Безруков А.В. ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

0;			2
					Д
T	T		T

отображается в круг единичного радиуса на z-плоскости (рис. 3.3)

с учетом отмеченной выше неоднозначности, вся левая p-плоскость также отображается на z-плоскость в единичный круг.

8. "Коридор" в правой p-плоскости

	0 ;					2	Д
		T		T		T

отображается на z-плоскости в область вне единичного круга (рис. 3.4)

z e pT e T e j

	^		^
r>1;					=2

С учетом отмеченной выше неоднозначности, вся правая p- полуплоскость также отображается на z-плоскости в область вне единичного круга.

21

3.3. Основные свойства Z-преобразования

Одним из важнейших свойств Z-преобразования является свойство его единственность, в соответствии с которым последовательность x(nT) (2.17) однозначно определяется Z-изображением x(z) в области его сходимости и наоборот, Z-преобразование x(z) однозначно определяет последовательность x(nT).

Приведем (без доказательств) другие свойства Z-преобразования. Линейность.

Если последовательность x(nT) вида (2.17) равна линейной комбинации последовательностей

x(nT ) a1 x1 (nT ) a2 x2 (nT ) ...

то ее Z-изображение равно линейной комбинации Z-изображений данных последовательностей

z{x(nT )} x(z) a1 x1 (z) a2 x2 (z) ...

Z-преобразование задержанной последовательности (теорема о задержке)

Z-изображение последовательности x[(n m)T ] , задержанной на m отсчетов (m>0), равно Z-изображению незадержанной последовательности x(nT), умноженному на z-m.

z{x(nT)}=x(z); z{x(n-m)T}=x(z)z-m

Z-преобразование свертки последовательностей (теорема о свертке)

Сверткой последовательностей x1(nT)и x2(nT) называется последовательность x(nT), определяемая соотношением

x(nT ) x1 (mT ) x2 [( n m)T ]

m 0

Z-изображение свертки равно произведению Z-изображений свертываемых последовательностей

z{x(nT )} x(z) x1 (z)x2 (z)

3.4. Z-преобразование типовых дискретных сигналов

При определении Z-изображений этих сигналов будем пользоваться нормированным временем (T=1).

Z-изображение цифрового единичного импульса

1, n 0 U0 (n) 0, n 0

22

Выполнив Z-преобразование последовательности U0(n), получим

z{U 0 (n)} U 0 (z) U 0 (n)z n U 0 (0)z 0 1

n 0

Z-преобразование задержанного цифрового единичного импульса U0(n-m)

1, n m U0 (n m) 0, n m

На основании теоремы о задержке имеем

z{U 0 (n m)} U 0 (z)z m z m

Z-изображение цифрового единичного скачка U1(n)

	1, n 0
U1	(n)
	0, n 0
z1{U1 (n)} U1 (z) U1 (n)z n 1 z n z n
	n 0	n 0	n 0

Последний ряд представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии

q n

n 0

при q=z-1

В области абсолютной сходимости этого ряда

n

q

n 0

соответствующей неравенству

|q|<1

сумма ряда имеет конечный предел, равный

				1
	qn
		1		q
	n 0

Подставляя q=z-1 в последнее равенство, находим Z-изображение

U1 (z) 1 1 1 z

и область его сходимости

z 1		1		1		1
				z				z		1 .

определяемую радиусом сходимости R=1

23

Z-изображение задержанного цифрового единичного скачка U1(n-m)

	1, n m
U1 (n m)
	0, n m
На основании теоремы о задержке имеем
z{U1	(n m)} U1 (z)z m		z m
			z 1
	1

Z-изображение убывающей дискретной экспоненты

( a)n , n 0, a 1
x(n)	n 0
0,

Подставляя в последнее соотношение q az 1 по аналогии с предыдущим случаем получаем искомое Z-изображение

x(z)	1		1
	1 q		1 az 1

и области его сходимости

	a	1
az 1 1	z		z a

определяемую радиусом сходимости R= a

Аналогично находится Z-изображения других типовых дискретных сигналов. которые сводятся в таблицу соответствия, которая имеет вид

	Последовательность						Z-изображение
x(n) r n	sin[(n 1) * ]			x(n)		1		,
						a z 1 a z 2
*	sin			1
		*				1	2

где a

2r

cos

*

,

a

2

r 2

1

*

*

x(n) r n sin(

n)

b z 1

*

*

x(z)

1

1 a z 1 a

2

z 2

1

где a

2r

cos

*

,

a

2

r 2

,

b

r sin

*

1

*

*

1

*

x(n) r n cos(

n)

1 b z 1

*

*

x(z)

1

1 a z 1 a

2

z 2

1

где a

2r

cos

*

,

a

2

r 2

,

b r cos

*

1

*

*

1

*

Z-преобразование последних последовательностей предлагается выполнить самостоятельно.

В заключение отметим, что в случае Z-изображения в виде дробнорациональной функции. ПОЛЮСАМИ такой функции называются значения Z, при которых ее знаменатель обращается в нуль, а нулями – значения Z, при которых Z. при которых в нуль обращается числитель.

24

3.5. Обратное Z-преобразование

Последовательность (оригинал) x(n) по известному Z-изображению x(z) находится с помощью обратного Z-преобразования

	z 1 x(z) x(n)	1	x(z)z n 1dz	(3.9)
		2 j
			c

где

z 1 x(z) - символическое обозначение обратного Z-преобразования;

С – любой замкнутый контур в области сходимости подынтегральной функции, охватывающий все ее особые точки (полюсы) и начало координат комплексной плоскости.

Вычислить интеграл непосредственно по формуле (3.9) достаточно сложно и в большинстве случаев невозможно существующий более простые способы определения обратного Z-преобразования на основе:

таблицы соответствий;

теоремы Коши о вычетах;

разложения Z-изображения на простые дроби.

3.5.1. Использование таблицы соответствий

Это наиболее простой и удобный способ в случае, когда Z- изображение имеет вид дробно-рациональной функции.

Пусть необходимо найти последовательность (оригинал) x(n) по известному Z-изображению

	x(z)	b	b z 1	(3.10)
		0	1
		1 a z 1
			1

Поскольку числитель x(z) соотношения (3.10) – многочлен ненулевой степени, поэтому его следует представить в виде суммы дробей

x(z)	b		b z 1
	0		1
	1 a z 1		1 a z 1
	1		1

В таблице соответствия 3.1 подраздела 3.4 находится Z-изображение с таким же знаменателем (это пятый случай) (он не сведен в таблицу, а дан отдельно) и записывается соответствие

x(z)		1	x(n) an	(3.11)
		a z 1
1
		1

Согласно свойству линейности

25

		b0				b1 z	1				1				z	1
x(n) z 1				z 1					b0 z 1				b1 z 1
		a z 1				a z 1					a z 1				a z 1
1				1					1				1
		1				1					1					1

На основании теоремы о задержке и соответствия (3.11) получаем последовательность

x(n) b0 an b1an 1

3.5.2. Прямое вычисление интеграла на основе теоремы Коши о вычетах

Этот способ основан на использовании теоремы Коши о вычетах, в соответствии с которой вычисление интеграла (3.9) сводится к вычислению суммы

k
x(n) Re sdk [x(z)z n 1 ]	(3.12)

k 1

где Re sdk [x(z)z n 1 ] называется вычетом подынтегральной функции в особой точке – k-м полюсе dk z*k .

Если дробно-рациональная функция x(z) имеет простые (не кратные, т.е. равные между собой) полюсы, то вычет в простом k-м полюсе равен

Re sdk	[x(z)z n 1 ] lim[( z dk )x(z)z n 1 ]	(3.13)
	z dk

Res – начальные буквы французского слова residu - остаток

В качестве примера найдем последовательность (оригинал) x(n) по известному Z-изображению

x(z) b0 b1 z 1 1 a1 z 1

Решение.

Z-изображение x(z) представляет собой дробно-рациональную функцию первого порядка, имеющую только один полюс d1. Умножив числитель и знаменатель x(z) на Z, получим

x(z) b0 z b1 z a1

откуда находим полюс (корень знаменателя) d1 a1

Следовательно, в сумме (3.12) имеем одно слагаемое – один вычет (3.13) и последовательность имеет вид

26

x(n) Re s		[x(z)z n1	] lim[(	z a )(	b0 z b1	)z n1	] lim( b	z n b z n1 ) b		( a ) b ( a )n1
	d
			z a1	1	z a		0	1	0	1	1	1
	1						z a1
					1

Это совпадает с результатом, полученным предыдущим способом. (Аналогичный результат получим, если вычеты будем находить по формуле п.2.3) (см. п/о).

3.5.3. Разложение Z-изображение на простые дроби

Этот способ основан на представлении Z-изображения в виде суммы простых дробей.

Если x(z) – дробно-рациональная функция, числитель и знаменатель которой являются многочленами относительно z-1, порядок многочлена числителя меньше порядка многочлена знаменателя, а полюсы – простые (не кратные), то ее можно представить в виде суммы простых дробей

	M 1	Ak
	x(n) (		(3.14)
		1 dk z 1 )
	k 1
	где:

dk z*k – простой k-й полюс (вещественное или мнимое число; Ak – коэффициент разложения при k-й полюсе (константа)

Примечание.

При наличии у дробно-рациональной функции x(z) кратных полюсов вычет в полюсе dk кратности lk определяется по формуле

Re s

[x(z)zn 1 ]

1

lim

d lk 1

[(z d

)lk

x(z)zn 1 ]

dk

dzlk 1

k

(l

1)!

k

Res – начальные буквы французского слова residu - остаток

Ak – всегда число того же типа, что и полюс d k

(М-1) – количество полюсов d k

Согласно свойству линейности оригинала x(n)

Z-изображения

M 1

Ak

M 1

1

x(n) z 1

(

)

Ak z 1

(3.14)

d

z

1

z 1

k 1

1

k

k 1

1 d

k

откуда, на основании (3.11), получим оригинал

M 1

x(n) Ak dkn

(3.15)

k1

Вкачестве примера найдем оригинал x(n) по известному Z- изображению

27

x(z)	1	(3.16)
	1 0,5z 1 0,006 z 2

Решение. При известных простых полюсах d1=0,2 и d2=0,3, которые легко находятся по теореме Виета, представление x(z) в виде суммы простых дробей (3.14) имеет вид

x(z)	A1		A2	(3.17)
	1 0,2z 1		1 0,3z 1

где A1, A2 – коэффициенты разложения при полюсах (в данном случае – вещественные числа).

Из условия равенства левых частей (3.16) и (3.17) следует равенство правых частей

1		A1		A2	(3.18)
1 0,5z 1 0,06 z 2		1 0,2z 1		1 0,3z 1

Разложив на простейшие множители знаменатель дроби в левой части равенства (3.18) и сложив дроби в правой части, получим

1		( A A ) (0,3A			0,2 A )z 1
		1	2	1	2
(1 0,2z 1 )(1 0,3z 1 )			(1 0,2z 1 )(1 0,3z 1 )

откуда

A1 A2 1

0,3A1 0,2A2 0

Решив данную систему уравнений, находим коэффициенты разложения:

A1 2

A2 3

и Z-изображение в виде суммы простых дробей (3.14)

x(z)	2		3
	1 0,2z 1		1 0,3z 1

Согласно (3.15) оригинал равен сумме

x(n) 2 0,2n 3 0,3n

Если порядки многочленов числителя и знаменателя равны, то дробнорациональную функцию x(z) с простыми полюсами можно представить в виде:

	M 1	Ak
	x(z) A0 (		)	(3.19)
		1 dk z 1
	k 1

где A0 – вещественная константа.

28

Тогда с учетом результатов первого примера подраздела 3.4, получим оригинал

M 1
x(n) A0U 0 (n) Ak dkn	(3.20)

k1

Взаключение необходимо отметить, что при кратных полюсах также применимо разложение дробно-рациональных функций x(z) на простые

дроби, однако определение оригинала в данном случае существенно усложняется.

4. Описание линейных дискретных систем во временной области

Системной обработки сигналов (системой) называется объект, выполняющий требуемое преобразование входного сигнала в выходной.

Входной сигнал называется воздействием выходной реакции.

В общем случае взаимосвязь между входным и выходным сигналами системы с несколькими входами и выходами – соотношение вход/выход – описывается уравнением в операторной форме.

Y F ( X )

(4.1)

где X,Y – векторы, элементами которых являются воздействие и реакции (функции времени) соответственно;

F – оператор, определяющий математическое преобразование. Приведем необходимые определения:

1.Система называется линейной, если она отвечает двум условиям

реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое из них (свойство аддитивности или принцип суперпозиций):

F(x1 x2 ...) F(x1 ) F(x2 ) ...;

(4.2)

умножению воздействия на весовой коэффициент соответствует реакция, умноженная на тот же коэффициент (свойство однородности). Соотношение вход/выход линейной системы описывается уравнение (4.1) с линейным оператором F, т.е. линейным уравнением.

2.Система называется дискретной, если она преобразует входной дискретный сигнал x(nT ) в выходной дискретный сигнал y(nT ) . Эти сигналы могут быть вещественными и комплексными (рис. 4.1).

29

h(nT )

3.Дискретная система называется стационарной, если ее реакция инвариантна по отношению к началу отсчета времени (свойство инвариантности по времени), т.е. для реакции y(nT ) и y1 (nT ) y[(n m)T ] при любом целом m справедливо равенство

y(nT ) y1[(n m)T ]

т.е. параметры стационарной системы неизменны во времени.

4.Дискретная система называется физически реализуемой, если для нее выполняются условия физической реализуемости: реакция не может возникнуть раньше воздействия (см. п/о)

4.1.Импульсная характеристика

Импульсной характеристикой линейной дискретной системы называется ее реакция на цифровой единичный импульс U 0 (nT ) при нулевых начальных условиях.

Переходной характеристикой g(nT) линейной дискретной системы называется ее реакция на цифровой единичный скачок U1 (nT ) при нулевых начальных условиях.

Как известно, переходная характеристика линейной аналоговой системы связана с ее импульсной характеристикой соотношением

t
g(t) h(b)dt	(4.3)
0

Аналогично, переходная характеристика линейной дискретной системы связана с ее импульсной характеристикой соотношением

30