1.4. Уравнение неразрывности

Выше упоминалось, что в гидравлике рассматриваются жидкости, обладающие свойством сплошности, которое предполагает непрерывность изменения параметров потока и их производных в пространстве и времени.

Уравнение неразрывности выведем из закона сохранения массы: масса изолированной системы не меняется с течением времени. Следовательно, полная производная массы по времени равна нулю.

Выделим в жидкости бесконечно малый объем , масса которого , и применим к нему закон сохранения массы

После деления левой и правой частей уравнения на объем и проведения элементарных преобразований получим

где – проекции вектора скоростина оси координат.

Раскрыв в последнем уравнении полную производную плотности по времени, получим окончательный результат

. (1.7)

Для несжимаемой жидкости, плотность которой не меняется, уравнение неразрывности примет вид:

. (1.8)

Проанализируемустановившийсяпоток жидкости, в каждой точке которого вектор скорости не меняется с течением времени. Для анализа полезно ввести линии в области течения, касательные к вектору скорости в каждой точке потока. Такие линии называютлиниями тока.

Рассмотрим замкнутую кривую (контур) С, проведенную вокруг точки в потоке жидкости и охватывающую элементарную площадкуS, которая расположена в плоскости, перпендикулярной вектору скорости рассматриваемой точки. Линии тока, проходящие через контур, образуют замкнутую поверхность –трубку тока. Жидкость, находящаяся внутри трубки тока, называется струйкой.

Поскольку, по определению, не существует компоненты вектора скорости, нормальной к линиям тока, ни одна частица жидкости не пересечет поверхность трубки тока. Следовательно, массовый расход жидкости вдоль трубки тока остается постоянным, т.е.

,

где – плотность жидкости;V– скорость жидкости вдоль трубки тока.

Так как для капельных жидкостей практически остается постоянной, то остается постоянным и объемный расход жидкостиQвдоль трубки тока

.

Полный объемный расход через всю площадь течения S, в пределах которой скорость остается постоянной, равен

. (1.9)

Уравнение (1.9) используют для определения расхода жидкостей, движущихся по каналам и трубопроводам.

1.5. Обобщенный закон трения

Все реальные жидкости и газы обладают вязкостью, т.е. оказывают сопротивление смещению одних частиц относительно других. Результатом этого является возникновение в них наряду с нормальными напряжениями также и касательных напряжений. Интенсивность смещения частиц характеризуется скоростью деформации. Поэтому логично установить связь между напряжениями в движущейся жидкости и характеристикой ее деформационного движения.

Предположим, что вектор напряжений , действующих на площадкеdS, ориентированной в соответствии с вектором, можно представить в виде суммы двух векторов:

, (1.10)

где – вектор, действующий по нормали к площадке, значение которого определяется скалярной величиной N; – вектор, обусловленный только вязкостью.

Представим вектор напряжений, зависящий от вязкости в виде

,

где – тензор напряжений, обусловленных вязкостью.

Тогда уравнение (1.10) примет вид

. (1.11)

Для широкого класса жидкостей («ньютоновских» жидкостей) экспериментально установлено наличие линейной связи между тензором напряжений, зависящим от вязкости, и тензором скоростей деформаций

(1.12)

или

.

Уравнение (1.12) называют обобщенным законом трения.

Представим скалярную величину Nв виде матрицы, умножив ее на единичную матрицу(тензорную единицу)

.

Тогда матричная форма уравнения (1.11) будет иметь вид

или

Среднее арифметическое нормальных напряжений, действующих на трех взаимно-перпендикулярных площадках, проходящих через одну точку и расположенных в координатных плоскостях, взятое с обратным знаком, считают гидродинамическим давлениемpв этой точке

. (1.13)

Из данного уравнения следует, что формально введенная скалярная величина Nопределяется гидродинамическим давлением, вязкостью и скоростью потока жидкости

.

На основании материала, изложенного выше, вектор напряжений, действующий на произвольной площадке, ориентация которой в пространстве задана, определяется уравнением

, (1.14)

которое устанавливают зависимость его от гидродинамического давления, вязкости жидкости и скоростями ее деформации.