Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 21. Числовые последовательности

С другой стороны, используя формулу (3), имеем

189 =	3 (qn		- 1)		,	èëè
		q - 1
							qn - 1		= 63.		(4)
							q - 1
Учитывая, что qn = 32q , и подставив это выраже-
ние в равенство (4), получим
		32q - 1		= 63; 32q - 1 = 63q - 63, q = 2.
		q - 1
Çíàÿ b			è q,			найдем b				= b q7	= 3 × 27 = 384. n
	1								8	1

П р и м е р 2. Три числа образуют конечную геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то новая тройка чисел составит конеч- ную арифметическую прогрессию. Если же третье число этой новой тройки увеличить на 9, то снова получится геометрическая прогрессия. Найти первую тройку чисел.

q Пусть b1, b2, b3 — искомые три числа. Тогда заданные условия запишутся так:

1) ¸¸ b1, b2, b3; 2) ¸ b1, b2 +2, b3; 3) ¸¸b1, b2 + 2, b3 + 9.

Используя характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий, получим:

1) b2	= b b	; 2)	b + 2 =	b1 + b3	; 3) (b + 2)2	= b	(b + 9).
2	1 3		2	2	2	1	3

289

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

Далее, так как b					= b q, b		= b q2	,		то записанные
				2	1	3	1
равенства примут следующий вид:
									b		2	2
										1	+ qb	q
1) b2q2	= b		· b q2; 2) b q + 2 =								1		;
1		1	1		1						2
3) (b q + 2)2			= b	(b q2 + 9).
1			1	1

Первое условие как тождественное равенство можно опустить. Тогда придем к системе двух уравнений с двумя переменными b1 è q:

ì2 (b q + 2)		= b		+ b q2,		ì		(1 + q	2	- 2q)	= 4,
ï	1	1		1		ïb
í		= b	(b q2		+ 9), ò.å.	í	1	(9 - 4q) = 4.
ï(b q + 2)2						ïb
î	1	1		1		î	1

Из второго уравнения выразим b1	=		4	.
	9		- 4q

Подставив это выражение в первое уравнение,

имеем			1 + q2 - 2q					= 1,				откуда		находим
				9 - 4q
q1 = 2, q2 = -4. Значит, b										= 4		ïðè q = 2 è b =			4
								1						1	25
ïðè q = –4.
Итак, условию удовлетворяют две тройки чисел:
à) 4, 8, 16 (ïðè b1 = 4, q = 2);
á)	4	, -		16	,	64	(ïðè b				=	4	, q = -4). n
25			25			25			1		25

290

АЛГЕБРА

§ 21. Числовые последовательности

212. Понятие о пределе последовательности.

Число b называется пределом последовательности (àn), если, какое бы положительное число e ни взять,

найдется номер N, начиная с которого (т. е. при n ³ N )

отличие àn			îò b по модулю будет меньше e,	ò. å.
			1
	a - b	< e.	lim a	èëè
			В этом случае пишут: lim an ==0.b,
	n		n
			n ® ¥.
			n®¥ n

an ® b ïðè n ® ¥. Говорят, что последовательность

(àn) сходится ê b.

Геометрический смысл предела последовательности: åñëè b — предел последовательности (àn), òî,

какую бы окрестность точки b ни выбрать, вся последовательность, начиная с некоторого номера N, будет изображаться точками, лежащими в этой окрест-

ности; окрестность точки b — это интервал с центром в точке b .

Ï ð è ì å ð. à) 1, 1 , 1 , 1 ,..., 1 ,... . Чем больше

2 3 4 n

номер члена последовательности, тем меньше этот член отличается от числа 0. Эта последовательность

сходится, ее предел равен нулю, т. е. lim 1 = 0.

								n®¥ n
á)	1	,	1	,	1	,...,	1	,... . Эта последовательность
	3		32		33		3n
сходится, ее предел равен нулю, т. е. lim									1	= 0.
								n®¥ 3n

в) 2, 0, 3, 2, 0, 3, 2, 0, 3, ... . Эта последовательность не имеет предела.

291

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

г) Постоянная последовательность à, à, à, ..., à, ...

сходится к пределу à, ò. å. lim a = a.

n®¥

213. Вычисление пределов последовательностей.

Для вычисления пределов последовательностей используют следующие утверждения:

10. Последовательность 1 сходится к числу 0 n

(см. пример а) из п. 212): lim 1 = 0.

n®¥ n

20. Последовательность qn, ãäå q < 1, сходится

к числу 0 (см. пример б) из п. 212), где q = 1 ): 3

lim qn = 0, åñëè q < 1.

n®¥

30. lim a = a (см. пример г) из п. 212).

n®¥

Кроме того, часто используют следующую теорему:

Ò.7.1. Åñëè			lim			a		= a è à lim b	= b, òî:
			n®¥				n	n®¥ n
à)	lim (a ± b ) = a ± b;
	n®¥		n			n
á)	lim (a b )					= ab;
	n®¥		n n
â)	lim	an		=	a		,	при условии b ¹ 0
	n®¥ bn					b

(теорема об арифметических операциях над пределами).

292

АЛГЕБРА

§ 21. Числовые последовательности

Ï ð è ì å ð.

Вычислить:

à)

lim

1

; á)

lim

n2 + n + 2

.

n®¥ n2

n®¥ 2n2

- n - 1

q

à)

Òàê

êàê

1

=

1

×

1

, à

1

® 0, òî

n2

n

n n

1

® 0 × 0 = 0. Èòàê,

lim

1

= 0. Аналогично уста-

n2

n®¥ n2

1

навливается, что nk ® 0 для любого натурально-

ãî k.

б) Разделим почленно и числитель, и знаменатель данной дроби на наивысшую (из имеющихся) сте-

пень переменной, т. е. на n2. Тогда получим

		n2			+		n		+		2						1 +	1		+ 2 ×			1
			2					2					2												2
lim		n				n					n					= lim		n						n			.
			2														1						1
n®¥																n®¥
	2n				-		n			-		1					2 -				-
																			n			n2
	2						2					2
		n					n					n

Воспользовавшись теперь тем, что lim 1 = 0,

											n®¥ n
lim	1	= 0,	lim 2 = 2, и теоремой 7.1, находим
n®¥ n2			n®¥
		lim	n2 + n + 2	=	1 + 0	+ 2	× 0	=	1	.	n
					2 -	0 -
		n®¥ 2n2 - n - 1					0		2

293

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

214. Сумма бесконечной геометрической прогрес-

ñèè ïðè q < 1. Пусть b1, b2, b3,..., bn,... — беско-

нечная геометрическая прогрессия, у которой q < 1.

Рассмотрим сумму ее первых

n

членов: Sn =

b (qn - 1)

= b

+ b

+ b

+ ... + b .

Имеем

S

=

1

. (ñì.

1

2

3

n

n

q - 1

п. 211). Вычислим

lim S

. Используя утверждения,

n®¥ n

приведенные в п.213, получим

b (qn - 1)

b

(qn - 1)

lim

S =

lim

1

= lim

1

=

n®¥

n

n®¥ q - 1

n®¥ q -

1

=

b1

(0 - 1) =

b1

.

q - 1

1

- q

Итак, для бесконечной геометрической прогрес-

сии, у которой

q

< 1,

существует

lim S , ãäå

S =

n®¥ n

n

= b1 + b2 + b3 + ... + bn.

Этот предел называют суммой бесконечной гео-

метрической прогрессии и обозначают S:
S =		b1	.	(1)
1		- q

П р и м е р. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой q < 1, равна 9, а сумма квад-

ратов ее членов равна 40,5. Найти сумму первых шести членов прогрессии.

294

АЛГЕБРА

§ 21. Числовые последовательности

q Пусть b1, b2, b3,...,bn,... — заданная прогрес-

сия. По условию ее сумма равна 9, т. е.					b1		= 9.
					1 - q
Рассмотрим последовательность b2	,	b2	, b2	,...,b2,....
1		2	3		n

Каждый ее член получается из предыдущего умно-

жением на q2, откуда следует, что это геометричес-

кая прогрессия B1, B2, B3,..., Bn,..., у которой пер-

вый член равен b2,	ò. å. B = b2, а знаменатель Q
1	1	1
равен q2, ò. å. Q = q2. Òàê êàê			q2		< 1, òî			Q		< 1, à
сумма новой прогрессии равна			B1			. Согласно ус-
		1 - Q

ловию эта сумма равна 40,5. Значит, мы приходим к системе

	ì		b1	= 9,
	ï
		1	- q
	ï
	í		b12
	ï				= 40,5.
	ï	1	- q	2
	î

Из первого уравнения выразим b1 = 9 (1 - q); подставив это выражение во второе уравнение, получим

81(1 - q)2		81					1		- q	=	1	, q =	1
	=		,	откуда										. Тогда
1 - q2		2					1		+ q		2		3
			æ		1	ö	= 6.
b1 = 9 (1 - q) = 9 ç1				-		÷			Теперь можно найти
					3
			è			ø

295

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

сумму первых шести членов прогрессии:

æ

æ 1

ö

6

ö

ç

- 1

÷

6

ç

ç

÷

÷

b1 (q

6

- 1)

è 3

ø

80

S =

=

è

ø

= 8

. n

6

q

- 1

1

- 1

81

3

§22. Предел функции

215.Предел функции y = f (x) ïðè x ® ¥. Горизонтальная асимптота. Число b называется пределом

функции y = f (x) при стремлении õ ê +¥, если, какое бы число e > 0 ни взять, найдется число M > 0 такое, что для всех x > M выполняется неравенство

f (x) - b < e. При этом пишут: lim f (x) = b, èëè

x®+¥

f (x) ® b ïðè x ® +¥.

Геометрически это означает, что график функции y = f (x) при выборе достаточно больших значений õ безгранично приближается к прямой y = b (ðèñ. 88),

т. е. расстояние от точки графика до прямой y = b по мере удаления точки в бесконечность может быть сде-

лано меньше любого числа e > 0. Прямая y = b называется в этом случае горизонтальной асимптотой графика функции y = f (x) . Так, горизонтальной

	æ	1	öx
асимптотой графика функции	y = ç		÷	ïðè x ® +¥
	è	2	ø

является прямая ó = 0, ò. å. îñü Îõ (ñì. ðèñ. 38).

296

АЛГЕБРА

§ 22. Предел функции

Ðèñ. 88

Ðèñ. 89

Прямая y = b может служить горизонтальной

асимптотой графика функции y = f (x) и при выборе достаточно больших по модулю, но отрицательных значений аргумента (рис. 89). Тогда говорят, что

число b åñòü предел функции y = f (x) при стрем-

лении х к – ×, и пишут: lim f (x) = b, èëè f (x) ® b

x®-¥

ïðè x ® -¥. Например, lim (3 + 2x) = 3, ò. å. ïðÿ-

x®-¥

ìàÿ ó = 3 — горизонтальная асимптота графика функции f (x) = 3 + 2x ïðè x ® -¥. Наконец, прямая y = b может являться горизонтальной асимптотой графика функции y = f (x) è ïðè x ® +¥ , è ïðè x ® -¥. Так, прямая ó = 0 — горизонтальная асимптота графика функции y = 1/ x (см. рис. 24). В этом случае говорят, что число b åñòü предел функции y = f (x) при стремлении х к ¥, и пишут:

lim f (x) = b, èëè f (x) ® b ïðè x ® ¥.

x®¥

297

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

216. Вычисление пределов функций при x ® ¥.

Для вычисления пределов функций при x ® ¥ используют следующие теоремы об операциях над пределами:

Ò.7.2. Åñëè lim f (x) = a,	lim g (x) = b, òî lim (f (x) +
x®¥	x®¥	x®¥
+g (x)) = a + b (теорема о пределе суммы).
Ò.7.3. Åñëè lim f (x) = a,	lim f (x) = b,	òî
x®¥	x®¥

lim (f (x) g(x)) = ab (теорема о пределе произведе-

x®¥

íèÿ).

Ò.7.4. Åñëè lim f (x) = a, òî	lim kf (x) = ka (теоре-
x®¥	x®¥

ма о вынесении постоянного множителя за знак предела).

Ò.7.5. Åñëè

lim f (x) = a,

lim g (x) = b

è b ¹ 0, òî

x®¥

x®¥

lim

f (x)

=

a

(теорема о пределе частного).

x®¥ g (x)

b

3x3 - 2x2 + x + 3

П р и м е р. Вычислить

lim

.

x3

+ 4

x®¥

q Разделив числитель и знаменатель почленно

íà õ3, имеем

3 -

2

+

1

+

3

2

3

lim

x

x

x

=

4

x®¥

1 +

x3

298