Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 16. Системы уравнений

приведенному в п. 174, а именно: если определитель

D системы (2) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по

формулам Крамера:

x =	D	x	, y =	Dy	, z =	D	z	,	(3)
				D
	D					D

ãäå Dx, Dy, Dz — определители, получающиеся из

определителя D заменой столбцов коэффициентов при соответствующих неизвестных столбцом свободных членов.

Ïðè D = 0 система (2) либо вообще не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений.

П р и м е р. Решить систему уравнений

ì2x + 4y + z = -3,

ïí- x + 3y + 5z = 7, ïî4x - y + 3z = -5.

q Определитель системы был найден ранее:

D = 109.	Находим определители Dx, Dy, Dz :
	- 3	4	1							2	- 3	1
Dx =	7	3	5		= -218, Dy =					- 1	7	5	= 0,
	- 3	- 1	3							4	- 5	3
						4	- 3
					2
		Dz =			- 1	3	7		= 109,
					4	- 1 - 5

241

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

откуда по формуле (3) получаем x = -2, y = 0,

z= 1.n

179.Системы показательных и логарифмических уравнений. При решении систем показательных

èлогарифмических уравнений используются обыч- ные приемы решения логарифмических и показательных уравнений (см. пп. 156, 157) и обычные приемы решения систем уравнений (см. пп. 171–174).

П р и м е р. Решить систему уравнений

ìlog		2	x + log	4	y = 4,
ï
í	x2		15y+2
ï3		= 9 × 3			.
î

q Рассмотрим первое уравнение системы. Воспользуемся тем, что log2 x = log22 x2 = log4 x2 (см. п. 75). Тогда уравнение можно записать в виде log4 x2 + + log4 y = 4 и далее log4(x2y) = 4 , откуда x2y = 44,

ò. å. x2y = 256.

Теперь рассмотрим второе уравнение системы.

Имеем 3	x2	2	15y+2		, x	2	= 15y	+ 4. Задача сводит-
		= 3	× 3
ся к решению системы
			ì	2	y = 256,
			ïx
			í		= 15y + 4.
			ïx2
			î

Подставим 15ó + 4 вместо õ2 в первое уравнение:

(15y + 4)y = 256; 15y2 + 4y - 256 = 0;

y1 = 4, y2 = - 64 . 15

242

АЛГЕБРА

§ 16. Системы уравнений

Åñëè ó = 4, òî õ2 = 15ó + 4 = 15 · 4 + 4 = 64, ò. å. õ2 =

= 64, откуда õ		= 8, õ					= –8. Åñëè	y = -	64	, òî
	1					2
								15
		æ		64 ö		+ 4 = -60, ò. å. õ2 = –60 —
x2 = 15y + 4 = 15 × ç			-		÷
		è		15 ø

это уравнение не имеет корней.

Итак, мы нашли две пары значений переменных: õ1 = 8, ó1 = 4; õ2 = –8, ó2 = 4. Так как заданная система

содержит выражения log2 x, log4 y, то должны вы-

полняться условия x > 0, y > 0. Поэтому вторая пара исходной системе не удовлетворяет. Итак, (8; 4) — решение системы. n

180. Системы тригонометрических уравнений.

При решении систем тригонометрических уравнений используют обычные приемы решения систем уравнений и формулы тригонометрии.

П р и м е р. Решить систему уравнений

ìsin x + cos y = 1,5,

ï

í 2 2

ïsin x + cos y = 1,25.

î

q Положим	sin x = u, cos y = v. Тогда получим
ìu + v =	1,5,
систему íï	Из первого уравнения выра-
ïu2 + v2	= 1,25.
î

çèì v: v = 1,5 - u. Подставим найденное выражение вместо v во второе уравнение системы:

u2 + (1,5 - u)2 = 1,25; 2u2 - 3u + 1 = 0; u1 = 1, u2 = 0,5. Åñëè è = 1, òî v = 1,5 - 1 = 0,5; åñëè æå è = 0,5, òî v = 1,5 - 0,5 = 1. Итак, мы нашли две пары решений:

243

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

u1 = 1, v1 = 0,5; u2 = 0,5, v2 = 1. Òàê êàê u = sin x, v = cos y, то остается решить две системы уравнений:

	ìsin x = 1,			ìsin x = 0,5,
	í	(1)	è	í				(2)
	îcos y = 0,5			îcos y = 1.
	Из уравнения sin x = 1		находим		x =	p	+ 2pk,
					2
	k Î Z. Из уравнения	cosy = 0,5		находим y = ±				p	+
								3

+2pn, n Î Z. Значит, решения системы (1) имеют вид x = p + 2pk, y = ± p + 2pn;, nk,ÎnZÎ. Z.

23

Из уравнения sin x = 0,5 находим x = (-1)k p + 6

+pk, k Î Z. Из уравнения cos y = 1 находим y = 2pn, n Î Z. Значит, решения системы (2) имеют вид

x = (- 1)k p + p k, y = 2 p n;, k,n nÎÎZZ.. n

6

244

Раздел V

НЕРАВЕНСТВА

§17. Решение неравенств

181.Основные понятия, связанные с решением неравенств. Пусть дано неравенство f(x) > g(x), которое будем называть неравенством с одной переменной. Всякое значение переменной, при котором данное неравенство обращается в верное числовое равенство, называется решением неравенства. Решить неравенство с переменной — значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают; в частности, неравенства равносильны, если оба не имеют решений.

Ò.5.1. Если в неравенстве какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный, то полу- чится неравенство, равносильное данному.

Ò.5.2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному.

Ò.5.3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

245

АЛГЕБРА

Раздел V. НЕРАВЕНСТВА

Например, неравенства –6õ < 12 è õ > –2 равносильны (обе части неравенства –6õ < 12 мы разделили на отрицательное число –6, изменив при этом знак < исходного неравенства на знак >).

Ò.5.4. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной положительные значения, то получится неравенство, равносильное данному.

Ò.5.5. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной отрицательные значения, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

182. Графическое решение неравенств с одной переменной. Для графического решения неравенства

f (x) > g (x) нужно построить графики функций y = = f (x) è y = g (x) и выбрать те промежутки оси абсцисс, на которых график функции y = f (x) распо-

ложен выше графика функции y = g (x).

П р и м е р. Решить графически неравенство

log2 x > 2 . x

q Построим в одной системе координат графики

	функций y = log2 x è y =	2	(рис. 77). Из рисунка
		x

видно, что график функции y = log2 x расположен

246

АЛГЕБРА

§ 17. Решение неравенств

выше графика функции y = 2 ïðè õ > 2. Èòàê, x

(2, + ¥) — решение неравенства. n

183. Линейные неравенства с одной переменной. Здесь речь идет о неравенствах вида ax > b èëè ax < b, ax ³ b, ax £ b . Åñëè à > 0, то неравенство

ax > b равносильно неравенству x > b , ò. å. ìíî- a

жество решений неравенства есть промежуток

æ b		, + ¥	ö	Åñëè æå à < 0, то неравенство ax > b
ç			÷ .		ðàâ-
è a			ø

носильно неравенству x < b , поэтому множеством a

Ðèñ. 77

247

АЛГЕБРА

Раздел V. НЕРАВЕНСТВА

æ	- ¥ ,	b ö
решений неравенства является промежуток з			÷.
è		a ø

Наконец, если à = 0, то неравенство принимает вид 0 Ч x > b, т. е. оно не имеет решений в случае, когда

b ³ 0, и верно при любых õ в случае, когда b < 0. П р и м е р. Решить неравенство

2(x - 3) + 5(1 - x) ³ 7 (2x - 5). q Раскрыв скобки и упрощая, имеем

-2 x - 6 + 5 - 5x ³ 14x - 35; -3x - 14x ³ -35 + 1;

-17x ³ -34.

(1)

Это неравенство равносильно заданному. Разделив теперь обе части неравенства (1) на отрицательное число –17 и изменив знак неравенства, получим неравенство x £ 2, равносильное (1). Итак, (- ¥,2] — множество решений заданного неравенства. n

184. Системы неравенств с одной переменной.

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему, если ставится задача найти все общие решения заданных неравенств. Значение переменной, при которой каждое неравенство системы обращается в верное числовое неравенство, назы-

вается решением системы неравенств. П р и м е р. Решить систему неравенств

ì5x + 2 > 3x - 1,

í

î3x + 1 > 7x - 4.

248