2.2. Давление жидкости на плоскую и криволинейную стенки

Гидростатическое давление действует по нормали к поверхности опущенного в жидкость тела, увеличиваясь линейно вместе с глубиной погружения под уровень жидкости. Результатом этого давления является сила , которая так же перпендикулярна рассматриваемой поверхности.

Определение силы, действующей на наклонную пластину, погруженную в жидкость

Рассмотрим плоскую стенку площадьюS, смачиваемую жидкостью и наклоненную под углом.

Давление жидкости, действующее на элемент ее поверхности площадью dS, расположенный на глубинеh, составляет

,

следовательно, элементарная сила от этого избыточного давления будет равной

,

где y– расстояние от осиOx, расположенной на свободной поверхности жидкости, до рассматриваемой площадки вдоль пластины.

Результирующую силу найдем интегрированием элементарной силы по всей поверхности S.

.

Интеграл в данном выражении представляет собой статический момент площади стенки относительно оси Ox. Он равен

,

где y_с– расстояние от центра тяжести площади стенки до рассматриваемой оси.

Поэтому

,

где h_с– глубина расположения центра тяжести пластины;– давление жидкости в центре тяжести пластины.

Таким образом, значение результирующей силы давления жидкости на наклонную плоскую поверхность представляет собой произведение давления жидкости, действующего в центре тяжести этой поверхности, на ее площадь.

В закрытом сосуде с избыточным давлением на свободной поверхности жидкости, равным p₀, гидростатическое давление в центре тяжести равно

и результирующая сила давления на стенку рассчитывается по формуле

.

Для определения центра приложения результирующей силы – центра давления, запишем уравнение моментов относительно оси, проходящей через точкуО, расположенную на поверхности жидкости.

Элементарный момент dМ, создаваемый элементарной силойdR_иотносительно осиОxравен

.

Интегрирование данного уравнения по всей поверхности пластины дает результирующий момент

.

Выражение, стоящее под знаком интеграла, есть момент инерции площади фигуры J_xотносительно осиОx, т.е.

и подстановка его в предыдущее уравнение приводит к следующему результату

.

Этот момент так же может быть представлен в виде произведения результирующей силы на координату центра давления относительно выбранной оси, измеренную вдоль пластины

.

Приравняв последние два уравнения, получим

.

Момент инерции площади фигуры относительно оси Оxпредставляют в виде суммы

,

где J₀– момент инерции площади пластины относительно оси, проходящей через центр тяжести этой площади и параллельнойОx.

Вследствие этого окончательно получим

.

Давление жидкости на криволинейную поверхность

Рассмотрим жесткую, невесомую, криволинейную поверхность площадьюS, находящуюся внутри жидкости. На каждую элементарную площадкуdS_nрассматриваемой поверхности действует сила, направленная по нормали к ней

.

Вся поверхность Sнагружена системой таких непараллельных сил давления жидкости. В данном случае проще определить не вектор равнодействующей силы, а его проекцииR_x,R_yиR_zна оси координат. Эти проекции равны суммам проекций элементарных сил на соответствующие оси, так как последние образуют системы параллельных сил.

.

Учитывая, что

получим проекции элементарной силы давления, действующей на площадку dS

,

или

.

Проекции результирующей силы давления, действующей на всю криволинейную поверхность, погруженную в жидкость, равны

где h_cxиh_cy– вертикальные координаты центров тяжести проекцийS_xиS_yкриволинейной поверхностиSна плоскостиyozиxoz, соответственно;W– объем жидкости, заключенный междуSи свободной поверхностью жидкости, называемый в гидравликеобъемом тела давления.

Проекции результирующей силы давления жидкости, действующей на криволинейную поверхность S, на горизонтальные оси равны силам давления, действующим на проекцииS_xиS_yэтой поверхности на вертикальные координатные плоскости, перпендикулярные соответствующим осям. Проекция результирующей силы на вертикальную ось равна весу жидкости, заключенной в объеме вертикального столба, опирающегося на заданную криволинейную поверхность, а сверху ограниченного плоскостью свободной поверхности.