Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел VIII

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ

§27. Точка, прямая, плоскость. Фигуры и тела

251.Точка,прямая, луч, отрезок. Уравнение прямой на плоскости. Некоторые простейшие понятия геометрии, такие как точка, прямая, плоскость, не определяются с помощью иных понятий при изложении геометрии. В дальнейшем будем обозначать точ- ки прописными, а прямые — строчными буквами латинского алфавита (прямые также часто обозначаются двумя прописными буквами).

Точка Ì, лежащая на прямой à, разбивает ее на две части, каждая из которых называется полупрямой (èëè лучом). Точка Ì является началом каждого из этих лучей (MP è MQ íà ðèñ. 115). Часть прямой, заключенная между двумя ее точками, называется отрезком (MN íà ðèñ. 115).

Ðèñ. 115

Отметим следующие свойства прямой:

10. Через две различные точки проходит единственная прямая.

359

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел VIII. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

20. Две различные прямые имеют не более одной общей точки; если прямые имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются в этой точке; если же прямые не имеют общих точек, то они называются параллельными.

Уравнение прямой на плоскости — это уравнение первой степени с двумя переменными и произвольными коэффициентами. В общем случае оно имеет вид

Ax + By + C = 0.

(1)

Ïðè ýòîì n = {A; B} — вектор, перпендикулярный прямой (нормаль к прямой).

Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения (1):

1.Åñëè Ñ = 0, то прямая проходит через начало координат.

2.Åñëè À = 0, то прямая параллельна оси Îx.

3.Åñëè Â = 0, то прямая параллельна оси Îó. Например õ = ó — уравнение прямой, проходя-

щей через начало координат; ó = 2 — уравнение прямой, параллельной оси Îõ; õ = 1 — уравнение прямой, параллельной оси Îó (ðèñ. 116).

Ðèñ. 116

360

ГЕОМЕТРИЯ

§ 27. Точка, прямая, плоскость. Фигуры и тела

Если в уравнении (1) B ¹ 0, то его можно запи-

ñàòü â âèäå y = -	A	x -	C	. Полагая -	A	= k, -	C	= b,
	B		B		B		B
получим
		y = kx + b.				(2)

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом k. Здесь число k — угловой коэффициент пря-

мой (см. п. 100), который равен тангенсу угла a между данной прямой и положительным направлени-

åì îñè Îõ. Ïðè k > 0 угол a — острый (рис. 117, à), à ïðè k < 0 — тупой (рис. 117, á).

a) á)

Ðèñ. 117

Уравнение прямой, проходящей через данную точ- ку Ì (õ0; ó0) и имеющей заданный угловой коэффициент k, записывается в виде

y - y0 = k (x - x0).

(3)

П р и м е р 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Ì (1; 2) и имеющей угловой коэффициент k = 3.

361

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел VIII. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

q Согласно уравнению (3) , получим

y - 2 = 3 (x - 1), откуда 3x - y - 1 = 0. n

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки Ì1 (õ1; ó1) è Ì2 (õ2; ó2), имеет вид

y - y1	=	x - x1	.	(4)
y2 - y1
		x2 - x1

П р и м е р 2. Найти уравнение прямой, проходящей через точки Ì1 (1; 2) è Ì2 (–3; 4).

q Используя уравнение (4) при x1 = 1, y1 = 2,

	x2 = -3, y2 = 4, получим
		y - 2	=	x - 1	,	откуда	x + 2y - 5 = 0. n
	4 - 2			- 3 - 1

252. Плоскость. Уравнение плоскости в пространстве. Фигуры и тела. Плоскость — это простейшая поверхность. Обычно плоскости обознача- ются тремя прописными буквами латинского алфавита, а иногда — одной строчной буквой греческого

алфавита ( a, b, g и т. д).

Отметим основные свойства плоскости: 10.Через три точки, не лежащие на одной пря-

мой, можно провести плоскость, и притом только одну.

20. Прямая, две точки которой лежат в плоскости, целиком лежит в этой плоскости.

Отсюда следует, что если прямая не лежит в плоскости, то она либо имеет с ней одну общую точку (это точка пересечения прямой и плоскости), либо не имеет с ней общих точек (в этом случае прямая параллельна плоскости; см. п. 304).

362

ГЕОМЕТРИЯ

§ 27. Точка, прямая, плоскость. Фигуры и тела

30. Через прямую и точку, не лежащую на ней, можно провести плоскость, и притом только одну.

40. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

50. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

60. Если две плоскости имеют общую точку, то они либо имеют и общую прямую, проходящую че- рез эту точку (эта прямая — линия пересечения двух плоскостей), либо совпадают целиком.

Любая прямая, лежащая в плоскости, делит плоскость на две части, каждая из которых называется

полуплоскостью.

Уравнение плоскости в пространстве (аналогич- но уравнению прямой на плоскости) — это уравнение первой степени с тремя переменными и произвольными коэффициентами. В общем случае оно имеет вид

Ax + By + Cz + D = 0.

(1)

Ïðè ýòîì n = {A; B; C} — вектор, перпендикулярный плоскости (нормаль к плоскости).

Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения (1):

1.Åñëè D = 0, то плоскость проходит через нача- ло координат.

2.Åñëè À = 0, то плоскость параллельна оси Îõ.

3.Åñëè Â = 0 èëè Ñ = 0, то плоскость параллельна оси Îó èëè Oz соответственно.

4.Åñëè À = 0 è Â = 0, то плоскость параллельна

координатной плоскости õÎó.

5. Åñëè À = 0 è Ñ = 0 èëè Â = 0 è Ñ = 0, то плоскость параллельна координатной плоскости õÎz èëè yOz соответственно.

Например, x - 2y - 5z = 0 — уравнение плоскости, проходящей через начало координат; 3x + 4z -

363

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел VIII. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

-8 = 0 — уравнение плоскости, параллельной оси Îó; 3y - 7 = 0 — уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости xOz.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Ì (õ0; ó0; z0) и перпендикулярной век-

òîðó n = {A; B; C}, имеет вид

A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) = 0. (2)

П р и м е р 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку Ì (1; 2; 3) и перпендикуляр-

ной вектору n = {4; 5; - 2}.

q Согласно уравнению (2), при À = 4, Â = 5, Ñ = = –2, x0 = 1, y0 = 2, z0 = 3 получим

4(x - 1) + 5 (y - 2) - 2(z - 3) = 0,

откуда

4x + 5y -2z - 8 = 0.

Уравнение плоскости, проходящей через три за-

данные точки Ì1 (õ1; ó1; z1), Ì2 (õ2; ó2; z2), Ì3 (õ3; ó3; z3), имеет вид

x - x1 y - y1 z - z1

x2	- x1	y2	- y1	z2	- z1	= 0.	(3)
x3 - x1		y3 - y1		z3 - z1

П р и м е р 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Ì1 (1; 2; 3), Ì2 (2; –1; 4), Ì3 (3; 2; –3).

364

ГЕОМЕТРИЯ

§ 27. Точка, прямая, плоскость. Фигуры и тела

q Имеем

		x - 1	y - 2 zz-–3 3
		2 - 1 - 1 - 2 44-–3 3				= 0,
		3 - 1	2 - 2	- 3 - 3
èëè
	x - 1		y - 2	z - 3
	1		- 3	1	= 0,
	2		0	- 6

откуда, разлагая определитель по элементам первой строки, находим

18(x - 1) + 8(y - 2) + 6 (z - 3) = 0,

èëè

9x + 4y + 3z – 26 = 0.

Будем называть фигурой некоторое сочетание определенным образом расположенных точек, лучей, прямых, отрезков. При этом мы будем рассматривать только плоские фигуры, т. е. такие фигуры, все элементы которых лежат в одной плоскости. Например, фигурой является квадрат.

Телом обычно называют часть пространства, ограниченную какой-либо замкнутой поверхностью. Например, куб — это тело, ограниченное шестью квадратными гранями.

253. Óãîë. Углом называется часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом. При этом лучи называются сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла. Углы обычно обозначаются или тремя прописными латинскими буквами (где вершина пишется в середине), или одной прописной

365

Ðèñ. 118

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел VIII. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

латинской буквой — вершиной ( ÐAOB èëè ÐO на рис. 118), или одной строчной греческой буквой. Заметим, что под углом ÀÎÂ можно понимать как заштрихованную часть плоскости, так и остальную ее часть (рис. 118).

Возможно, что лучи ÎÀ è ÎÂ лежат на одной прямой. При этом если они продол-

жают друг друга (рис. 119, à), то каждый из образуемых ими углов занимает полуплоскость; в этом случае угол ÀÎÂ называется развернутым. Åñëè æå ÎÀ è ÎÂ сливаются (рис. 119, á), то один из углов ÀÎÂ называтся нулевым, а второй занимает всю плоскость и называется полным.

Обычно под углом между двумя лучами ÎÀ è ÎÂ понимают тот угол, который лежит внутри развернутого угла, т. е. заштрихованный угол на рис. 118.

Рассмотрим развернутый угол ÀÎÂ (рис. 120). Проведем луч ÎÑ. Óãëû ÀÎÑ è ÑÎÂ, на которые

a) á)

Ðèñ. 119

Ðèñ. 120

366