовыми значениями, получим:

h(n)	1	cos 1.7(n 100 ) cos 2.1(n 100 ) .
	(n 100 )

Как мы уже убедились, при такой ДИХ в АЧХ искомого фильтра появились пульсации. Для их уменьшения заменим еѐ на взвешенную, для чего используем окно Хэмминга, т.е.

ˆ	cos 1.7(n 100 ) cos 2.1(n 100 )				h
h(n) h(n) (n)			0.54	0.46 cos(		) .
	(n 100 )
				100

Полученное выражение подставим в формулу

	( N 3) / 2 ˆ
H (Ф) 2	h(k )sin[Ф(α k )]

k 0

для расчета реальной АЧХ. Последняя формула отличалась от полученной нами (10.27) верхним пределом суммирования. Это обстоятельство объясняется тем, что в случае, рассмотренном нами имеем антисимметричную ДИХ с нечетным числом отсчетов N, у которой центр антисимметрии проходит через значение n=(N-1)/2. При этом значение отсчета h(n) в центре антисимметрии h[(N-1)/2]=0 (т.е. как бы на один отсчет меньше). В предыдущем случае, которому соответствует формула (10.27), центр антисимметрии проходил между отсчетами (N - четное).

142

Предлагаем желающим сделать расчеты самостоятельно и убедиться, что в нашем случае параметры полученной АЧХ удовлетворяют заданным в условии задаче, а именно:

а) ширина полосы пропускания по уровню -3дБ равна П = 12 кГц; б) ширина переходной зоны f = -3.3 кГц (задано 4±1);

в) значение внеполосного затухания L = - 56 дБ, что несколько лучше заданного, однако корректировка здесь не требуется поскольку fД и так минимально.

Приложение 5.

Пример учета собственных шумов ЦФ. Пусть ЦФ реализован в двух структурных формах: прямой (рис. П.1) и канонической (рис. П. 2).

				Вых
Вх			+
	Z-1			Z-1
		a	b

Рисунок П.1

Вх

Вых

+ +

Z-1

b

a

Рисунок П.2

Необходимо определить собственный шум на выходах этих структур. Решение. В обеих структурах действуют три источника шума: аналого-

цифровой преобразователь (источник шума квантования), и два умножителя (источник шума округления произведений). Дисперсии шума этих источников одинаковы:

Ш2 QA2 /12 2 N /12 ,	(П. 1)
где QA 2 N - шаг квантования (округления),	N – число значащих разрядов

регистров АЦП или умножителей. В структуре по прямой форме все три

143

источника действуют на входе рекурсивной части фильтра, и дисперсия шума на выходе

Ш2 out1 3 Ш2 Dp ; Dp hp2 (n) , n 0

где Dp – коэффициент передачи шума рекурсивной части цифрового фильтра; hp (n) bn - ИХ рекурсивной части ЦФ.

Найдем величину Dp и подставим еѐ в выражение для σ2Шout1:

Ш2 out1 3 Ш2	b2n	3 Ш2	.	(П. 2)
		2
		1 b

В структуре по канонической форме на входе ЦФ действуют два источники шума: АЦП и умножитель на коэффициент b. На выходе фильтра эти составляющие образуют шум с дисперсией

	2		2	2	; DФ	2	(n) ,	(П. 3)
	Шout1			Ш DФ		hФ

n 0

где DФ – коэффициент шума в фильтре по канонической форме; hФ – ДИХ фильтра по канонической форме.

Кроме того, на выходе ЦФ непосредственно действует шум умножителя на коэффициент a. Дисперсия этого шума равна σ2Ш..

Определим величину DФ. Для этого надо знать ДИХ канонического фильтра. Передаточная функция рассматриваемого цифрового фильтра (вне зависимости от его структурной формы) описывается выражением

	H (Z )	1 aZ			1	.			(П. 4)
		1		bZ	1
Представим заданный ЦФ в виде каскадного включения двух
фильтров:
H (Z ) H1	(Z )H2 (Z )			1				(1 aZ 1 ) .	(П. 5)
			1 bZ 1
ДИХ первого фильтра, равная								h1(n)= bn, является	входным

воздействием второго фильтра, реакция которого на это воздействие и будет искомой ДИХ h(n).

Опишем второй фильтр разностным уравнением:

	y(n) x(n) a x(n 1)				(П. 6)
или в принятых обозначениях:
h(n) h (n) h (n 1) bn abn 1		(1	a	)bn	(П. 7)
1	1		b

Учитывая, что при n=0 h1(n-1)=0 и h(0)= h1(0)=b0=1, окончательно получим

144

	1, при n 0
h(n) hФ	(n)		(П. 8)
	(a b)bn-1 , при n 1
По hФ(n) найдем DФ:
			n 1
DФ hФ2 (n) 1 (a b)2		b2
n 0		n 1

Результирующий шум на выходе канонической формы ЦФ (с учетом умножителя на коэффициент a)

						(a b)2
	2	2	2	2	[3 2		.	(П. 9)
						1 b2
	Шout2	Шout	Ш	Ш

Расчет по выражениям (П. 2) и (П. 9) при a= 0.65 и b=0.95 дает следующие результаты:

Ш2 out1 31 Ш2 ; Ш2 out2 56 Ш2 .

Таким образом, при заданных значениях a и b результирующий шум на выходе ЦФ в канонической структурной форме оказывается почти в два раза больше, чем при использовании прямой структурной формы.

145

Оглавление Введение-1…………………………………………………………………..……1

1. Основные понятия цифровой обработки сигналов…………….….……2

1.1.Общие замечания……………………………………………….….……2

1.1.1. Дискретизация аналогового сигнала………………………..….5

1.2.Основная полоса частот. Нормирование частоты……………….…6

2.Математический аппарат списания сигналов и линейных систем.….8

2.1.Математическое описание аналоговых сигналов и линейных систем в р-области и в частотной области…………………………...9

2.1.1.Преобразование Лапласа…………………………………………9

2.1.2.Преобразование Фурье…………………………………………..10

2.1.3.Ряд Фурье………………………………………………………….11

2.2.Математическое описание дискретных сигналов и линейных

систем в z-области и в частотной области…………………………..12

2.2.1.Дискретное преобразование Лапласа………………………….12

2.2.2.Z-преобразование…………………………………………………13

2.2.3.Связь z-преобразования с дискретным преобразованием Лапласа………………………………………………………………14

2.2.4.Преобразование Фурье…………………………………………...14

2.2.5.Связь преобразования Фурье с Z-преобразованием…………15

3.Z-преобразование…………………………………………………………...16

3.1.Z-преобразование соотношение между p- и Z- плоскостями……..16

3.2.Отображение p-плоскости на Z-плоскость………………………….17

3.3.Основные свойства Z-преобразования………………………………21

3.4.Z-преобразование типовых дискретных сигналов…………………21

3.5.Обратное Z-преобразование…………………………………………..24

3.5.1.Использование таблицы соответствий………………………..24

3.5.2.Прямое вычисление интеграла на основе теоремы Коши о вычетах………………………………………………………………25

3.5.3.Разложение Z-изображение на простые дроби………………..26

146

4.Описание линейных дискретных систем во временной области……..28

4.1.Импульсная характеристика………………………………………….29

4.2.Соотношение вход/выход………………………………………………30

4.2.1.Формула свертки…………………………………………………30

4.2.2.Разностное уравнение……………………………………………32

4.3.Рекурсивные и нерекурсивные линейные дискретные системы...33 4.4.Системы с конечной и бесконечной импульсной

характеристикой………………………………………………………..35

4.5.Свойства линейных дискретных систем…………………………….36

4.5.1.Устойчивость линейных дискретных систем…………………37

4.5.2.Оценка устойчивости по импульсной характеристике……...37

5.Описание линейных дискретных систем в z-области………………….38

5.1.Передаточная функция. Соотношение вход/выход………………...38

5.2.Взаимосвязь между передаточной функцией (ПФ) и разностным уравнением (РУ)………………………………………………………...40

5.3.Оценка устойчивости по передаточной функции………………….41

6.Описание линейных дискретных систем в частотной области………43 6.1.Частотная характеристика……………………………………………43

6.1.1.Связь частотной характеристики (ЧХ) с передаточной функцией…………………………………………………………….46

6.1.2.Соотношение вход/выход………………………………………..46

6.2.Свойства частотных характеристик………………………………...46

6.2.1. Основная полоса частот…………………………………………48

6.3.Расчет АЧХ и ФЧХ……………………………………………………..49

7.Структурные схемы линейных дискретных систем…………………..49

7.1.Структуры рекурсивных ЛДС……………………………………….50

7.1.1.Прямая структура………………………………………………..50

7.1.2.Прямая каноническая структура 1…………………………....51

7.1.3.Каноническая структура 2……………………………………...53

7.1.4.Каноническая структура 3……………………………………..55

147

7.1.5.Каскадная структура……………………………………………..57

7.1.6.Параллельная структура………………………………………..58

7.2.Структуры нерекурсивных фильтров………………………………59

7.2.1.Прямая структура………………………………………………..60

7.2.2.Каскадная структура…………………………………………….60

8.Спектральный анализ……………………………………………………..61

8.1.Спектр дискретного сигнала………………………………………….61

8.2.Дискретное преобразование Фурье…………………………………..63

8.3.Свойства ДПФ…………………………………………………………..66

8.4.Быстрое преобразование Фурье……………………………………....67

8.4.1.Алгоритм БПФ с прореживание по времени………………….68

8.4.2.Пример вычисления 8-точечного БПФ………………………..75

8.4.3.Правила расстановки отсчѐтов исходной последовательности

…………………………………………………………………………77

8.4.4.Алгоритм БПФ с прореживанием по частоте…………………78

8.4.5.Пример вычисления 8-точечного ДПФ с помощью алгоритма БПФ с прореживанием по частоте………………………………..81

8.4.6.Оценка выигрыша в количестве операций при вычислении ДПФ с помощью алгоритма БПФ с основанием 2……………..83

8.4.7.Вычисление обратного ДПФ с помощью……………………...83

9.ВВЕДЕНИЕ В ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ………………………………..85

9.1.Основные определения и классификация цифровых фильтров…85

9.2.СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ…………………………………86

9.2.1.Требования цифровым фильтрам……………………………...87

9.2.2.Задание требований к цифровым фильтрам на примере избирательных фильтров……………………………………….…87

9.2.3.Характеристика задачи оптимального синтеза………………89

9.2.4.Мера близости в задачах аппроксимации ЦОС………………90

9.2.4.1.Чебышевская мера…………………………………………90

9.2.4.2.Среднеквадратическая мера……………………………...91

148

9.2.5.Постановка задачи оптимального синтеза……………………92

9.2.6.Весовая функция…………………………………………….……93

10.Синтез КИХфильтров……………………………………………….……93

10.1.Условия безыскаженной передачи………………………….….93

10.2.Теорема о КИХ-фильтрах с линейной ФЧХ……………..……95

10.3.Частотная характеристика КИХ-фильтров с линейной

фазой…………………………………………………………………..…97

10.3.1.Симметричная ДИХ с четным числом отсчетов N…....97

10.4.Расчеты КИХ – фильтров методом частотной выборки…...102

10.5.Расчеты КИХ-фильтров методом взвешивания…………….108

10.5.1.Окно Кайзера……………………………………………...113

10.5.2.Методика синтеза КИХ-фильтров на основе окон…...115

11.Представление сигналов в цифровых системах………………………116

11.1.Представление и кодирование чисел…………………………116

11.1.1.Формы представления чисел……………………………117

11.1.2.Кодирование чисел……………………………………….118

11.1.3.Арифметические операции над числами с фиксированной запятой…………………………………………..119

11.2.Квантование чисел и сигналов…………………………….…..120

11.2.1.Модели процессов квантования…………………….…..122

11.3.Шум аналого-цифрового преобразования……………….…..123

11.4.Шум АЦП, приведенный к выходу цифровой системы…....125

Пр и л о ж е н и е 1 … … … … … … … … … … … … … … … … … . . 1 2 8

Пр и л о ж е н и е 2 … … … … … … … … … … … … … … … … … . . 1 2 9

Пр и л о ж е н и е 3 … … … … … … … … … … … … … … … … … . . 1 3 4

Пр и л о ж е н и е 4…………………………………………………………..140

Пр и л о ж е н и е 5……………………………………………………………142

149