1.7.4. Уравнения подобия

Безразмерная запись имеет ряд преимуществ.

Во-первых, безразмерные уравнения содержат меньшее число переменных, поскольку они объединены в комплексы – критерии подобия. Это облегчает дальнейшее выполнение как аналитического, так и численного решений этих уравнений. При этом определяющие критерии выступают в качестве исходных данных (параметров задачи), а определяемые критерии включаются в число безразмерных искомых величин. Таким образом, решение дифференциальных уравнений, описывающих процесс, можно искать в виде зависимости между безразмерными переменными и критериями подобия, что соответствует содержанию второй теоремы подобия.

Во-вторых, получаемое таким образом решение при единственном сочетании численных значений определяющих критериев является справедливым не для единичного явления, а для всей группы подобных явлений. Если же выполнять ряд численных решений, задаваясь различными значениями отдельных критериев, то получим ряд решений для различных групп подобных явлений в пределах данного рода. Объединяя затем ряд полученных решений в виде функциональной зависимости безразмерной искомой величины (или определяемого критерия) от численных значений определяющих критериев, получаем закономерность, справедливую для всего рода явлений. В ней определяющие критерии выступают в качестве обобщенных переменных. Такую зависимость можно считать решением сформулированной задачи (описываемой дифференциальными уравнениями и граничными условиями), которое по своей ценности тем ближе к аналитическому решению, чем шире интервал принятых численных значений определяющих критериев. Разумеется, указанную зависимость можно получить также, выполняя ряд экспериментов на физических (или аналоговых) моделях изучаемого явления.

Зависимость искомой безразмерной переменной (или определяемого критерия) от определяющих критериев называется уравнением подобия, или критериальным уравнением. Общую форму уравнения подобия можно записать на основании безразмерных дифференциальных уравнений, описывающих процесс. На основе анализа системы уравнений движения можно получить следующие уравнения подобия, связывающие безразмерные определяемые величины с определяющими критериями и безразмерными координатами (для нестационарных процессов следует учитывать и безразмерное время):

безразмерное поле скоростей

; (E)

безразмерное поле давлений

; (F)

Конкретную количественную форму функций f,f₁, можно получить, проводя ряд экспериментов на физической модели или выполняя ряд численных решений (математических экспериментов). При этом каждую из искомых критериальных зависимостей (E)–(F) можно устанавливать независимо от остальных.

В отношении представленных здесь уравнений подобия необходимо сделать три дополнительных замечания.

1. Прежде всего, о форме и числе определяющих критериев. Из уравнений движения первоначально были выведены критерии несколько иной формы, чем те, которые приняты в качестве определяющих в уравнении подобия (F). Было сказано, что критерии можно преобразовать (расчленением на множители, делением или умножением друг на друга и т. п.), подбирая комплексы, имеющие более очевидный физический смысл или более удобную форму дальнейшего обобщения результатов экспериментов. Однако, выполняя такие преобразования, нужно помнить, что общее количество критериев, характерных для процесса, не может быть произвольным. Оно устанавливается в теории размерностей так называемой-теоремой.

Согласно -теореме физическое уравнение, содержащееразмерных величин, из которыхвеличин имеют независимую размерность, после приведения к безразмерному виду будет содержатьбезразмерных величин.

Анализируя системы уравнений, можно убедиться, что количество критериев, получаемых из каждого уравнения, равно числу физически разнородных членов исходного дифференциального уравнения минус единица.

Так, в уравнении сплошности все члены одного вида, и оно, следовательно, не дает ни одного критерия. Из уравнения движения (если не учитывать в нем силу тяжести) получается два критерия Re и Eu.

2. Строго говоря, уравнения подобия вида (E)–(F) справедливы для потоков, у которых стенки каналов характеризуются одним единственным геометрическим размером. Например, при одномерном движении неограниченного потока вдоль пластины или при поперечном обтекании неограниченным потоком бесконечно длинного цилиндра, шара и т. п. В первом случае в качестве характерного размера (геометрического масштаба) выбирается длина пластиныL, т. е.l=L, а во втором – характерный размер – диаметр, т. е.l=d. Если же форма канала более сложная, то соблюдение условия геометрического подобия требует введения в уравнения подобия в качестве определяющих дополнительных безразмерных комплексов:l₁/l,l₂/l, . . ., гдеl₁,l₂, ... – все влияющие на процесс геометрические размеры канала.

Безразмерные определяющие комплексы, представляющие собой отношения одноименных величин, в теории подобия называются симплексами: l₁/l,l₂/l– симплексы геометрического подобия.

Так, при движении потока в круглой трубе диаметром dи длинойL в качестве характерного размера обычно выбирают диаметр как наиболее важный геометрический фактор, но если длина трубы также влияет на процесс, то в уравнении подобия учитывают определяющий геометрический симплексL/d. При движении потока в прямоугольном канале сечениемabи длинойLв качестве характерного размера обычно выбирают меньшую сторону сечения (допустим,а) и учитывают симплексыb/aиL/a. При записи вновь полученного уравнения подобия необходимо указать, какой геометрический размер принят в качестве характерного. Часто это делают, присваивая критериям, включающим геометрический фактор, соответствующий индекс. Например, запись Re_Lозначает, что характерным размером является общая длина каналаL. В одном уравнении подобия все критерии должны включать один и тот же характерный размер.

3. Переменность теплофизических свойств в зависимости от температуры может быть учтена введением в уравнение подобия температурного фактора – симплекса, представляющего собой отношение Т_ж/Т₀. Это строго справедливо в том случае, если зависимость всех теплофизических свойств от температуры можно представить в виде степенных функций одинаковой степени, например:,и т. д. Указанное соотношение характерно для газов, но не всегда подтверждается для жидкостей.

Кроме температурного фактора переменность теплофизических свойств приближенно можно учесть соответствующим выбором определяющей температуры. Определяющей называется температура, по которой выбирают значения теплофизических параметров, входящих в критерии подобия. В качестве определяющей температуры на основании опытных данных может быть выбрана либо температура жидкости t_ж, либо среднеарифметическая температура, либоt_c. Чтобы показать, какая температура принята за определяющую при расчете данного критерия, рядом с критерием ставят соответствующий индекс, например: Re_cp, Pr_cи т. д.

Из всего сказанного выше об уравнениях подобия следует, что при определенных численных значениях определяющих критериев по этим уравнениям можно вычислить значение определяемого критерия, одинаковое для всех явлений, подобных исследованному на модели. При этом, чтобы избежать ошибок, необходимо четко представлять, какие же условия необходимы и достаточны для определения подобных явлений.