Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 25. Первообразная и интеграл

П р и м е р 2. Найти общий вид первообразных

для функции f (x) = xr ,									ãäå r ¹ -1.
q Одной из первообразных является функция
F (x) =	xr+1	, поскольку
	r + 1
		æ	x	r+1	ö¢			1
F¢ (x) =		ç			÷	=				× (r + 1)xr = xr = f (x).
				+ 1
		ç r			÷		r	+ 1
		è			ø

Значит, xr +1 + C — общий вид первообразных.n r + 1

240. Таблица первообразных. Учитывая, что отыскание первообразной есть операция, обратная дифференцированию, и используя таблицу производных (см. п. 222), получаем следующую таблицу первообразных (для простоты в ней приведена одна первообразная F(x), а не общий вид первообразных F(x) + C):

Функция

Первообразная

Функция

Первообразная

f (x) = k

F (x) = kx

f (x) = sinx

F (x) = - cosx

f (x) = xr

F (x) =

xr+1

f (x) = cosx

F (x) = sinx

r + 1

(r ¹ -1)

f (x) =

1

F (x) = - ctgx

sin2 x

1

F (x) = ln

f (x) =

1

F (x) = tg x

f(x) = —

x

cos2 x

x

f(x) = ex

F (x) = ex

f (x) =

1

F (x) = arcsinx

ax

1 - x2

f (x) = ax

F (x) =

f (x) =

1

F (x) = arctg x

ln a

1 + x2

339

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

241. Правила вычисления первообразных. Пусть нужно найти первообразную функции y = f (x). Иногда это можно сделать с помощью таблицы первообразных из п. 240; например, для функции

f (x) = x0,6 по соответствующей формуле таблицы

находим	F (x) =	x0,6+1		, ò. å.	F (x) =	5	x	1,6	, а общий
		0,6	+ 1			8

вид первообразных таков: 5 x1,6 + C. Однако чаще,

8

прежде чем воспользоваться таблицей, приходится применять следующие правила вычисления первообразных.

10. Åñëè F (x) — первообразная для f (x), à H (x) —

первообразная для h (x), òî F (x) + H (x) — перво-

образная для f (x) + h (x).

Иными словами, первообразная суммы равна сумме первообразных.

20. Åñëè F (x) — первообразная для f (x) è k —

постоянная, то kF (x) — первообразная для kf (x). Иными словами, постоянный множитель можно

вынести за знак первообразной.

30. Åñëè F (x) — первообразная для f (x) è k, b —

постоянные, причем k ¹ 0, òî 1 F (kx + b) — перво- k

образная для f (kx + b).

П р и м е р. Найти общий вид первообразных

для функции f (x) = 4 sin2 2x.

340

АЛГЕБРА

§ 25. Первообразная и интеграл

q Воспользуемся тем, что 4sin2 2x = 2(1 - cos 4x)

(см. п. 83). Тогда f (x) = 2 - 2cos4x. Для функции f1 (x) = 2 первообразная есть 2õ, а для функции f2 (x) = cos 4x согласно правилу 30 первообразной яв-

ляется	0,25 sin 4x. Тогда для функции f (x) =
= f (x) - 2f (x) в силу правил 10 è 20		первообразная
1	2
имеет вид 2x - 2 × 0,25sin 4x, ò. å.		2x - 0,5 sin 4x.

Èòàê, 2x - 0,5 sin4x + C — это общий вид первообразной для данной функции.n

242. Интеграл. Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b]. Разобьем этот отрезок на n частей точками õ1, õ2, ..., õn–1: для однородности обо-

значений положим a = x0, b = xn. Введем обозна- чения: x1 - x0 = Dx0, x2 - x1 = Dx1, x3 - x2 = Dx2, ..., xn - xn-1 = Dxn-1 и рассмотрим сумму

f (x0)Dx0 + f (x1)Dx1 + f (x2)Dx2 + ... + f (xn-1)Dxn-1.(1) Она называется интегральной суммой äëÿ ôóí-

êöèè y = f (x) по отрезку [a, b].

На практике удобнее делить отрезок [a, b] íà n равных частей. Тогда Dx0 = Dx1 = Dx2 = ... = Dxn-1 =

=b - a и сумма (1) принимает вид n

b- a (f (x0) + f (x1) + f (x2) + ... + f (xn-1)). n

341

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

Значение суммы зависит только от числа n , ïî-

этому обозначим ее Sn.

Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], òî

последовательность S1, S2,...,Sn,... имеет предел, который называют интегралом функции f îò à äî

b

b и обозначают ò f (x)dx (читается: «интеграл от à

a

äî b ýô îò èêñ äý èêñ»):

b

ò f (x)dx = lim Sn.

a

n®¥

Числа à è b называют соответственно нижним è верхним пределами интегрирования, çíàê ò —

знаком интеграла, функцию f (x) — подынтегральной функцией, а переменную õ — переменной интегрирования.

1

П р и м е р. Найти ò xdx.

0

q Составим интегральную сумму Sn для функции f (x) = x на отрезке [0, 1]. Для этого разобьем ука-

занный отрезок на n равных частей точками 1 , 2 , n n

3		n - 1			f (0) = 0,	æ	1	ö	=	1
	,...,			(рис. 104). Имеем		f ç		÷			,
n		n				è n		ø		n

æ 2

ö

=

2

æ 3

ö

=

3

æ n - 1

ö

=

n - 1

f ç

÷

, f ç

÷

,...,f ç

÷

. Интеграль-

è n

ø

n

è n

ø

n

è

n

ø

n

342

АЛГЕБРА

§ 25. Первообразная и интеграл

n

Ðèñ. 104

ная сумма Sn имеет вид

Sn =

1

æ

+

1

+

2

+

3

+ ... +

n - 1ö

=

ç0

÷

n

n

n

n

è

n ø

= 1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) . n2

В числителе содержится сумма первых (n – 1) членов арифметической прогрессии, у которой первый член равен 1, а (n – 1)-й равен n – 1. Тогда сумма членов числителя вычисляется по формуле (2) из п. 209:

1 + (n - 1) (n - 1) = n (n - 1) .

2

2

343

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

В итоге получаем

Sn=	n (n - 1)	=	n - 1	=	1	-	1	.
	2n2		2n
					2 2n

	=	æ	1	-	1 ö		=	1
Далее имеем lim S		lim ç				÷			. Èòàê,
n®¥ n		n®¥ è 2			2n ø			2

	1	1
	ò xdx =		. n
		2
	0

243. Связь между интегралом и первообразной (формула Ньютона — Лейбница). Åñëè F (x) — ïåð-

вообразная для f (x) на отрезке [a, b],	òî
b
ò f (x) dx = F (b) - F (a)	(1)
a
(формула Ньютона–Лейбница).

На практике в формуле (1) вместо F (b) - F (a)

пишут F (x) ba .

Иногда формулу Ньютона–Лейбница принимают за определение интеграла, т. е. интегралом îò ôóí-

	êöèè f (x)	на отрезке [a, b] называют разность
	F (b) - F (a),	ãäå F (x) — первообразная для f (x).
		2	dx
	П р и м е р. Вычислить ò			.
		1	2x + 3

344

АЛГЕБРА

§ 25. Первообразная и интеграл

1

q Для функции f (x) = первообразной яв-

2x + 3

ляется F (x) = 0,5 ln 2x + 3. Значит,

	2	dx			2			1		7
	ò		= 0,5 ln	2x + 3		= 0,5 (ln7 - ln5) =			ln		. n
		2x + 3
					1		2			5
	1
		244. Правила вычисления интегралов.
		10. Интеграл суммы равен сумме интегралов:
		b				b	b

ò (f1 (x) + f2(x))dx = ò f1 (x)dx + ò f2 (x)dx.

a a a

20. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

	b	b
	ò kf (x)xdx== kò f (x)dx.
	a	a
		1
П р и м е р. Вычислить		ò (2x3 + 3x - 4)dx.
		-2
q Используя правила 10 è 20, получим
1	1	1	1

ò (2x3 + 3x - 4)dx = ò 2x3dx + ò 3xdx + ò (-4)dx =

-2	-2	-2	-2
1	1	1
= 2 ò x3dx + 3 ò xdx - ò 4dx =
-2	-2	-2

345

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

					x		4		1		x	2	1		1
		= 2 ×							+ 3 ×					- 4x	=
					4			-2		2			-2		-2
=	1æ 1		-		ö		+	3		- 4) - 4 (1 + 2) = -24. n
	2			4					(1
		ç(1– 16)÷
	2è 4				ø			2

245. Использование интеграла для вычисления площадей плоских фигур. Рассмотрим плоскую фигуру Ô, представляющую собой множество точек координатной плоскости õÎó, лежащее в полосе между прямыми õ = à, õ = b (a < b) и ограниченное сверху

Ðèñ. 105

Ðèñ. 106

Ðèñ. 107

Ðèñ. 108

346

АЛГЕБРА

§ 25. Первообразная и интеграл

и снизу графиками непрерывных на [a, b] функций

y = f1(x) è y = f2(x), таких, что для всех õ èç [a, b] справедливо неравенство f1(x) ³ f2(x). Примеры таких фигур представлены на рис. 105–110. В частности, фигура, изображенная на рис. 107, ограничена сверху графиком функции y = f (x), а снизу — прямой ó = = 0. Такая фигура называется криволинейной тра-

пецией.

Площадь S фигуры Ô вычисляется по формуле

b

S = ò (f1(x)

a

- f2(x))dx. (1)

Отсюда следует, что для площади криволинейной трапеции, изображенной на рис. 107, справедлива формула

b
S = ò f(x)dx,	(2)

a

а для площади фигуры, изображенной на рис. 108, — формула

b
S = -ò f(x)dx.	(3)
a
П р и м е р. Найти площадь фигуры, ограничен-
ной линиями: а) y = 4 - x2, y = 0; á)	y = x - 2, y =
= x2 - 4x + 2; â) y = x, y = x - 2.

q а) Фигура, площадь которой надо найти, изобра-

347

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

Ðèñ. 109

Ðèñ. 110

жена на рис. 109. Используя формулу (2), получим

2	2	2
S = ò (4 - x2)dx = ò 4dx - ò x2dx =
-2	-2	-2

= 4x 2- x3 2 = 4 (2 + 2) - 1 (8 + 8) = 32 .
-2 3 -2	3	3

б) Построив прямую ó = õ – 2 и параболу ó = õ2 –

– 4õ + 2, получим фигуру, площадь которой требуется вычислить (рис. 110). Ее площадь найдем по фор-

ìóëå (1), ãäå f1(x) = x - 2, f2 (x) = x2 - 4x + 2, а пределы интегрирования à è b — абсциссы точек пересече- ния параболы и прямой. Для отыскания этих абс-

цисс решим уравнение f1(x) = f2 (x), ò. å. x - 2 =

= x2 - 4x + 2, откуда x1 = 1, x2 = 4.

348