Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 17. Решение неравенств

q Первое неравенство системы преобразуется в равносильное ему неравенство õ > –1,5, а второе — в неравенство õ < 1,25. Таким образом, задача сво-

дится к решению системы íìx > -1,5,	С помощью
îx < 1,25.

координатной прямой (рис. 78) находим, что искомое множество есть интервал (–1,5; 1,25). n

185. Совокупности неравенств с одной переменной. Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из данных неравенств. Значение переменной, при котором хотя бы одно из неравенств, образующих совокупность, обращается в верное числовое неравенство, называется решением совокупности нера-

венств.

П р и м е р. Решить совокупность неравенств

	2x - 3	>	3x - 10	;	x	+ 1 >	3x	.
	5		2		4		2

q Преобразовав каждое из неравенств, получим

совокупность, равносильную заданной: x < 4; x < 0,8.

С помощью координатной прямой (рис. 79) устанавливаем, что решением заданной совокупности слу-

жит промежуток (-¥, 4). n

Ðèñ. 78

Ðèñ. 79

249

АЛГЕБРА

Раздел V. НЕРАВЕНСТВА

186. Дробно-линейные неравенства. Здесь речь

идет о неравенствах вида	ax + b	> 0 èëè	ax + b	< 0 ,
	cx + d		cx + d
ãäå a ¹ 0, c ¹ 0.

П р и м е р. Решить неравенство 3x + 7 > 5. 2x - 7

q Имеем

	3x + 7	- 5 > 0,	3x + 7 - 10x + 35	> 0,	-7x + 42	> 0.
	2x - 7		2x - 7		2x - 7

Умножив обе части последнего неравенства на –1 и изменив при этом знак неравенства, получим

7x - 42 < 0.

2x - 7

Дробь отрицательна в двух случаях: 1) если числитель отрицателен, а знаменатель положителен; 2) если числитель положителен, а знаменатель отрицателен. Значит, получается совокупность систем неравенств

ì7x - 42 < 0,		ì7x - 42 > 0,
í	> 0;	í	< 0.
î2x - 7		î2x - 7

Из первой находим õ < 6, x > 3,5, ò. å. 3,5 < x < 6. Из второй находим x > 6, x < 3,5, т. е. система не имеет решений. Значит, множество решений данного неравенства есть интервал (3,5; 6). n

187.Неравенства второй степени. Здесь речь идет

îнеравенствах вида ax2 + bx + c > 0 èëè ax2 + bx + +c < 0, ãäå a ¹ 0.

250

АЛГЕБРА

§ 17. Решение неравенств

Ò.5.6. Если дискриминант D = b2 - 4ac квадратно-

го трехчлена ax2 + bx + c отрицателен, а старший коэффициент а положителен, то при всех зна- чениях х выполняется неравенство

ax2 + bx + c > 0.

Рассмотрим теперь случай, когда D ³ 0. Äëÿ ðå-

шения неравенства ax2 + bx + c > 0 (èëè ax2 + bx + +c < 0 ) нужно разложить квадратный трехчлен

ax2 + bx + c на множители по формуле ax2 + bx + +c = a (x - x1) (x - x2) (см. п. 60), затем разделить обе части неравенства a (x - x1)(x - x2) > 0 (èëè a (x - x1)(x - x2) < 0 )на число à, сохранив знак неравенства, если a > 0, и изменив знак неравенства на противоположный, если a < 0 (см. п.181), т. е. перейти к неравенству (x - x1) (x - x2) > 0 (èëè

(x - x1) (x - x2) < 0 ). Теперь остается воспользовать-

ся тем, что произведение двух чисел положительно (отрицательно), если множители имеют одинаковые (разные) знаки.

	П р и м е р. Решить неравенство:
	à) 2x2 + 5x + 2 > 0; á) 5 - 3x ³ 2x2.
	q а) Найдем корни квадратного трехчлена
2x2 + 5x + 2.		Из уравнения 2x2 + 5x + 2 = 0 получа-
åì	x = -2,	x = -0,5.	Поэтому, 2x2	+ 5x + 2 =
	1	2

251

АЛГЕБРА

Раздел V. НЕРАВЕНСТВА

= 2(x + 2) (x + 0,5), и мы приходим к неравенству

	2(x + 2) (x + 0,5) > 0, откуда		(x + 2) (x + 0,5) > 0. Çíà-
	чит, выражения x + 2	è x +	1	должны иметь одина-
			2
	ковые знаки, т. е.
	ìx + 2 > 0,	èëè	ìx + 2 < 0,
	í		í		< 0.
	îx + 0,5 > 0		îx + 0,5
	Из первой системы находим, что				x > -0,5, à èç
	второй — что x < -2.	Ответ можно записать так:
	(-¥, - 2) 7 (-0,5; + ¥).
	б) Преобразуем неравенство к виду					2x2 + 3x -
	-5 £ 0. Корни квадратного трехчлена					2x2 + 3x - 5

таковы: x1 = -2,5, x2 = 1. Разложив трехчлен на множители, получим неравенство 2(x + 2,5) (x - 1) £ 0,

ò. å. (x + 2,5) (x - 1) £ 0. От последнего неравенства переходим к совокупности систем:

ìx + 2,5 £ 0,		ìx + 2,5 ³ 0,
í	³ 0;	í	£ 0.
îx - 1		îx - 1

Первая не имеет решений, а из второй находим

-2,5 £ x £ 1. n

188. Графическое решение неравенств второй степени. Графиком квадратичной функции y = ax2 + + bx + ñ является парабола, ветви которой направлены вверх, если a > 0, è âíèç, åñëè a < 0. При этом возможны три случая: парабола пересекает ось Îõ

252

АЛГЕБРА

§ 17. Решение неравенств

(т. е. уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет два различ- ных корня); парабола имеет вершину на оси Îõ

(т. е. уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет один корень); парабола не пересекает ось Îõ (т. е. уравнение

ax2 + bx + c = 0 не имеет корней). Таким образом, возможны шесть положений параболы, служащей гра-

фиком функции y = ax2 + bx + c относительно оси Îõ, — они представлены на рис. 80 и 81.

à)

á)

â)

Ðèñ. 80

à)

á)

â)

Ðèñ. 81

253

АЛГЕБРА

Раздел V. НЕРАВЕНСТВА

П р и м е р. Решить графически неравенство: а) 2x2 - 5x + 2 > 0; á) - x2 + 4x - 4 > 0.

q Уравнение 2x2 - 5x + 2 = 0 имеет два корня: x1 = 0,5, x2 = 2. Парабола, служащая графиком фун-

êöèè y = 2x2 - 5x + 2, имеет вид, изображенный на

ðèñ. 80, à. Неравенство 2x2 - 5x + 2 > 0 выполняется при тех значениях õ, при которых точки параболы

лежат выше оси Îõ: это будет при x < x1 èëè x > x2, ò. å. ïðè x < 0,5 èëè ïðè x > 2. Значит, решения неравенства таковы: x < 0,5, x > 2.

б) Уравнение - x2 + 4x - 4 = 0 имеет один корень õ = 2. Парабола, служащая графиком функции

y = -x2 + 4x - 4, имеет вид, изображенный на рис. 81, á.

Неравенство - x2 + 4x - 4 > 0 выполняется при тех значениях, при которых точки параболы лежат выше оси Îõ. Таких точек нет, значит, неравенство не имеет решений. n

189. Неравенства с модулями. При решении неравенств, содержащих переменные под знаком модуля, используется определение модуля:

ìf (x), åñëè f(x) ³ 0, f (x) = í

î- f (x), åñëè f(x) < 0.

Иногда полезно использовать геометрическую интерпретацию модуля действительного числа (см. п. 29).

254

АЛГЕБРА

§ 17. Решение неравенств

Кроме того, можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства, основанный на следующей теореме:

Ò.5.7. Если выражения f (x) è g (x) при любых х принимают только неотрицательные значения,

то неравенства f (x) > g (x) è (f (x))2 > (g (x))2 равносильны.

П р и м е р 1. Решить неравенство x - 1 < 2.

q I способ. Величину x - 1 можно рассматри-

вать как расстояние на координатной прямой между точками õ и 1. Значит, нам нужно указать все точки õ, которые удалены от точки 1 меньше чем на 2 единицы. С помощью координатной прямой устанавливаем, что множество решений неравенства есть интервал (–1, 3).

IIспособ. Возведя обе части данного неравенства

âквадрат, получим равносильное ему неравенство

(x - 1)2 < 4. Решив последнее неравенство, получим

x2 - 2x - 3 < 0, откуда находим, что -1 < x < 3 (ñì.

ï.187 èëè ï.188).

III способ. По определению,

ìx - 1, åñëè x - 1 ³ 0, x - 1 = í

î- (x - 1), åñëè x - 1 < 0.

Поэтому данное неравенство можно заменить совокупностью двух систем неравенств:

ìx - 1 ³ 0, ìx - 1 < 0,
í	< 2;	í	< 2.
îx - 1		î- (x - 1)

255

АЛГЕБРА

Раздел V. НЕРАВЕНСТВА

Из первой системы следует, что 1 £ x < 3, à èç

второй — что -1 < x < 1. Объединив эти решения, получим промежуток (–1, 3). n

П р и м е р 2. Решить неравенство: а) 2x + 4 £ 3x + 2; á) 1 - 2x > 8 - x.

q à) Åñëè 2x + 4 ³ 0, òî 2x + 4 = 2x + 4, и, следовательно, неравенство примет вид 2x + 4 £ 3x + 2. Åñëè æå 2x + 4 < 0, òî 2x + 4 = -(2x + 4), и неравен-

ство принимает вид -(2x + 4) £ 3x + 2. Таким образом, данное неравенство можно заменить совокупностью двух систем:

ì2x + 4 ³		0,	ì2x + 4	< 0,
í	£ 3x + 2;		í		£ 3x + 2.
î2x + 4			î- (2x + 4)

Из первой системы находим x ³ 2, а вторая не имеет решений. Значит, множество решений нера-

венств — луч [2, + ¥).

á) Åñëè 1 - 2x ³ 0, òî 1 - 2x = 1 - 2x, т. е. неравенство примет вид 1 - 2x > 8 - x. Åñëè æå 1 - 2x < 0,

òî 1 - 2x = 2x - 1, т. е. неравенство примет вид

2x - 1 > 8 - x. Значит, от данного неравенства переходим к совокупности двух систем:

ì1 - 2x ³ 0,			ì1 - 2x < 0,
í	- 2x > 8	- x;	í	> 8	- x.
î1			î2x - 1

256

АЛГЕБРА

§ 17. Решение неравенств

Из первой системы следует, что x < – 7, а из второй — что x > 3. Ответ можно записать как объеди-

нение двух промежутков: (- ¥, - 7) 7 (3, + ¥). n

190. Решение рациональных неравенств методом промежутков. Решение рациональных нера-

	венств вида	p (x)	> 0	(вместо знака > может быть
		q (x)

любой другой знак неравенства), где p (x) è q (x) — многочлены, основано на следующем рассуждении.

Рассмотрим функцию h (x) = (x - a) (x - b) , ãäå (x - c) (x - d)

a < b < c < d. Åñëè x > d, то каждый из множителей x - a, x - b, x - c, x - d положителен, и, следовательно, на промежутке (d, + ¥) имеем h (x) > 0. Åñëè

c < x < d, òî x - d < 0, а остальные множители попрежнему положительны. Значит, на интервале

(c, d) имеем h(x) < 0. Аналогично на интервале (b, c) получим h (x) > 0 è ò. ä. (ðèñ. 82, à).

Изменение знаков функции h (x) удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (ее называют кривой знаков), которую чертят справа налево, начиная сверху (рис. 82, á). Эту иллюстрацию

à)

á)

Ðèñ. 82

257

АЛГЕБРА

Раздел V. НЕРАВЕНСТВА

нужно понимать так: на тех промежутках, где эта кривая проходит выше координатной прямой, выполняется неравенство h (x) > 0, на тех же промежутках, где кривая проходит ниже прямой, — неравенство h(x) < 0.

Для проведенного выше рассуждения несущественно количество линейных множителей в числителе и знаменателе, а также взаимное расположение корней числителя и знаменателя дроби на координатной прямой. Поэтому оно применимо и для функции вида

f (x) = (x - a1) (x - a2)...(x - an ) , (x - b1) (x - b2)...(x - bk)

где числа a1, a2,...,an, b1, b2,...,bk попарно различ- ны. Изменение знаков функции f (x) также иллюстрируют с помощью кривой знаков, которую чертят справа налево, начиная сверху, и проводят через все отмеченные на координатной прямой точки

a1, a2,..., an, b1, b2,...,bk. На этом основан метод промежутков, который применяется для решения рациональных неравенств.

П р и м е р. Решить неравенство:

à) (x + 5) (x - 3) (x +	2) < 0; á)	(x - 3) (x + 2)	£ 1.
(2x - 3) (4x + 5)		x2 - 1

q а) Преобразуем левую часть неравенства:

	(x + 5) (x - 3) (x + 2)	< 0
	2 x - 1,5 × 4 x + 1,25

258