Безруков А.В. ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

обратное преобразование

x(t) L 1 x( p)	1	0	j
			x( p)e pt dp	(2.3)
	2 j
		0	j

где L{x(t)}, L-1{x(p)} – символические обозначения прямого и обратного преобразования Лапласа;

x(t) – оригинал – вещественная или комплексная функция вида (2.1), непрерывная или кусочно-непрерывная, однозначная на любом конечном интервале в области определения, имеющую ограниченную степень роста экспоненциального порядка 0(ext), т.е. для каждой функции рассматриваемого класса существуют такие положительные постоянные А и, что для всех t>0

x(t) Ae t (A и не равны бесконечности) (2.4)

Точная нижняя грань тех значений , для которых имеет место неравенство (2.4) (а точнее, когда оно превращается в равенство) называется показателем степени роста функции x(t),

р – оператор Лапласа

р j ;

(2.5)

X ( p)

— L-изображение (L-образ) функции x(t) , результат преобразования

Лапласа;

0 — абсцисса абсолютной сходимости интеграла (2.2).

Преобразование Лапласа справедливо только в области абсолютной

сходимости интеграла (2.2)

x(t)e pt

dt

x(t)e ( j )t

dt

0

0

x(t)

e j t

e t dt

x(t)

e t dt ,

(2.6)

0

0

определяемой абсциссой абсолютной сходимости 0 . На комплексной p- плоскости это область, где Re( p) 0 .

Сравнивая (2.4) и (2.6) можно убедиться, что понятие показателя степени роста (в случае вещественных чисел) и абсциссы абсолютной сходимости (в случае комплексных чисел) идентичны.

Как известно, в области сходимости интеграла (2.6) обеспечивается и сходимость интеграла (2.2), однако, обратное не всегда справедливо. Может случиться, что интеграл (2.2) сходится за счѐт сбалансированности площадей с положительными и отрицательными знаками, а интеграл (2.6) расходится.

2.1.2. Преобразование Фурье

11

x(t)

Преобразованием Фурье функции x(t) вида (2.1) называется следующая пара взаимно однозначных преобразований:

прямое преобразование

	X ( j ) x(t)e j t dt ;			(2.7)
			0
	обратное преобразование
		1
	x(t)		X ( j )e j t d ,	(2.8)
		2

где:

— оригинал — вещественная или комплексная функция (2.1), удовлетворяющая условиям Дирихле; на любом конечном интервале в области задания определена, однозначна, непрерывна или кусочнонепрерывна, имеет конечное число экстремумов и разрывов первого рода;

X ( j ) — Фурье-изображение (Фурье-образ) функции x(t) , результат преобразования Фурье.

Преобразование Фурье справедливо только в области абсолютной сходимости интеграла (2.7)

x(t)e j t dt x(t) dt .

0 0

(2.9)

Условие сходимости преобразований Лапласа (2.6) и Фурье (2.9) позволяют утверждать, что преобразование Фурье справедливо для более узкого класса сигналов, чем преобразование Лапласа.

Сравнивая преобразования Лапласа (2.2) и Фурье (2.7), легко видеть их взаимосвязь: при условии абсолютной сходимости соответствующих интегралов Фурье-изображение X ( j ) функции x(t) совпадает с ее L- изображением X ( p) , если область значений переменной p на комплексной p- плоскости ограничена точками на оси частот j :

X ( j ) X ( p)		p j .	(2.10)

2.1.3.Ряд Фурье

Непрерывная периодическая функция времени x(t) с периодом TS ,

удовлетворяющая в пределах периода условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда Фурье

x(t) X (k )e jk t ,	(2.11)

k

где:

12

x(nT)

X ( )

k .

(2.12)

— период дискретизации по частоте:

2 ;

TS

X (k ) — коэффициенты Фурье (комплексные числа):

			TS	2
		1
	X (k )		x(t)e jk t dt ,		(2.13)
		T
			T
		S
			S	2

k — номер коэффициента Фурье, соответствующего частоте

Аналогично, непрерывная периодическая функция частоты с периодом S , удовлетворяющая в пределах периода условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда Фурье, аналогичного (2.11),

X ( ) x(n)e jn t ,

(2.14)

n

где:

t — период дискретизации по времени:

t

2

( S

2

2

) ;

(2.15)

t

S

TS

x(n) — коэффициенты Фурье (комплексные числа):

1

S

2

x(n)

X ( )e jn t d ;

(2.16)

S

S

2

n — номер коэффициента Фурье, соответствующего времени n t .

На основании (2.12) и (2.15) можно записать соотношение для периодов функций и периодов дискретизации во времени и частотной областях

TS S t . (см п/о)

2.2. Математическое описание дискретных сигналов и линейных систем в z-области и в частотной области

Математическое описание дискретных сигналов и линейных систем в z- области (на комплексной z-области) и в частотной области основано соответственно на z-преобразовании и преобразовании Фурье последовательности , для которой выполнено условие

			(2.17)
x(nT)		n 0 0 .

2.2.1. Дискретное преобразование Лапласа

Дискретное преобразование Лапласа (Д-преобразование) последовательности x(nT ) вида (2.17) имеет прямую аналогию с преобразованием Лапласа (2.2) непрерывной функции.

13

В результате перехода от непрерывного времени к дискретному t nT

и замены непрерывной функции последовательностью

x(t) x(nT )

интеграл в (2.2) заменяется суммой. Соответственно, дискретным преобразованием Лапласа называется следующий ряд

X (e pt ) D{x(nT )} x(nT )e pnT	(2.18)
n 0
где:
D{x(nT )} — символическое обозначение дискретного	преобразования

Лапласа;

x(nT ) — оригинал — вещественная или комплексная последовательность

(2.17):

X (e pt ) — Д-изображение (Д-образ) последовательности x(nT ) , результат дискретного преобразования Лапласа. Дискретное преобразование Лапласа

однозначно связывает последовательность x(nT )						с ее Д-изображением X (e pt )
и справедливо только в области абсолютной сходимости ряда (2.18)
	x(nT )e pnT		x(nT )	e j T	e nT		x(nT )	e nT ,	(2.19)
n 0		n 0				n 0

определяемой абсциссой сходимости 0 . На комплексной p-области это область, где Re( p) 0 .

2.2.2. Z-преобразование

При исследовании дискретных сигналов и линейных систем, как правило, вместо дискретного преобразования Лапласа используют z- преобразование, которое получается из дискретного преобразования Лапласа (2.18) в результате замены переменных

z e pt .

Z-преобразованием последовательности x(nT ) следующий ряд:

(2.20)

вида (2.17) называется

X (z) Z{x(nT )} x(nT )z n ,	(2.21)

n 0

где:

Z{x(nT)} — символическое обозначение z-преобразования;

x(nT ) — оригинал — вещественная или комплексная последовательность

(2.17);

14

X (z) — z-изображение (z-образ) последовательности x(nT ) , результат z- преобразования;

Z-преобразование однозначно связывает последовательность x(nT ) с ее z- изображением X (z) и справедливо только в области абсолютной сходимости ряда (2.21)

	x(nT )z n	.	(2.22)
n 0

В области сходимости ряда (2.22) обеспечивается и сходимость ряда (2.21), однако обратное не всегда справедливо. Может случиться, что ряд (2.21) сходится за счет сбалансированности слагаемых с положительными и отрицательными знаками, а ряд (2.22) расходится.

2.2.3. Связь z-преобразования с дискретным преобразованием Лапласа

Сравнивая дискретное преобразование Лапласа (2.18) и z- преобразование (2.21), легко видеть их взаимосвязь

X (z)		z e	pt X (e pt )

Может возникнуть вопрос, почему при исследовании дискретных сигналов и линейных систем используют z-, а не Д-преобразование. Дело в том, подобно преобразованию Лапласа непрерывных функций, z- преобразование последовательности позволяет получить алгебраические соотношения (пока не будем вникать, какие именно), в то время как Д- преобразование приводит к весьма неудобным для анализа трансцендентным соотношениям.

2.2.4. Преобразование Фурье

Преобразованием Фурье последовательности x(nT ) вида (2.17) называется следующий ряд

X (e j T ) x(nT )e j Tn ,	(2.23)

n 0

где:

x(nT ) – оригинал – вещественная или комплексная последовательность (2.17); x(e j t ) – Фурье – изображение (Фурье – образ) последовательности x(nT ) , результат преобразования Фурье.

Пример функции, периодической по частоте и времени

1) ЛИМ-колебание

f

	10
	5				t
	1	2	4	6
					15

TS 2c,

fS 10 Гц

Интервал дискретизации по частоте

f Д 1 0,5Гц

TS

Интервал дискретизации по времени

t

1

0,1c T

2c

fS

S

f

1

0,5 f

10 Гц

Д

fS

S

TS f Д

2 0,5 1

fS t 10 0.1 1

Преобразование Фурье

однозначно

связывает последовательность

x(nT ) с ее

Фурье-изображением x(e j t ) и

справедливо только в области

абсолютной сходимости рода (2.23)

x(nT )e j Tn

x(nT )

(2.24)

n 0

n 0

Условия сходимости z-преобразования (2.22) и преобразования Фурье (2.24) позволяют утверждать, что преобразование Фурье (2.24) позволяют утверждать. что преобразование Фурье справедливо для более узкого класса

дискретных сигналов.
Из	(2.23)	видно, что		Фурье-изображение			x(e j t ) последовательности
x(nT ) является периодической					функцией,	поскольку		аргумент	данной
функции	e j T	периодичен		с	периодом	по	частоте,	равным	частоте
дискретизации Д 2 / T
		e j T e j ( k	2	)T e j T e j 2 k e j T
			T						(2.25)
Значит, непрерывная периодическая функция частоты x(e j t )									может
быть представлена рядом Фурье (2.14) при S						Д	и t T

x( ) x(e j t ) x(n)e

n

				(2.26)
jn t		x(n)e	j nT

n

где коэффициенты Фурье x(n) вычисляются о формуле

		T	T
	x(n)		x(e j Tn )d	(2.27)
		2
			T
				16

e j T

Формула (2.27) представляет собой не что иное, как обратное преобразование Фурье.

2.2.5. Связь преобразования Фурье с Z-преобразованием

Сравнение преобразования Фурье (2.23) с Z-преобразованием (2.21) легко видеть их взаимосвязь: при условии абсолютной сходимости соответствующих рядов Фурье-изображение x(e j T ) последовательности x(nT) совпадает с ее Z-изображением x(Z), если область значений переменной Z на комплексной Z-плоскости ограничена точками на единичной окружности

x(e j T ) x(z) |	j T	(2.28)
	z e

3. Z-преобразование

Как известно, анализ и синтез линейных систем существенно упрощает при переходе из временной области в p-области. В частности преобразование Лапласа позволили ввести фундаментальное понятие передаточной функции в удобном для анализа дробно-рациональном виде и описать соотношение вход-выход в виде алгебраических, а не дифференциальных (интегральнодифференциальных) уравнений.

Аналогично анализ и синтез дискретных систем существенно упрощается при переходе из временной области в Z-область. В частности Z- преобразование позволяет ввести понятие передаточной функции в дробнорациональном виде и описать соотношение вход-выход в виде алгебраических, а не трансцендентных уравнений (в чем убедимся чуть позже).

3.1. Z-преобразование соотношение между p- и Z- плоскостями

Связь между p- и Z- плоскостями определяется соотношением

z e pt e( j )T	e T e j T		(3.1)
откуда, раскрывая e j T , имеем
z e T [cos( T ) j sin( T )]			(3.2)
Таким образом, получаем вещественную и		мнимую части
комплексной переменной z, связанную с вещественной			и мнимой
частями комплексной переменной .
e T cos( T )			(3.3)
e T sin( T )			(3.4)
	17

Если же комплексную переменную z представить в показательной форме

			z e j			(3.5)
то радиус r и угол выразятся соответственно в виде
			r e T			(3.6)
			T	^
Отсюда видно,			что угол , характеризующий (наряду с радиусом r)
				^
положение		точки на	Z-плоскости, есть не что иное,		как	нормированная
частота		в радианах (см. подраздел 1.2).
В силу периодичности экспоненты e j e j 2 k угол						комплексной
переменной z указывается с точностью до слагаемого					2 k , где k – любое
	^
число:
				2 k		(3.7)
но как правило, представляет интерес главное значение аргумента в
диапазоне
						(3.8)

3.2. Отображение p-плоскости на Z-плоскость

Используя взаимосвязь между переменными Z и p (3.1) рассмотрим отображение на Z-плоскость характерных точек и областей p-плоскости

1.Начало координат p-плоскости — точка с координатами ( 0; 0) отображается в точку z-плоскости с координатами ( 1; 0) или с полярными координатами (r 1; 0) (рис. 3.1)

2.Точка p-плоскости с координатами ( ; 0) соответствует началу

	координат z-плоскости — точке с							координатами ( 0; 0) или			с
	полярными координатами ( 0; 0)
	z e pt e e j 0T			1		0
				e
	3. Точка p-плоскости на оси						частот	j с координатами	( 0;		)
										2T
	отображается в точку z-плоскости с координатами (r 1;								)
									2
	z e pt e0T e j		T e j			2 cos( ) j sin( ) j
		2T
						2	2
							18

4.

Точка p-плоскости на оси частот

j с координатами

( 0;

)

2T

отображается

в точку z-плоскости с координатами ( 0; 1) или с

полярными координатами (r 1; ) (рис.3.1)

2

) j sin( ) j

z e pT

e0T e j

T e j

2 cos(

2T

2

2

5.

Две

точки

p-плоскости

на

оси

частот j с

координатами

( 0; )

отображаются в одну точку z-плоскости с координатами

T

( 1; 0)

или с полярными координатами (r 1; )

(рис. 3.1)

z e pT

e0T e j T T

e j

cos( ) j sin( ) 1

6.

Отрезок оси частот

j p-плоскости

0;

2

Д

T

T

T

отображается

на

z-плоскость

в

окружность единичного радиуса

(единичную окружность)

z e pT e0T e j T e j T e j

^

^

=2

r=1; <

Радиус-вектор совершает один полный оборот, против часовой стрелки начиная с точки z e j 1 . т.е. угол на z-плоскости ограничен областью главных значений

19

Несложно показать, что при движении точки с начальными

координатами ( 0;	) вдоль оси	j	вверх частотный интервал k Д		2 k
	T				1

, k=1,2,… отображается на z-плоскости в k –совпадающих единичных

окружностей z e j		^
( 2 k)		= 2 k ; k=1,2,…
Аналогично	при	движении	точки с	начальными	координатами
( 0; ) вдоль	оси	j вниз	частотный	интервал k Д		2 k	, k=1,2,…
T						1

отображается на z-плоскости в k –совпадающих единичных окружностей

z e j		^
( 2 k)
Таким	образом, мнимая ось j отображается в бесчисленное

множество совпадающих единичных окружностей, вследствие чего возникает неоднозначность отображения точек p-плоскости на z-плоскость. Для их взаимно-однозначного отображения ограничивающийся частотным диапазоном

				2	Д ,
				T
	T	T
	в результате чего, p-плоскость ограничивается "коридором" между
двумя	линиями,		параллельными оси		абсцисс и пересекающими ось
ординат		j в точках j
			T
7.	"Коридор" в левой полуплоскости
			20