Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 23. Производная

4.Df = 3x2 + 3x × Dx + (Dx)2. Dx

5.	lim	Df	=	lim (3x2 + 3x × Dx + (Dx)2) =
	Dx®0	Dx		Dx®0

= 3x2 + 3x × 0 + 02 = 3x2.

Èòàê, (x3)¢ = 3x2. n

222. Формулы дифференцирования. Таблица производных. Операцию отыскания производной называют дифференцированием. В п. 221 получена

одна из формул дифференцирования: (x3)¢ = 3x2. Ïî

такому же плану можно вывести формулы, которые приведены в следующей таблице производных:

1.C¢ = 0.

2.(kx + b)¢ = k.

3.(xr )¢ = rxr-1.

4.(ex )¢ = ex.

5.(ax )¢ = ax lna.

6.(ln x)¢ = 1 .

x

7. (loga x)¢ = 1 . x ln a

8. (sinx)¢ = cosx.

9.	(cosx)¢ = - sinx.
10.	(tg x)¢ =		1					.
		cos2 x
			1
11.	(ctg x)¢ = -								.
				sin2 x
12.	(arcsin x)¢		=			1					.
							1 - x2
13.	(arccos x)¢		= -			1						.
								1 - x2
14.	(arctg x)¢ =					1				.
					1 + x2
15.	(arcctg x)¢		= -			1					.
							1 + x2

309

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

Например:

(2x - 3)¢ = 2 (по формуле 2);

	10	)¢ = 10x	9	æ	1	ö¢		-2	)¢ = -2x	-3
(x				, ç		÷	= (x				,
				è x2		ø

3- 23

	(x5 )¢ =			x 5 (по формуле 3);
		5
	(6x )¢ = 6x ln6 (по формуле 5);
	(lgnx)¢ =	1			(по формуле 7).

xln10

223.Дифференцирование суммы, произведения, частного. Во всех приведенных ниже теоремах будем считать заданные функции u è v дифференцируемыми в точке õ.

Ò.7.6. Производная суммы двух функций вычисляется по формуле

(u + v)¢ = u¢ + v¢

(теорема о дифференцировании суммы).

Ò.7.7. Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

(Cu)¢ = Cu¢

(теорема о вынесении постоянного множителя

за знак производной).

310

АЛГЕБРА

§ 23. Производная

Ò.7.8. Производная произведения двух функций вы- числяется по формуле

(uv)¢ = u¢v + uv¢

(теорема о дифференцировании произведения).

Ò.7.9. Производная частного двух функций вычисляется по формуле

æ u ö¢				u¢v - uv¢
ç		÷	=		при условии	v (x) ¹ 0
				v2
è v ø

(теорема о дифференцировании частного).

П р и м е р 1. Найти производную функции:

à) y = 2 sin x - 0,7 cosx + 5; á) x0,4 log3 x. q а) Используя теоремы 7.6 и 7.7, имеем

(2sinx - 0,7cosx + 5)¢ = (2sinx)¢ + (-0,7 cosx)¢ + 5¢ =

= 2(sinx)¢ - 0,7 (cos x)¢ + 5¢.

Остается применить соответствующие формулы дифференцирования (см. п. 222). Тогда получим

2 cosx - 0,7 (- sin x) + 0 = 2 cosx + 0,7 sin x.

б) Согласно теореме 7.8, находим

(x0,4 log3 x)¢ = (x0,4)¢ log3 x + x0,4(log3 x)¢.

Теперь применим формулы дифференцирования и получим

0,4x-0,6 log		x + x0,4	×	1	=	0,4 ln x + 1	.
	3
				x ln3		x00,64 × ln 3 n

311

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

П р и м е р 2. Вычислить f¢ (0),						åñëè
			f(x) =	2x
					.
				x2 + 1
q Сначала найдем f¢ (x). Воспользовавшись тео-
ремой 7.9, получим
f¢ (x) =			(2x )¢(x2 + 1) - 2x (x2 + 1)¢					=
			(x2 + 1)2
=		2x ln2 × (x2		+ 1) - 2x × 2x			.
			(x2	+ 1)2
Теперь вычислим
f¢ (0) =	20 ln2 × (02 + 1) - 20 × 2 × 0						= ln2. n
		(02 + 1)2

224. Сложная функция и ее дифференцирование. Рассмотрим функцию y = sin x2. Чтобы найти значение этой функции в фиксированной точке õ, нужно: 1) вычислить õ2; 2) найти значение синуса при полученном значении õ2. Иными словами, сна- чала надо найти значение функции g (x) = x2, а затем найти sin g (x). В подобных случаях говорят, что задана сложная функция f (g (x)). В данном случае

u = g (x) = x2, à f (u) = sinu.

312

АЛГЕБРА

§ 23. Производная

П р и м е р 1. Из каких функций составлена

сложная функция y = tg5 (2x + 1) ?

q Эта функция состоит из трех функций: g(x) = 2x + 1, h(u) = tg u, f(z) = z5. В самом деле, f (h (g (x))) = (tg (g (x)))5 = (tg (2x + 1))5 = tg5 (2x + 1). n

Пусть y = f (g (x)) — сложная функция, причем функция u = g (x) дифференцируема в точке х, à

функция y = f (u) дифференцируема в соответству-

ющей точке u. Тогда функция y = f (g (x)) дифференцируема в точке х, причем

y¢ = f¢ (g (x)) × g¢(x).

Запись f¢ (g (x)) означает, что производная вычисляется по формуле для f¢ (x), но вместо õ нужно подставить g (x).

П р и м е р 2. Найти ((3x + 5)4)¢.

qЗдесь g (x) = 3x + 5, f (u) = u4, f (g (x)) = (3x +

+5)4. Значит,

y¢ = f¢(g (x)) × g¢(x) = 4(3x + 5)3 × (3x + 5)¢ =

= 4(3x + 5)3 × 3 = 12(3x + 5)3. n

Отметим частный случай правила дифференцирования сложной функции:

(f (kx + b))¢ = kf¢(kx + b).

Òàê, (sin 3x)¢ = 3 cos 3x; ( 5 - 7x)¢ = -	7
	.
2	5 - 7x

313

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

225. Физический смысл производной. Скорость произвольно движущейся точки является векторной величиной, она определяется с помощью вектора — перемещения точки за промежуток времени. Однако если точка движется по прямой, то ее положение, перемещение, скорость, ускорение можно задать числами, т. е. считать скалярными величинами. Пусть

s = s (t) — скалярный закон прямолинейного движения, тогда s¢ (t) выражает скорость движения в момент t (мгновенную скорость), ò. å. v = s¢ (t).

Например, закон свободного падения тела выра-

жается зависимостью s = 0,5gt2. Тогда скорость падения в момент t такова:

v = s¢ = (0,5gt2)¢ = 0,5g × (t2)¢ = 0,5g × 2t = gt.

Пусть теперь точка À движется по криволинейной траектории. Обозначим координаты точки À в момент времени t через x (t) è y (t). Эти координаты зависят от t и являются функциями от t. Рассмотрим мгновенную скорость движущейся точки À â

момент времени t.Вектор мгновенной скорости v направлен по касательной к траектории в точке À. Êî-

ординаты вектора v также зависят от времени t:

они равны соответственно x¢(t) è y¢(t) , ãäå x¢ è y¢ — производные функций õ è ó в точке t.

Вообще, производная функции f в точке Х выражает скорость изменения функции в точке Х, т. е. скорость протекания процесса, описываемого зави-

симостью y = f (x). В этом состоит физический смысл

314

АЛГЕБРА

§ 23. Производная

производной. Например, если дана функция y = x2,

òî f¢(x) = 2x; ïðè õ = 2 находим f¢(2) = 4, à ïðè õ = = 3 имеем f¢(3) = 6. Это значит, что в точке

õ = 2 функция изменяется в 4 раза быстрее аргумента, а в точке õ = 3 — в 6 раз быстрее.

226. Вторая производная и ее физический смысл.

Пусть функция y = f (x) имеет производную f¢ (x). Это новая функция, которая в свою очередь может

иметь производную. Производная функции f¢ (x)

называется второй производной функции y = f (x)

и обозначается f¢¢ (x) èëè y¢¢.

П р и м е р 1. Найти y¢¢, åñëè ó = õ10.

q Имеем (x10)¢ = 10x9, à (10x9)¢ = 90x8. Èòàê, (x10)¢¢ = 90x8. n

Пусть s = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда вторая производная выражает скорость изменения скорости этого движения, т. е. ускорение a = s¢¢(t). В этом состоит физический смысл вто-

рой производной.

П р и м е р 2. Материальная точка движется

прямолинейно по закону s =	1	. Доказать, что
	2t - 1

сила, действующая на тело, пропорциональна кубу пройденного пути.

q Согласно второму закону Ньютона F = ma, ãäå F — сила, действующая на тело, à — ускорение,

315

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

m — масса; a = s¢¢. Имеем

s¢ = ((2t - 1)-1)¢ = -(2t - 1)-2 × (2t - 1)¢ = -2(2t - 1)-2; s¢¢ = (-2(2t - 1)-2)¢ = -2 × (-2) × (2t - 1)-3 × (2t - 1)¢ =

= 8 (2t - 1)-3 =					8	.
			(2t - 1)3
Значит, F = ma =	8			= 8ms3, ò. å. ñèëà F
	(2t - 1)3
пропорциональна s3. n
227. Касательная к графику функции. Рассмот-
рим график функции y = f (x),					дифференцируемой в
точке à, выделим на нем точку					M (a;f (a)) и прове-
дем секущую MP2, ãäå Ð		— точка графика, соот-
	2

ветствующая значению аргумента a + Dx (ðèñ. 93, à).

à)		á)

Ðèñ. 93

316

y = f (x)

АЛГЕБРА

§ 23. Производная

Угловой коэффициент прямой MP2 вычисляется по

Dy

формуле kñåê = Dx (ñì. ï. 220).

Если точка Ð движется по графику, приближаясь к точке Ì, то прямая ÌÐ начнет поворачи- ваться вокруг точки Ì. Чаще всего в этом процессе секущая ÌÐ стремится занять некоторое предельное положение. Оно представляет собой прямую, с которой практически сливается график фун-

êöèè y = f (x) в некоторой окрестности точки à; эта прямая и есть касательная к графику функции в точке õ = à. Угловой коэффициент

такой предельной прямой (обозначим его k) полу- чается из углового коэффициента секущей в про-

цессе предельного перехода от Ð ê Ì: k = lim k

ñåê

.

P®M

Условие P ® M

можно

заменить условием

Dx ® 0,

а вместо k

написать

Dy

. В итоге полу-

ñåê

Dx

÷àåì k =

lim

Dy

.

Íî lim

Dy

— это значение

Dx

Dx®0

Dx

Dx®0

производной функции y = f (x) в фиксированной точ- ке õ = à, ò. å. f¢ (a) (ñì. ï. 221).

Èòàê, k = f¢(a), ò. å. значение производной функции y = f (x) в точке х = а равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f (x) â

точке х = à (ðèñ.93, á). В этом состоит геометрический смысл производной.

317

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

Таким образом, касательную к графику функции f, дифференцируемой в точке a, можно истолковать: как предельное положение секущей при

Dx ® 0; как прямую, проходящую через точку (a; f(a)), с отрезком которой практически сливается график функции f при значениях x, близких к a; наконец, как прямую, проходящую через точку (a; f(a)) è èìå-

ющую угловой коэффициент, равный f¢(a).

Если функция f дифференцируема в точке х = а, то в этой точке к графику можно провести касательную; верно и обратное: если в точке х = а к графику функции f можно провести невертикальную касательную, то функция дифференцируема в точке х = а.

Уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке õ = à имеет вид

y = f (a) + f¢(a) (x - a).					(1)
П р и м е р. Составить уравнение касательной к
графику функции y =			x в точке õ = 4.
q Имеем f (x) =		x, f¢(x) =		1 , a = 4,	f (a) =
			2	x
= 4 = 2, f¢(a) =	1	= 0,25. Подставив значения à,
2	4
f (a) è f¢ (a) в уравнение (1), получим
y = 2 + 0,25 (x - 4),			ò. å. y = 0,25 x + 1. n

318