1.3. Силы, действующие в жидкости

Различают два класса сил, действующих на частицы движущейся или покоящейся жидкости:

• объемные (массовые) силы действуют на каждую частицу, находящуюся в рассматриваемом объеме. Примерами таких сил являются силы тяжести, инерции, электростатические и т.п.;

• поверхностные силыдействуют на элементы поверхности, ограничивающей выделенный объем. К ним относят силы давления и трения, обусловленного вязкостью жидкости.

При описании силовых взаимодействий в жидкостях, в отличие от твердых тел, имеют дело не с самими силами, а с их плотностями.Плотностью объемных силFв данной точке среды называют предел отношения главного вектора объемных силR_W, приложенного к точке, расположенной внутри малого объема, к массе этого объема, при условии, что объем стремится к нулю, т.е.

.

В системе Си плотность объемных сил Fимеет размерность м/с². В случае действия на жидкость силы тяжести, плотность объемных сил тяжести равна ускорению свободного падения; при равномерном вращении жидкости с угловой скоростью, плотность распределения центробежных сил равна центробежному ускорению.

Плотности объемных сил изменяются в пространстве и времени . В проекциях на оси координат вектор плотности объемных сил представляют в следующем виде

,

где – единичные векторы (орты), направление которых совпадает направлением осей декартовой системы координат.

Поверхностные силы, главный вектор которых равен , задаютсявектором напряжений , приложенным к площадкеS_n. Ориентация этой площадки в пространстве определяется единичным вектором, перпендикулярным к ней. Вектор напряжений равен пределу отношения главного вектора поверхностных сил к площадиS_n, на которую он действует, при условии, что величина этой площади стремится к нулю

.

Индекс у вектора напряжения указывает на конкретную площадку, заданную нормалью, в пределах которой действуют рассматриваемые напряжения. Поскольку через заданную точку пространства можно провести бесчисленное множество площадок, то вектор напряжений в каждой точке пространства принимает бесчисленное множество значений в зависимости от ориентации площадки, к которой приложено напряжение, и векторного поля не образует. Направление вектора по отношению к площадкеS_nможет быть произвольным. При анализе его раскладывают на нормальную и касательную составляющие.

Выделим в движущейся жидкости элементарный объемв виде тетраэдра, грани которогоS_x,S_yиS_zлежат в координатных плоскостях, а стороныx,y,z, совпадающие с осями координат, представляют собой малые величины первого порядка (0¹). ГраньS_nперпендикулярна орту.

На жидкость, находящуюся в выделенном объеме, действуют массовые силы, заданные вектором плотности F, и поверхностные силы, определяемые напряжениями, которые действуют на гранях тетраэдра, перпендикулярных осямx,y,zи нормали, соответственно. Если к этим силам добавить силу инерции, то в соответствии с принципом Даламбера получим

,

где – вектор ускорения.

В данном уравнении массовые силы являются малыми величинами третьего порядка (в качестве сомножителя имеют – произведение трех сколь угодно малых величин). Поверхностные силы представляют собой малые величины второго порядка (). Пренебрегая массовыми силами, а также учитывая, что

получим

. (1.4)

Из уравнения (1.4) следует, что напряжение на любой площадке S_nможно выразить через напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, которые могут лежать в координатных плоскостях. В проекциях на оси координат (1.4) имеет вид

(1.5)

Для обозначения проекции вектора напряжения используют два индекса: первый определяет ориентацию в пространстве площадки, на которую действует напряжение, направлением нормали к ней, а второй – ось, на которую проектируется вектор. Например, P_xy представляет собой проекцию на осьyвектора напряжения , действующего на площадке, перпендикулярной к осиx.

Величины представляют собой нормальные напряжения к площадкам перпендикулярным осямx,yиzсоответственно, а проекции, в обозначениях которых присутствуют разноименные индексы, определяют касательные напряжения.

Совокупность девяти величин типа P_ij, связанных соотношением (1.5) образуют матрицу, получившую название тензора напряженийР

.

Напряженное состояние в каждой точке жидкости описывается тензором напряжений. Для определения вектора напряжения, действующего на площадке, проходящей через рассматриваемую точку, необходимо знать тензор напряжений Ри ориентацию площадки в пространстве. Уравнения (1.4) и (1.5) могут быть представлены в следующей форме

. (1.6)