Безруков А.В. ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

на основании которого получаем

Фр		(2k 1)π	.	(10.24)
		N 1

На рис. 10.5 приведены построенные по выражению (10.23) графики ФЧХ для четных значений N. Как видно из графиков, ФЧХ антисимметрична относительно частоты Ф= π :

(Ф) (2 Ф) .

(10.25)

φ(Ф)	φ(Ф)
π/2	π/2

π

π

2π

Ф

2π

Ф

-π/2	-π/2
а)	б)

Рисунок 10.5 ФЧХ КИХ – фильтров с симметричной ДИХ и четным N: а) при

N=2; б) при N=6

Аналогичные рассуждения для антисимметричной ДИХ с четным

числом отсчетов N, определяемой соотношением
h(n) h(N 1 n)	(10.26)
приводят к следующим выражениям для ЧХ и ФЧХ:
N/2-1
H (Ф) 2 h(k ) sin[Ф( k )] ;	(10.27)
k 0
(Ф) - arctg[tg( Ф )] ,	(10.28)
2

Рассмотрение выражения (10.27) показывает, что АЧХ является нечетной функцией от Ф, и на частоте Ф=0 коэффициент передачи фильтра равен 0.

На рис.10.6, а показан возможный вариант ДИХ числом отсчетов, равным 14. На рис. 10.6, б приведена примерная форма его ЧХ.

101

h(n)

N - четная	H(Ф)

Ф

0

3

5

- π

π

13

11

9

7

Рисунок 10.6

Также, как и случае симметричной ДИХ, ФЧХ является линейноразрывной функцией. Частоты, где происходят разрывы функции, определяются выражением:

Ф р 2kπ /(N 1) .

(10.29)

Графики ФЧХ для случая, когда ДИХ антисимметрична и имеет четное число отсчетов, приведена на рис. 10.7. Сравнение с рис. 10.7 с рис. 10.5 показывает, что графики на рис. 10.7 получаются путем сдвига графиков рис. 10.5 вдоль оси ординат на π. ФЧХ по-прежнему антисимметрична относительно частоты Ф = π.

φ(Ф)	φ(Ф)
π/2	π/2

	Ф		Ф
π	2π	π	2π
-π/2	-π/2
Рисунок 10.7 ФЧХ КИХ-фильтра с антисимметричной ДИХ и
	четным N: а) при N=2 б) при N=6

102

10.4 Расчеты КИХ – фильтров методом частотной выборки.

При расчете КИХ-фильтров методом частотной выборки АЧХ A(ω) фильтра – прототипа подвергают дискретизации как периодическую

^
функцию, разбивая интервал частот π / T π / T	на N равных частей.

Отсчеты ЧХ эквидистантно размещены на оси частот с интервалом дискретизации по частоте Ф 2π/N . Частоты Фk, на которых определяются выборки, выражаются следующим образом

Фk Фk , k=0, 1, 2, .. , N – 1.

(10.30)

Необходимо составить уравнение и структуру заданного таким образом фильтра с дискретизированным комплексным коэффициентом передачи H(jФk). ДИХ такого фильтра определим из соотношения

1 N-1

h(n)

N k 0

		2		1	N-1
	H ( jФk ) exp( j		nk)		H ( jФk ) exp( jФk n) .	(10.31)
		N		N k 0

Передаточную функцию КИХ-фильтра представим как Z – преобразование его ДИХ:

N-1

1

N-1

N-1

2

H (z) h(n)z n

[ H ( jФk ) exp( j

nk)] z n

n 0

N n 0

k 0

N

1

N 1

N 1

2

=

(jФk ) [exp( j

k)z 1

] n

(10.32)

N

k 0

n 0

N

Введем обозначение

q exp( j

2

k)z 1

(10.33)

N

и найдем сумму по индексу n в соотношении (10.32) как сумму N членов геометрической )прогрессии со знаменателем q:

N-1	1 q	N			1	z	N
q n										.	(10.34)
	1 q				exp( j	2			-1
n 0
			1					k )z
						N

Подставив последнюю формулу в соотношение (10.32), получим

H (z)	1 z N N 1		H ( jФ )			.	(10.35)
				k
	N	k 0	1 exp( j	2	k )z-1
				N

Передаточная функция (10.35), содержащая комплексные коэффициенты, неудобна для составления структуры физически реализуемого фильтра. Однако форма записи выражения (10.35) позволяет

103

определить его структуру – она является последовательно – параллельной и может быть представлена схемой:

Hk(Z)

	H1(Z)				1
	-N					2		-1		+
	1-Z		1		exp( j		k)z
						N
1/N										H(jФk)

Рисунок 10.8

Выделим отдельный канал в этой схеме, состоящий из блоков с передаточными функциями H1(Z) и Hk(Z) и умножителя с коэффициентом

1/N.

Блок с передаточной функцией
H1 (z) 1 z N	(10.36)

относится к физически реализуемому рекурсивному фильтру, передаточная функция которого содержит N нулей Z0k. Координаты нулей находятся из уравнения

1 z0k N 0 , где k=0, 1, 2,.. N-1.			(10.37)
Преобразуя уравнение (10.37) с учетом равенства 1= exp(j2πk),
получим
z0k exp( j	2	k) .	(10.38)
	N

Следовательно, все N нулей функции (10.36) расположены в равноотстоящих точках на окружности единичного радиуса с интервалом

2π/N (рис. 10.9).

104

	Im Z
4	2π/N
	3
	2
5	1
6	Re Z
	12

7

11

8 10

9

Рисунок 10.9 Нуль – полюсная диаграмма фильтра, представленного на рис. 10.8

Блок на рис. 10.8 с передаточной функцией

Hk (z)	1			,	(10.39)
	1 exp( j	2	k)z-1
		N

обеспечивает только один полюс

znk exp( j 2N k) exp( j ) .

Положение полюса для k = 2 показано на рис. 10.9. Совмещение нуля и полюса в одной точке означает, что результирующая передаточная функция Hрез(Z) рассматриваемых двух блоков на частоте Ф = θ при Zk = Z0k = Znk принимает конечное значение

	H	рез (z) H1 (z)Hk	(z)		1 z N			(z)	.	(10.40)
				1		znk z 1		(z)

Раскрывая неопределенность в последнем соотношении при Zk = Z0k = Znk, получим

(z)

H ðåç (z) z zk (z) z zk r N exp( j2 k) N .

Таким образом, результирующий коэффициент передачи выделенных двух блоков и умножителя с коэффициентом 1/N равен единице и, следовательно, частотная выборка H(jФk) = H(jθ) воспроизводится на входе сумматора абсолютно точно. Полюсы передаточных функций остальных каналов не совпадают с нулем, имеющим угловую координату θ. Следовательно, на частоте θ коэффициенты передачи всех каналов, кроме

105

рассматриваемого, равны нулю, а выборка H(jθ) абсолютно точно воспроизводится на выходе сумматора, т.е. КИХ-фильтра.

Следовательно, все параллельные каналы КИХ-фильтра с передаточной функцией (10.35) обеспечивает абсолютно точное воспроизведение заданной частотной характеристики только на частотах дискретизации Фk.

Преобразуем соотношение (10.35) к виду, более удобному для практических расчетов, для чего введем замену Z = exp(jФ) и преобразуем комплексные разности в соответствии с соотношением:

1 exp( jx) j2 sin 2x exp( j 2x ) .

После преобразований формула (10.35) приводится к виду

N 1

H ( jФ) H ( jФk )

k 0

sin(		ФN		)
						N - 1		k
		2
					exp j[Ф(		)	] .	(10.41)
	Ф k
						2		N
Nsin(			-	N )
		2

Для практических расчетов функция (10.41) должна быть видоизменена

взависимости от конкретного варианта следующих условий:

1)заданная АЧХ проектируемого КИХ-фильтра может быть как четной, так и нечетной функцией частоты;

2)заданная ФЧХ в общем случае может не соответствовать или соответствовать линейной зависимости;

3)число N интервалов разбиения частотной оси при определении выборок Фk может быть четным или нечетным.

Для определенности дальнейший анализ проведем для следующих условий:

1)АЧХ – симметричная, а ФЧХ должна быть линейной;

2)число N интервалов частотной дискретизации примем нечетным. Поскольку ФЧХ линейна, фазовый множитель определяется

выражением

exp[ j( (Ф ))] exp( j	N 1	Ф ) exp( j k	N 1	) .	(10.42)
k	2	k	N

Теперь выражение для H(jФk) можно записать в виде

H ( jФ ) H (Ф ) exp( j k		N-1	) .	(10.43)
k	k	N

Введем выражение (10.43) в формулу (10.41)

106

sin(

ФN

)

N 1

N -1

k

2

H ( jФ) H (Фk )

exp j[Ф(

)] exp(

) .

(10.44)

Ф

k

2

N

k 0

Nsin(

-

)

2

N

Воспользуемся содержащемся в (10.44) соотношением

sin exp( j k) sin cos k sin( k) ,

(10.45)

с учетом которого формула (10.44) принимает вид:

sin[N(

Ф

- k )]

N 1

N -1

2

N

H ( jФ) H (Ф) exp[ j (Ф)] H (Фk )

exp j[Ф(

)]

. (10.46)

Ф

k

2

k 0

Nsin(

-

)

2

N

Из формулы (10.46) следует, что КИХ-фильтр, рассчитанный методом частотной выборки, сохраняет заданную линейность ФЧХ.

В силу симметрии функции H(Фk) можно записать

H (Фk ) H (ФN k ) .

(10.47)

С учетом (10.47) окончательную формулу для расчета АЧХ КИХ-

фильтра с линейной ФЧХ запишем в виде

NФ

Ф

k

Ф

k

H(0)sin(

)

( N 1) / 2

H (Ф ) sin[N(

-

)]

sin[N(

)]

H (Ф)

2

k

2

N

2

N

. (10.48)

k

k

Nsin(

Ф

)

k 1

N

Nsin(

Ф

-

)

Nsin(

Ф

)

2

2

N

2

N

Окончательный вариант структурной схемы КИХ-фильтра составляется на основе передаточной функции H(z) с действительными коэффициентами, для чего общее выражение (10.35) для H(z) преобразуется так, чтобы комплексные полюсы, определяемые знаменателем под знаком суммы, были объединены в паре. При этом, как мы уже знаем, из каждой пары элементарных звеньев ЛДС первого порядка с комплексными коэффициентами рождается звено второго порядка с действительными коэффициентами. Считая, по-прежнему, что N – нечетная, получим из

(10.35):

	1 z
		N		( N 1) / 2
H (z)			[
	N
				k 1

(

H ( jФk )

H ( jФN k )

)]

H (0)

. (10.49)

2

2

1 z-1

1 exp( j

k)z

-1

1 exp( j

k)z

-1

N

N

Как было показано ранее у рассматриваемого типа КИХ-фильтров ФЧХ антисимметрична:

(Ф) (2 Ф) .

107

Имея в виду отмеченные обстоятельства можно составить следующие соотношения:

H ( jФk ) H (Фk ) exp[ j (Фk )] ;

H ( jФN k ) H (Фk ) exp[ j (Фk )] .

После подстановки (10.50) в (10.49) и приведения к знаменателю выражения в круглых скобках (10.49), последнее представить как (промежуточные вычисления опускаем):

	1 z	N		( N 1) / 2		H (0)
H (z)			[(1 z 1 )		Ak H (Фk )H k (z)		],
	N					-1
				k 0		1 z

(10.50)

общему

можно

(10.51)

где

A 2 cos[ k(		N -1		)];
k		N
Hk (z)	1						.	(10.52)
			2 k
	1 2 cos(				)z 1	z 2
				N

Для желающих проверить справедливость результата последнего преобразования подскажем, что в них использовалось представление комплексных экспонент в тригонометрической форме, а также равенство

cos[ k(N -1) / N )] cos[ k(N 1) / N )].

Структурная схема КИХ-фильтра, составленная на основе выражения (10.51) показана на рисунке 10.11.

		-1				A1H(Ф1)
-1					H1(Z)
Z-N		Z-1
					HK(Z)	+
+				+
					H(N-1)/2(Z)
HI		HII

Z-1

H111

+

Рисунок 10.11

108

Вх

Вых

+

Z-1

2cos(2πk/N)

Z-1

1

Рисунок 10.12

Цифровые фильтры с передаточными функциями Hk(Z), стоящие в параллельных ветвях на рис.10.11 являются чисто рекурсивными со структурой, изображенной на рисунке 10.12. Несмотря на наличие в структуре рекурсивных ветвей, ДИХ фильтра является конечной. Это обеспечивает фильтр с передаточной функцией Hll, разностное уравнение которого описывается функцией y(n)=x(n)-x(n-1).

Нетрудно заметить, что если подать на вход такого фильтра пачку из N импульсов с прямоугольной огибающей, то выходом будут 2 импульса. Первый – в момент времени с отсчетом n=0 и повторный, поступающий с задержкой на N тактов, но с противоположной полярностью, что приводит к полной компенсации колебаний. Таким образом, ДИХ каждого канала в структуре рис. 10.11 ограничены N отсчетами с номерами от 0 до N-1.

Дискретная импульсная характеристика последнего канала с передаточной функцией

Hlll (z)	H (0)	H1 (z)
	1 z-1

тоже является ограниченной последовательностью с N отсчетами, равными

H(0).

10.5 Расчеты КИХ-фильтров методом взвешивания.

Рассмотренный выше метод частотной выборки дает ЧХ, совпадающую в N точках с идеальной (требуемой). В промежутках между этими точками реализуемая АЧХ может недопустимо отличаться от идеальной (требуемой), что объясняется отбрасыванием высших гармонических составляющих (n>N) в ряде Фурье, связывающем ДЧХ и

109

ДИХ. Поэтому метод хорошо работает при синтезе ДЧХ с «плавными» характеристиками.

Перспективным направлением в попытках уменьшения уровня пульсаций оказалось разработка методов, основанных на том, что усечение членов ряда Фурье дополнилось умножением коэффициентов ряда на так называемые ВЕСОВЫЕ ФУНКЦИИ. При этом вид весовых функций подбирается так, чтобы в области последних удержанных членов ряда Фурье их коэффициенты более или менее плавно стремились к нулевому уровню.

В соответствии с методом взвешивания исходную ДИХ заменяют взвешенной:

ˆ	(10.53)
h(n) h(n) (n) ,

где ω(n) – некоторая весовая функция, называемая оконной, функцией окна или просто окном.

Оценим влияние процедуры взвешивания ДИХ на уменьшение уровня пульсаций и изменение ширины переходной зоны. Для этого воспользуемся теоремой из теории линейных цепей, согласно которой спектр произведения функций z(t)=x(t)y(t) определяется сверткой спектров этих функций:

		S	( j ) S	x	( j ) S		y	( j ) .
		Z
Тогда частотная	характеристика					ˆ			КИХ-
						H ( jФ) рассчитываемого
фильтра, ДИХ которого	ˆ	образована пропусканием исходной ДИХ через
	h(n)
окно ω(n), равна свертке заданной ЧХ H( jФ)								с частотной характеристикой
окна W ( jФ)
		ˆ				W( jФ)			(10.54)
		H ( jФ) H( jФ)
Для определенности будем считать, что h(n) является симметричной
последовательностью, тогда
		H ( jФ) H(Ф) exp( j Ф) .							(10.55)

Оконная функция ω(n) также должна быть симметричной и содержать такое же число отсчетов N, как и ДИХ h(n) КИХ-фильтра:

W ( jФ) W (Ф) exp( j Ф) .

(10.56)

Подставив формулы (10.55) и (10.56) в (10.54), получим в развернутом

виде:

110