Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 22. Предел функции

	3 - 2 ×	1	+	1	×		1		+ 3 ×				1		×	1	×	1
= lim		x x x											x x x							.
x®¥	1 + 4 ×					1		×		1	×	1
						x x						x

Òàê êàê lim 1 = 0 (см. п. 215), то воспользовав-

x®¥ x

шись теоремами 7.2 — 7.5, получим

lim	3x3	- 2x2 + x + 3	=	3 - 2 × 0	+ 0 × 0 + 3 × 0	× 0 × 0	= 3.n
		x3 + 4			+ 4 × 0 × 0 × 0
x®¥				1
217. Предел функции в точке. Непрерывные фун-
êöèè. Рассмотрим функции					y = f (x),	y = g (x) è

y = h (x), графики которых изображены на рис. 90. Это разные функции, они отличаются своим поведением в точке õ = à. Åñëè æå x ¹ a, òî f (x) = g (x) =

= h (x). Во всех трех случаях замечаем, что чем ближе õ ê à, тем меньше отличается значение функции

a)		á)		â)

Ðèñ. 90

299

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

f (x), èëè g (x), èëè h (x) от числа b — это отличие характеризуется соответственно выражением

f (x) - b, g (x) - b, h (x) - b. Для любой из рассмат-

риваемых функций говорят, что предел функции при стремлении õ ê à равен b; пишут соответственно:

lim f (x) = b,	lim g (x) = b,	lim h (x) = b. Подчеркнем
x®a	x®a	x®a

еще раз, что при этом значение функции в самой точ- ке à (и даже сам факт существования или несуществования этого значения) не принимаются во внимание.

Сформулируем определение предела функции в точке: число b называется пределом функции

y = f (x) при стремлении х к а, если, какое бы чис-

ло e > 0 ни взять, для всех достаточно близких к à значений õ, ò. å. äëÿ âñåõ õ из некоторой окрестности точки à, исключая, быть может, саму эту точку,

выполняется неравенство f (x) - b < e.

Вернемся к рис. 90. Замечаем, что для функции y = f (x) , график которой изображен на рис. 90 à,

выполняется равенство b = f (a), ò. å. lim f (x) =

x®a

= f (a). Åñëè lim f (x) = f (a), то функция называет-

x®a

ñÿ непрерывной в точке а. Функция, непрерывная в каждой точке интервала (à, b), называется непрерывной на ýòîì интервале. Если функция непрерывна на интервале (à, b), определена в точках à è b и при стремлении точки õ, принадлежащей интер-

âàëó (à, b), к точкам à è b значения функции y = f (x)

стремятся соответственно к значениям f (a) è f (b),

300

АЛГЕБРА

§ 22. Предел функции

то функция y = f (x) называется непрерывной на

отрезке [a, b].

Вместо записи lim f (x) = b используют также

x®a

запись f (x) ® b ïðè x ® a. В частности, определение функции, непрерывной в точке à, записывают так:

f (x) ® f (a) ïðè x ® a. Смысл понятия непрерывности функции в точке состоит в следующем: малым изменениям аргумента (при отходе от точки а) соответствуют малые изменения функции.

Отметим два правила предельного перехода: Правило 1. Если функция f непрерывна в точке

à, òî Df ® 0 ïðè x ® a (ñì. ï. 220).

Правило 2. Åñëè f (x) ® A, g (x) ® B ïðè x ® a,

òî f (x) + g (x) ® A + B, f (x) × g (x) ® A × B, f (x) ® g (x)

®A (в случае B ¹ 0 ) ïðè x ® a. B

218.Вертикальная асимптота. График функции y = f (x), изображенный на рис. 91, обладает следу-

ющей особенностью: какое бы число p > 0 ни взять, можно указать такую окрестность точки à, что для любого õ из этой окрестности (x ¹ a) соответствующая ордината графика по модулю будет больше ð,

ò. å. f (x) > p. Говорят, что прямая õ = à åñòü вертикальная асимптота графика функции y = f (x), è

пишут: lim f (x) = ¥.

x®a

301

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

Ðèñ. 91

Ðèñ. 92

Например, график функции ó = 1/õ имеет вертикальную асимптоту õ = 0 и горизонтальную асимп-

òîòó ó = 0 (см. рис. 24); график функции y = tg x

имеет вертикальные асимптоты x = p /2, x = -p /2,

x = 3p /2, x = -3p /2	и т. д. (см. рис. 50); график
функции y = log0,5 x	имеет вертикальную асимпто-
òó õ = 0 (ðèñ. 92).

219. Вычисление предела функции в точке. Для вычисления пределов функции в точке основными являются следующие факты:

1) любая элементарная функция, т. е. функция, заданная аналитически рациональным, иррациональным, трансцендентным выражением или выражением, составленным из перечисленных с помощью конечного числа арифметических операций, непрерывна в любой внутренней точке области определения функции (т. е. в любой точке, принадлежащей области определения функции вместе с некоторой

302

АЛГЕБРА

§ 22. Предел функции

своей окрестностью); åñëè õ = à — внутренняя точ-

ка области определения сложной функции f (g (x))

(ñì. ï. 224), то и сложная функция f (g (x)) непрерывна в точке а;

2)если функция y = f (x) непрерывна в точке

õ= à, òî lim f (x) = f (a).

x®a

П р и м е р. Вычислить:

x + x2

x2 + 9

à)

lim

; á)

lim

;

x®4 2x + 1

x®3 x2

- 5x –+ 6

â)

lim

x2 - 9

;

ã) lim

x + 2

.

x®3 x2

- 5x + 6

x®-2 7 - x + 3

q à) Òàê êàê õ = 4 — внутренняя точка области

определения функции

f (x) =

x + x2

, то функция

2x + 1

Ö4 + 42

непрерывна в этой точке. Имеем f(4) = 2 · 4 + 1 = 2.

	x	+ x2
	Значит, lim	= 2.
	x®4 2x + 1
	б) Функция	f (x) =	x2	+ 9	не определена в
			x2 - 5x + 6

точке õ = 3, поскольку в этой точке знаменатель дро-

би обращается в нуль. Так как числитель õ2 + 9

отличен от нуля в точке õ = 3 , òî lim		x2 + 9	= ¥
x®3 x2		- 5x + 6

303

(x - 3) (x - 2)

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

(см. п. 216); прямая õ = 3 является вертикальной

асимптотой графика функции y =		x2 + 9
			.
	x2
		- 5x + 6

в) Здесь в отличие от предыдущего примера и числитель, и знаменатель обращаются в нуль при õ = 3. В подобных случаях для вычисления предела необходимы тождественные преобразования выраже-

x2 - 9 ния, задающего функцию. Имеем =

x2 - 5x + 6

= (x - 3) (x + 3) . Поскольку при x ® 3 значение

функции в самой точке õ = 3 во внимание не принимается (см. п. 217), дробь можно сократить на õ – 3,

èтогда получим x + 3 . Èòàê, x - 2

lim	x2 - 9		= lim			(x - 3) (x + 3)		=
x®3 x2 - 5x + 6			x®3 (x - 3) (x - 2)
	= lim	x	+ 3	=	3	+ 3	= 6.
			- 2			- 2
	x®3 x			3

ã) Ïðè õ = –2 и числитель, и знаменатель обращаются в нуль. Выполним следующие преобразования заданного выражения:

	x + 2	=	(x + 2)( 7	- x + 3)	=
	7 - x - 3		( 7 - x - 3)(	7 - x + 3)
	= (x + 2)( 7 - x + 3)	=	(x + 2)( 7 - x + 3) = -( 7 - x + 3).
	( 7 - x)2 - 32		- (x + 2)

304

АЛГЕБРА

§ 23. Производная

Èòàê,

lim	(	x + 2)	= lim	(- 7 - x - 3)	=
x®-2 7		- x - 3 x®-2

=-( 7 + 2 + 3) = -6. n

§23. Производная

220.Приращение аргумента. Приращение фун-

êöèè. Пусть функция y = f (x) определена в точках õ è õ1. Разность õ1 – õ называется приращением

аргумента, а разность f (x1) - f (x) — приращени-

ем функции при переходе от значения аргумента õ к значению аргумента õ1.

Приращение аргумента обозначают Dx; значит,

Dx = x1 - x, ò. å. x1 = x + Dx. Приращение функции обозначают Df èëè Dy;

значит,

Df = f (x1) - f (x) = f (x + Dx) - f (x).

Ïр и м е р 1. Найти приращение функции ó =

=õ3 при переходе от значения аргумента õ к значе-

íèþ x + Dx.

q Имеем f (x) = x3, f (x + Dx) = (x + Dx)3. Ïî-

этому

Df = f(x + Dx) – f(x) = (x + Dx)3 – x3 = x3 + 3x3 · Dx +

+ 3x (Dx)2 + (Dx)3 - x3 = 3x2Dx + 3x (Dx)2 + (Dx)3.

305

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

Èòàê, Df = (3x2 + 3x × Dx + (Dx)2)Dx. n

По этой формуле можно вычислять значение Df для любых заданных õ è Dx. Например, при õ = 1, Dx = -0,2 получаем

Df = f (0,8) - f (1) =

= (3 × 12 + 3 × 1× (-0,2) + (-0,2)2) × (-0,2) = -0,488.

П р и м е р 2. Доказать, что для линейной функ-

Dy

öèè y = kx + b справедливо равенство k = Dx .

q Имеем f(x) = kx + b, f(x + Dx) = k(x + Dx) + b. Значит,

Dy = f(x + Dx) - f(x) = (k(x + Dx) + b) - (kx + b) = kDx,

откуда получаем Dy = k. n

Dx

221. Определение производной. Пусть функция y = f (x) определена в точке õ и в некоторой окрестности этой точки. Пусть, далее, Dx — приращение аргумента, причем такое, что точка x + Dx принадлежит указанной окрестности точки õ, à Df — соответствующее приращение функции, т. е. Df = = f (x + Dx) - f (x). Если существует предел отношения приращения функции Df к приращению аргу-

мента Dx при условии Dx ® 0, то функция y = f (x)

называется дифференцируемой в точке õ, à ýòîò

306

АЛГЕБРА

§ 23. Производная

предел называется значением производной функ-

öèè y = f (x) в точке õ			и обозначается f¢ (x) èëè
y¢. Èòàê,
f¢ (x) = y¢ = lim	Df	=	lim	f (x + Dx) - f (x)	.
Dx®0	Dx Dx®0			Dx

Отметим, что f¢ (x) — это новая функция, определенная во всех таких точках õ, в которых существует указанный выше предел; ее называют производ-

íîé функции y = f (x) .

Ï ð è ì å ð		1. Найти f¢ (2), åñëè f (x) = x2.
qИмеем f (2)			= 22 = 4, f (2 + Dx) = (2 + Dx)2, Df =
= f (2 + Dx) - f (2)			= (2 + Dx)2 - 4 = 4Dx + (Dx)2. Тогда
	Df					4Dx + (Dx)2
			=					= 4 + Dx,
	Dx
							Dx
	lim				Df		= lim (4 + Dx) = 4.
Dx®0					Dx Dx®0
Значит, f¢ (2)		= 4. n

Используя определение, можно рекомендовать следующее правило отыскания производной функции

y= f (x):

1.Фиксируют значение õ и находят f (x).

2. Дают аргументу õ приращение Dx и находят f (x + Dx).

3. Вычисляют приращение функции Df = f (x + +Dx) - f (x).

Df

4. Составляют отношение Dx .

307

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

5. Находят предел отношения Df ïðè Dx ® 0.

Dx

Df

Отношение Dx называют разностным отноше-

íèåì. Оно выражает среднюю скорость изменения функции f на промежутке с концами в точках õ è

x + Dx. Можно сказать, что производной функции f в точке õ называется число, к которому стремится

разностное отношение Df ïðè Dx ® 0.

Dx

Иногда вместо Dx пишут h, и тогда определение производной записывается следующим образом:

f¢(x) = lim f(x + h) - f(x) .

h®0 h

Иногда вместо x + Dx пишут õ1, и тогда определение производной записывается так:

f¢(x) = lim f(x1) - f(x) .

x1®x x1 - x

П р и м е р 2. Найти производную функции õ3. q Используя правило отыскания производной, пос-

ледовательно находим:

1.f (x) = x3.

2.f (x + Dx) = (x + Dx)3.

3.Df = f (x + Dx) - f (x) = (x + Dx)3 - x3 = = (3x2 + 3x × Dx + (Dx)2)Dx.

308