Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 20. Формула бинома Ньютона

Cnk

(a + b)4 = (a + b) (a + b)3 =

= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.

Подмечаем следующую закономерность: при возведении бинома в степень n в правой части формулы получается сумма n + 1 слагаемых, причем каждое из них содержит множители à è b в степенях, сумма показателей которых равна степени бинома . Показатели при à последовательно убывают от n до нуля, а показатели при b последовательно возрастают от нуля до n. Коэффициенты при степенях à è b в разложении (à + b)n называются биномиальными. Легко заметить, что биномиальные коэффициенты разложения (à + b)n представляют собой числа сочетаний из n элементов соответственно по нулю, одному, двум, ..., n элементам (например, в разложении

(à + b)4 имеем C40 = 1, C41 = 4, C42 = 6, C43 = 4, C44 = 1 ). Можно доказать справедливость общей формулы бинома Ньютона:

(a + b)n = an + C1an-1b + C2an-2b2 + ...
n	n
... + Ckan-kbk + ... + Cn-1abn-1		+ bn.	(1)
n	n

æ 1

П р и м е р. Записать разложение з

è x

qСогласно формуле (1), при a =

1

, b =

x

получим

æ

1

2

ö5

æ 1

ö5

æ 1

ö4

2

æ 1

ö3

ç

+ 2x

÷

= ç

÷

+ 5ç

÷ × 2x

+ 10ç

÷

è x

ø

è x

ø

è x

ø

è x

ø

5

+ 2x2 ö÷ .

ø

2x2, n = 5

× (2x2)2 +

279

Cnk

АЛГЕБРА

Раздел VI. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

æ

1 ö2

2

3

+ 5 ×

1

2

4

+ (2x

2

5

=

+ 10ç

÷

(2x

)

(2x

)

)

è x ø

x

=

1

+

10

+ 40x + 80x4 + 80x7 + 32x10. n

x5

x2

204. Свойства формулы бинома Ньютона.

10. Число всех слагаемых разложения равно n + 1.

20. Общий член разложения имеет вид

T	= Ckan-kbk	,	(1)
k+1	n

ãäå k = 0, 1, 2,..., n.

30. Коэффициенты членов, равноудаленных от концов разложения, равны между собой.

40. Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2n.

50. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах.

П р и м е р 1. Найти наибольший коэффициент

разложения (a + b)n, если сумма всех биномиальных коэффициентов равна 4096.

q Согласно свойству 40, сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2n, откуда получаем

уравнение 2n = 4096, ò. å. 2n = 212. Значит, n = 12. Так как показатель степени бинома, равный 12, — четное число, то наибольшим биномиальным коэффициентом является коэффициент при среднем (т. е. 6-м) члене. Итак, этот коэффициент равен

280

АЛГЕБРА

§ 20. Формула бинома Ньютона

Cnk

36

=

12!

=

12!

=

12 × 11 × 10 × 9 ×

8 × 7

= 924. n

CÑ

12

6! (12 - 6)!

6!6!

6 × 5 × 4 × 3 × 2

× 1

12

æ

z -

2

ö15

П р и м е р 2. В разложении

ç

÷

найти

ç

3

z

÷

è

ø

член, не содержащий z.

q Используя равенство (1), запишем общий член разложения

æ

1 ö15-kæ

-

1

ök

15-k

-

k

= C

k ç

÷

ç

÷

= C

k

(-2)

k

T

z2

z

2

3 .

ç

÷

ç

- 2z 3

÷

k+1

15

15

ç

÷

ç

÷

è

ø

è

ø

Приравняв нулю показатель при z в выражении

Tk+1, найдем k:

15 - k - k = 0; 45 - 3k - 2k = 0; k = 9.

23

Èòàê, z не содержит 10-й член разложения; он равен

T	= C9 (-2)9	= -5005 × 512 = -2562 560. n
9+1	15
П р и м е р 3. Найти наибольший биномиаль-
		æ	1 ön
ный коэффициент разложения зn +				÷ , åñëè ïðî-
		è	n ø

изведение четвертого от начала и четвертого от конца слагаемых равно 14 400.

q Четвертое слагаемое от начала имеет вид T4							=
3	n-3		1				=
= C n		×		,	а четвертое от конца — вид	T
n			n3			n-2

281

Cnk

АЛГЕБРА

Раздел VI. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

= C

n

-3 3

1

.

Поэтому T T

= C

3

C

n-3

= (C

3

)

2

=

n

n

nn-3

4 n-2

n n

n

= 14 400, откуда C3 = 120. Далее имеем

n (n - 1) ´

n

ç (n – 2) = 720; n (n – 1) (n – 2) = 10 · 9 · 8, откуда n = 10. Итак, наибольший биномиальный коэффициент, входящий в слагаемое, одинаково удаленное

от концов разложения, есть C105 = 10! = 252. n 5!5!

282

Раздел VII

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

§21. Числовые последовательности

205.Определение последовательности. Пусть каждому натуральному числу поставлено в соответствие определенное действительное число: числу

1 соответствует число à1, числу 2 — число à2, ..., числу

n — число àn и т. д. Тогда говорят, что задана числовая последовательность, и пишут: à1, à2,..., àn,... .

Иначе можно записать (àn). Числа à1, à2,..., àn,...

называются членами числовой последовательности.

Например, для любой бесконечной десятичной дроби можно построить последовательность ее десятичных приближений по недостатку или по избытку. Так, для числа å = 2,71828... последовательность десятичных приближений по недостатку имеет вид

2; 2,7; 2,71; 2,718; 2,7182; 2,71828; ... .

206. Способы задания последовательности. Имеется три основных способа задания последовательности.

1. Аналитический — последовательность зада-

	ется формулой n-го члена.		n
	П р и м е р 1. Формулой	a =		задается
		n	n + 1

последовательность à1, à2, à3,..., àn,..., у которой

283

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

a =		1	=	1	; a2 =
1	1	+ 1	2

последовательность

2					=		2		; a		=		3	=	3	,..., ò. å.
2 + 1						3			3		3		+ 1	4
1		,	2		,	3		,...,			n		,... .
	2		3			4				n + 1

2. Рекуррентный — любой член последовательности, начиная с некоторого, выражается через предшествующие члены. При этом способе задания последовательности указывают ее первый член (или несколько начальных членов) и формулу, позволяющую определить любой член последовательности по известным предшествующим членам.

П р и м е р 2. Пусть à1=1, à2=1, àn+2=àn+àn+1.

Тогда a3 = a1 + a2 = 1 + 1 = 2; a4 = a2 + a3 = 1 + 2 = 3;

a5 = a3 + a4 = 2 + 3 = 5; a6 = a4 + a5 = 3 + 5 = 8;. ... .

В итоге получаем последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... . Каждый ее член, кроме первых двух, равен сумме двух предшествующих ему членов.

3. Словесный — задание последовательности описанием. Такова, например, последовательность десятичных приближений по недостатку числа å (ñì. ï. 205).

207. Возрастающие и убывающие последовательности. Последовательность (àn) называется возрастающей, если каждый ее член меньше следующего за ним, т. е. если àn < àn+1 для любого n. Последовательность (àn) называется убывающей, если каждый ее член больше следующего за ним, т. е. если àn > > àn+1 для любого n. Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.

284

АЛГЕБРА

§ 21. Числовые последовательности

					1			2					3		4		n
Ï ð è ì å ð. à)								,				,		,		,...,			,... — возрас-
							2			3			4		5		n + 1
тающая последовательность.
á) 1,	1	,	1	,	1	, ...,			1		,... — убывающая последова-
2		3			4				n

тельность.

â) - 1, 2, - 3, 4, - 5, 6,...,(-1)n × n,...— эта последовательность не является монотонной.

ã) 3, 3, 3, 3, ..., 3, ... — постоянная (или стационарная) последовательность.

208. Определение арифметической прогрессии.

Последовательность (àn), каждый член которой, на- чиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифмети- ческой прогрессией. Число d называется разностью прогрессии. Таким образом, арифметическая прогрессия есть последовательность, заданная рекуррентно равенством àn+1 = àn + d.

Åñëè d > 0, то арифметическая прогрессия возрастает, если d < 0, то она убывает.

Ïр и м е р 1. Последовательность 9, 7, 5, 3, ... — это убывающая арифметическая прогрессия, у которой à1 = 9, d = –2.

Ïр и м е р 2. Пусть à1 = –1, d = 0,5. Этими условиями задается арифметическая прогрессия, у которой à2 = –1 + 0,5 = –0,5; à3 = –0,5 + 0,5 = 0;

à4 = 0 + 0,5 = 0,5;... .

Итак, получаем возрастающую арифметическую прогрессию: –1; –0,5; 0; 0,5; ... .

Иногда рассматривают не всю последовательность, являющуюся арифметической прогрессией, а лишь

285

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

ее первые несколько членов. В этом случае говорят о конечной арифметической прогрессии.

Для указания того, что последовательность (an) является арифметической прогрессией, используют обозначение

¸a	,		a , a ,...,a , ... .
ò 1			2	3		n
209. Свойства арифметической прогрессии.
10. Формула n-го члена:
an = a1 + d (n - 1).								(1)
20. Формулы суммы n первых членов:
S			=	a1 + an		× n,;		(2)
	n			2
Sn =		2a1		+ d	(n - 1)		× n.	(3)
				2

Здесь S1 = a1, Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an.

30. Характеристическое свойство: последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной арифмети- ческой прогрессии), равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:

an = an-1 + an+1 . 2

П р и м е р. Спортсмен за первую минуту пробежал 400 м, а в каждую следующую минуту пробегал на 5 м меньше, чем в предыдущую. Какой путь пробежал он за 1 ч?

q За первую минуту спортсмен пробежал 400 м, за вторую — 395 м, за третью — 390 м и т. д. Числа 400, 395, 390, ... образуют арифметическую прогрес-

286

АЛГЕБРА

§ 21. Числовые последовательности

сию, у которой a1 = 400, d = -5. Путь, который про-

бежит спортсмен за 1 ч, т. е. за 60 мин, равен сумме первых 60 членов прогрессии. Применив формулу (3), получим

S	=	2 · 400 + d · 59	· 60 = 800 – 59 · 5 = 15 150,
60	2		2

ò.е. за 1 ч он пробежит 15 км 150 м. n

210.Определение геометрической прогрессии.

Последовательность (bn), первый член которой отли- чен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля число q, называется геометрической прогрессией. Число q называется знаменателем прогрессии. Таким образом, геометрическая прогрессия есть последовательность, заданная рекуррен-

тно равенством bn+1 = bnq, ãäå b1 ¹ 0, q ¹ 0.

Åñëè q > 1 è b1 > 0, то геометрическая прогрессия возрастает; если 0 < q < 1 è b1 > 0, то она убывает; при q < 0 она не является монотонной.

Ïр и м е р 1. Последовательность 30; 9; 2,7; 0,81; ... есть убывающая геометрическая прогрессия,

óкоторой b1 = 30, q = 0,3.

Ïр и м е р 2. Пусть b1 = 2, q = -3. Указанными условиями задается геометрическая прогрес-

= Ч - = - = - Ч - = . сия, у которой b2 2 ( 3) 6; b3 ( 6) ( 3) 18,

b4 = 18 · (–3) = –54; b5 = (–54) · (–3) = 162; ... . Эта прогрессия не является монотонной.

Иногда рассматривают не всю последовательность, являющуюся геометрической прогрессией, а лишь

287

¸¸ b1, b2, ..., bn, ... .

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

ее первые несколько членов. В этом случае говорят о конечной геометрической прогрессии.

Для указания того, что последовательность (bn) является геометрической прогрессией, используют обозначение

211. Свойства геометрической прогрессии.

10. Формула n-го члена:

bn = b1qn-1.					(1)
20. Формулы суммы n первых членов:
S =	bnq - b1		;		(2)
n		q - 1
		b (qn -	1)
Sn =		1		.	(3)
		q - 1

Здесь S1 = b1, Sn = b1 + b2 + b3 + ... + bn, q ¹ 1; åñëè

q = 1, òî Sn = nb1.

30. Характеристическое свойство: последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной геометри- ческой прогрессии), связан с предыдущим и последующим членами формулой

bn2 = bn-1 × bn+1.

П р и м е р 1. Найти 8-й член геометрической

прогрессии, у которой b1 = 3, bn = 96, Sn = 189.

q Согласно формуле (1), получаем 96 = 3qn-1,

ò. å. qn-1 = 32, откуда qn = 32q.

288