Безруков А.В. ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

z exp( jФ)

ˆ	H( ) exp( j ) W(Ô ) exp[_ - j(Ô ) ]dθ
H ( jÔ)
		,	(10.57)
		ˆ
exp( jÔ ) H( ) W(Ô )dθ H (Ô ) exp( jÔ )
откуда следует
	ˆ	H( ) W(Ф )dθ .	(10.58)
	H (Ф)
Если ДИХ не подвергается взвешиванию, то это равноценно
пропусканию ДИХ через прямоугольное окно:
(n) 1, где	0 n N 1.
Рассмотрим	свойства такого	прямоугольного окна. Его	частотная

характеристика находится как Z – преобразование последовательности ω(n) при :

					N 1
W( jÔ ) (k )z k
					k 0
	sin(	ÔN			)
	2					exp[ jÔ
	sin(		Ô	)
	2

	N 1
z exp( jÔ )	exp( jÔk )
	k 0
	.	(10.59)

(N -1) / 2]

Из последнего соотношения следует, что АЧХ прямоугольного окна определяется функцией

	sin(	ФN			)
W (Ф)			2			.	(10.60)
	sin(		Ф	)
			2

Пусть заданная ЧХ КИХ-фильтра задана идеальным прямоугольником. Дадим операции свертки (10.58) геометрическую интерпретацию. На рисунке 10.13, а изображены график функции H(θ), повторяющая H(Ф), и график функции W(Ф-θ). В соответствии с формулой (10.58) результат свертки для выбранного значения Ф1 можно рассматривать как вычисление площади заштрихованной области на рисунке 10.13, а с учетом знаков выбросов. Эта

площадь определяет численно значение АЧХ ˆ (рис. 10.13, б) при Ф=Ф .

H (Ф) 1

111

H(Ф)

H(θ)	W(Ф1- θ)

Ф1= θ	θ	Ф
а)	Рисунок 10	б)

Вформе реальной АЧХ можно отметить две особенности:

возникновение конечной (ненулевой) протяженности переходной зоны, которая «размывает» границу заданной идеально прямоугольной АЧХ H(Ф);

наличие пульсаций, которые приводят к неравномерности ЧХ в полосе пропускания и возникновению конечного (ненулевого) ЧХ в области затухания.

Отмеченные искажения формы АЧХ, являющиеся следствием ограничения ДИХ, устранить полностью принципиально невозможно. Речь может идти только об уменьшении этих искажений. При этом простое увеличение числа членов усеченного ряда Фурье приводит к сокращению переходных зон, но, к сожалению, практически не влияет на уровень пульсаций в форме АЧХ. При этом частота пульсаций лишь увеличивается и оказывается соответствующей последнему удержанному или первому отброшенному члену ряда Фурье.

Для ослабления вышеперечисленных эффектов и, прежде всего, для уменьшения уровня пульсаций в полосе задержания используют весовую функцию (окно), плавно спадающую к краям.

Ниже приведены данные для наиболее употребительных окон,

используемых в расчете КИХ-фильтров.
1.	Окно Ланцоша
		sin (		n			1)
	(n)			N 1
								;	(10.61)
			2n
		(				1)
			N 1
2.	Окно Бартлета

112

ˆ

H (Ф)

2n

N 1

, 0 n

;

N 1

2

2n

N 1

(n) 2

,

n

N

1;

(10.62)

N

1

2

0, ïðè

других n.

3. Обобщенное косинусное окно

0 a1 cos

2N

a

4N

n N 1;

a

2 cos

, 0

(10.63)

N 1

N 1

(n)

0, при других n.

Окно имеет при широко используемые формы, которые отличаются параметрами a0, a1, a2, отвечающим условию

a0 a1 a2 1.

Значение этих параметров и наименование соответствующих окон указаны в таблице 10.1:

Таблица 10.1

	Окна			Параметры
				a0			a1			a2
Хэннинга (Ганна)			0.5			-0.5			0
Хэмминга			0.54			-0.46			0
Блэкмана-			0.42			-0.5			0.08
Хэрриса

Задача восстановления исходной формы периодической функции с помощью ограниченного ряда Фурье рассматривалась (как чисто математическая) еще в XIX веке. При этом вид весовых функций подбирался так, чтобы в области последних удержанных членов ряда Фурье их коэффициенты более или менее плавно стремились к нулевому уровню, что приводит к снижению уровня пульсаций. Однако уменьшение интенсивности высших гармонических составляющих ряда Фурье (усеченного) приводит к расширению переходной зоны, поскольку именно высшие составляющие и формируют резкие перепады АЧХ. Следовательно, любая функция (оконная), предназначенная для снижения уровня пульсаций в реальной ЧХ , должна в возможно меньшей степени расширять ее переходные зоны.

113

Оказывается, что это очевидное требование не так просто выполнить и однозначного решения в выборе оконных функций не существует. При оценке качества того или иного окна рассматривается, как правило, два их собственных показателя:

1) уровень δW первого бокового лепестка ЧХ окна; 2) ширина главного лепестка ЧХ окна W.

Эти показатели приведены в таблице 10.2.

Таблица 10.2

Окно	δW, дБ	W
Прямоугольное	-13	4π/N
Ланцоша	-20	8π/N
Бартлета	-25	8π/N
Ганна	-31	8π/N
(Хэннинга)
Хэмминга	-41	8π/N
Блэкмана	-57	12π/N

Обращает на себя внимание то, что окна Ганна и Хэмминга, обеспечивая существенно большее подавление пульсаций по сравнению с окнами Ланцоша и Бартлета, имеют такую же ширину главного лепестка АЧХ. Казалось бы, они при всех обстоятельствах лучше. Однако это не так. Дело заключается в том, что окна с малым уровнем первого бокового лепестка своей ЧХ, как правило, не обеспечивают быстрого подавления остальных боковых лепестков. Поэтому результирующее затухание (например, в заданной зоне частот) может оказаться меньшим.

Следует также заметить, что уровень пульсаций синтезированной АЧХ (например, ФНЧ) за счет интегрирования в сверточной операции оказывается меньше уровня пульсаций ЧХ окна.

10.5.1 Окно Кайзера.

Рассмотрение таблицы 10.2 приводит к выводу, что между шириной главного лепестка (т.е. шириной переходной полосы АЧХ КИХ-фильтров) и уровнем пульсаций для рассмотренных окон существует явная зависимость: уменьшение уровня пульсаций сопровождается увеличением ширины основного лепестка, которая может регулироваться только изменениями размерности окна N. С другой стороны, коэффициент пульсаций для конкретного окна, как показывает практические расчеты, мало зависит от N, изменяясь в небольших пределах. Это обстоятельство позволяет при синтезе

114

фильтра сначала подобрать окно с подходящим коэффициентом пульсаций, а затем подобрать длину N окна, при которой обеспечивается требуемая переходная полоса. Однако при этом всегда получается либо слишком большая длина N, что зачастую может привести к трудностям реализации, либо чрезмерной ширине переходной полосы.

Описанное противоречие (т.е. возможность минимизации ширины главного лепестка АЧХ при произвольном задании амплитуды пика первого бокового лепестка) в значительной степени может быть преодолено (но не решено окончательно) с помощью окна Кайзера, определяемого формулой:

2n

2

I

0

1

N 1

N

1

k (n)

, n

;

(10.64)

I0 ( )

2

N 1

0,

n

, N - нечетное,

где

2

x / 2

2

I0 (x) 1

(10.65)

n 1

n

- модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, N – длина фильтра (его порядок), α – параметр, определяющий уровень пульсаций.

Значения α и N вычисляются по приводимым ниже эмпирическим формулам Кайзера, в которые входят затухание в полосе задерживания

amin 20 lg

и нормированная ширина переходной полосы

F fk f ( ˆk ˆ ) / 2 , причем параметр α зависит от требований к amin.

0.1102	(am in	8.7),		am in 50;	21 am in 50;	(10.66)
0.5842	(am in	21)		0.07886 (am in 21),
			0.4
	21.
0, am in

Более того, окно Кайзера обладает одним замечательным обстоятельством: для фиксированного отклонения δ произведение (N-1) на нормированную ширину передаточной полосы F является практически постоянной величиной, которая называется D-фактором:

D (N 1) F		fix ,	(10.67)

откуда

115

	N	D		1	,	(10.68)
		ΔF

где [x] – ближайшее целое не превосходящее x. D-фактор можно вычислить по формуле:

a		m in	7.95					21;
						, am in
		14.36							(10.69)
D
0.9222, a				m in			21.

Из соотношений (10.67)-(10.69) следует:

порядок фильтра N обратно пропорционален ширине нормированной переходной полосы F;

N прямопропорционально зависит от amin , что позволяет добиваться компромиссного значения N за счет сниженного уровня пульсаций и расширения переходной полосы.

Частотная характеристики окна Кайзера вычисляется с помощью выражения

ˆ

Wk ( f )

						N 1 ˆ						2
(N 1)sh				2
										f
						2
														,	(10.70)
			2			N 1			ˆ 2
I0 ( )						2			f

где sh(x) – гиперболический синус

	sh( x)	e x e x	.
		2

10.5.2 Методика синтеза КИХ-фильтров на основе окон.

Напомним, что отсчеты импульсной характеристики КИХ-фильтров одновременно являются и коэффициентами его передаточной функции (разностного уравнения), поэтому задача синтеза в данном случае сводится к получению импульсной характеристики. Методика синтеза включает в себя следующие этапы:

1.Задание требований к фильтру (см. разд. 9).

2.Вычисление импульсной характеристики hи(n) фильтра.

3.Выбор окна и длины фильтра (его порядка).

4.Расчет импульсной характеристики с учетом взвешивания оконной функцией:

hв (n) hи (n) (n)

116

5. Проверка выполнения заданных требований.

Для проверки выполнения заданных требований рассчитывается АЧХ Hв(n): если требования выполняются, то на этом процедура синтеза может быть завершена. Если требование не выполняются, необходимо при выбранном окне увеличить N и повторить шаги 2-5. Если же требования выполняются с большим запасом – можно проверить, нельзя ли уменьшить

N.

Может случиться и так, что при заданном окне длина фильтра оказывается слишком большой и существуют проблемы реализации такого фильтра. Тогда выбирается другое окно и процедура повторяется.

Наконец, требования к фильтру могут быть такие, что при выбранном окне они в принципе ни при каких N не удовлетворяются; в этом случае необходимо перейти к другому окну и повторить процедуру.

11. Представление сигналов в цифровых системах.

Цифровая система обработки сигналов – это дискретная система, описывающая разностным уравнением и реализованная программным или аппаратным путем.

Для представления коэффициентов системы (коэффициентов разностного уравнения или передаточной функции и отсчетов обрабатываемого сигнала) в цифровой системе используются элементы памяти (регистры, ячейки памяти), разрядность которых конечна. Операционные устройства (сумматоры, умножители) также имеют ограниченную разрядность. Все это приводит к ограничению точности представления как входных сигналов, так и характеристик ЦОС.

Вданном разделе рассмотрим основные источники ошибок, связанные

спредставлением сигналов в дискретных системах.

11.1 Представление и кодирование чисел.

Дискретный сигнал может принимать произвольные значения в некотором диапазоне. Цифровой сигнал – это квантованный по уровню дискретный сигнал. Значение отсчетов цифрового сигнала представляется числами в выбранной системе счисления (СС). Как правило в устройствах ЦОС числа представляются в двоичной СС, что объясняется удобством запоминания и обработки двоичной информации.

Рассмотрим формы представления и способы кодирования чисел, а также эффекты, связанные с выполнением арифметических операций над числами.

117

11.1.1 Формы представления чисел.

В системах ЦОС используется две формы представление чисел: с фиксированной и плавающей запятой. Представление чисел в форме с фиксированной запятой (ФЗ) означает, что в рамках заданного формата для всех чисел логически фиксируется одинаковое положение запятой, разделяющей целую и дробную части числа. Старший разряд числа используется как знаковый, остальные разряды считаются значащими:

	0	10101001011	0011	= 1355, 1875
знак		целая часть	дробная часть
			Рисунок 11.1

Представление с фиксированной запятой (рис.11.1) концептуально самое простое: мы берем обычное двоичное число и объявляем, что определенное количество его младших разрядов представляет собой дробную часть. При арифметических операциях (сложение, вычитание, деление) может происходить переполнение заданного формата. Для устранения переполнения необходимо проводить масштабирование обрабатываемых данных, что крайне неудобно, поэтому современная система ЦОС работает в формате с плавающей запятой.

Представление числа A в форме с плавающей запятой (ПЗ) основано на записи

A S ,

(11.3)

где S – основание системы счисления; μ – мантисса, вещественное число со знаком, представленная в форме с ФЗ; γ – порядок, целое число со знаком.

Для устранения неоднозначности и упрощения арифметики чисел с ПЗ из всех возможных вариантов представления числа A выбирают один, называемый нормализованной формой. Нормализованная форма соответствует такому представлению числа, когда целая часть мантиссы равна нулю, а первая значащая цифра дробной части отлична от нуля.

После масштабирования число представляется в виде, изображенном на рисунке 11.1.

118

7		6	5	4		3	2		1		0
	0
знак		2-1 2-2 2-3				2-4 2-5			2-6		2-7

Рисунок 11.2

Диапазон абсолютных значений чисел А в форме с ФЗ составляет

0		A		1 2 b .	(11.4)

где b – количество значащих разрядов числа А.

При этом арифметически операции выполняются с числами А, по абсолютному значению меньшими единицы

0 A 1.

Приведенный на рисунке 11.2 пример показывает, что масштабирование по сути дела означает просто договоренность делить целые числа на постоянный коэффициент, равный 2N (N – число разрядов дробной части). В нашем случае этот коэффициент равен 27=128.

Достоинство формата с фиксированной запятой является равномерность квантования и простота реализации арифметических

операций. Главный недостаток – ограниченный динамический диапазон, равный 2N-1 .

Пример. Представим двоичное число A(2)=+101.001 и соответствующее ему десятичное число A(10) = +5.125 в нормализованной форме (12.3):

A(2)=+101.001·2+11, где S =2, μ(2)=0.101001, γ2=11;

A(10)= +0.5125 ·2+11, где S =10, μ(10)=0.5125, γ10=1.

11.1.2 Кодирование чисел.

Для кодирования чисел с ФЗ применяют два основных способа: прямой и дополнительный.

Прямой код числа А формируется по следующему правилу. В знаковый разряд записывается 0 (для положительных ) или 1 (для отрицательных чисел). После старшего, знакового разряда логически формируется запятая, определяющая целую часть (равную нулю) от дробной (см. рис. 11.2). Указанное правило обозначается следующим образом:

	1, a , a			2	, ...,a	b	при A 0;
Aпр		1						(11.4)
			, a2 , ...,ab				при A 0.
	0, a1
					119

Дополнительный код числа А формируется по следующему правилу. Если число положительно, то дополнительный код совпадает с прямым кодом, т.е. [А]доп=[А]пр. Для отрицательных чисел в знаковый разряд записывается единица, значащие разряды исходного числа инвертируются (0 заменяется 1 и наоборот) и к младшему значащему разряду полученного числа прибавляется 1 с соблюдением правил сложения двоичных чисел, т.е.

Aпр	1, a , a , ...,a			1 2 b	при A 0;	(11.5)
		1 2	b
	0, a1 , a2 , ...,ab			при A 0.

Пример. Представим отрицательное двоичное число А=-0.10111, соответствующее десятичному числу А(10)= -0.7188 в дополнительном коде. Согласно (11.5) запишем

*А+пр = 0.10111 →

1.01000

Адоп → 1.01001

Почему код называется дополнительным?

Пример. Получим дополнение к 2 отрицательного числа А(10)=-0,71875. Модуль этого числа в двоичной системе счисления А=0.010111. Вычтем указанный модуль из двоичного числа 10.00000, соответствующему числу

А(10)=2:

В двоичной СС:	10.00000	В десятичной: 2.00000
	01.01001	1.128125

Полученный результат совпадает с [А]доп из предыдущего примера.

11.1.3 Арифметические операции над числами с фиксированной запятой.

При двух чисел с одинаковыми знаками, удовлетворяющих условию 11.2 результат может оказаться по модулю больше 1. Поскольку числа в дополнительном коде суммируются как беззнаковые, произойдет перенос из старшего значащего разряда в знаковый разряд (беззнаковыми считаются числа, имеющие положительный знак по умолчанию). Покажем это на примере.

120