Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 24. Применения производной

внутри отрезка, так и на его концах. Если наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка является точкой экстремума; впрочем, для практики достаточно того, что эта точка критическая. Наибольшее

и наименьшее значения функции y = f (x) на отрезке [a, b] обозначаются так: óíàèá, óíàèì èëè

max f (x),	min f (x).
[a,b]	[a,b]

Правило отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции y = f(x) на отрезке [a, b]:

1.Находят f¢ (x).

2.Находят точки, в которых f¢ (x) = 0 èëè f¢ (x)

не существует, и отбирают из них те, что лежат внутри отрезка [a, b].

3. Вычисляют значения функции y = f (x) â òî÷-

ках, полученных в п. 2, и на концах отрезка, а затем выбирают из них наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно наибольшим и наименьшим

значениями функции f на отрезке [a, b].

П р и м е р. Найти наибольшее и наименьшее

значения непрерывной функции y = x3 - 3x2 - 45x на отрезке [0, 6].

q 1. Находим y¢ = 3x2 - 6x - 45.

2. Производная y¢ существует при всех õ. Íàé-

дем точки, в которых y¢ = 0 : 3x2 - 6x - 45 = 0,

329

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

x2 - 2x - 15 = 0, откуда x1 = 5, x2 = -3. Отрезку [0, 6] принадлежит лишь точка õ = 5.

3.Вычислим значения функции в точках õ = 0, õ =

=5, õ = 6. Соответственно получим ó = 0, ó = –175, ó =

=–162. Наибольшим из этих значений является число 0, наименьшим — число –175. Итак, óíàèá = 0,

óíàèì = –175. n

234. Отыскание наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на незамкнутом промежутке. Задача отыскания наибольшего (наименьшего) значения непрерывной функции на незамкнутом промежутке, например на интервале (à, b), решается по тому же правилу, что и для отрезка [a, b] (см. п.233) с тем отличием, что на третьем этапе вместо вычисления значений функции на концах отрезка находят пределы функции при стремлении õ к концам интервала. Отметим, что указанная задача не всегда имеет решение, как это имеет место в случае отрезка.

Иногда для отыскания наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции y = f (x) в промежутке (à, b) оказываются полезными два утверждения:

10. Если функция y = f (x) имеет в промежутке Х только одну точку экстремума х = ñ, причем это точка максимума, òî f (c) — наибольшее значение функции в промежутке Х.

20. Если функция y = f (x) имеет в промежутке Х только одну точку экстремума х = ñ, причем это точка минимума, òî f (c) — наименьшее значение функции в промежутке Х.

330

АЛГЕБРА

§ 24. Применения производной

235. Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин. Такие задачи удобно решать, используя следующую общую схему.

1.Выявляют оптимизируемую величину (т. е. величину, наибольшее или наименьшее значение которой требуется найти) и обозначают ее буквой

ó(èëè S, p, r, R и т. д. в зависимости от условий задачи).

2.Одну из неизвестных величин (сторону, угол и т. д.) принимают за независимую переменную и обозначают буквой õ; устанавливают реальные границы изменения õ в соответствии с условиями задачи.

3.Исходя из конкретных условий задачи, выражают ó через õ и известные величины.

4.Для полученной на предыдущем этапе функции y = f (x) находят наибольшее или наименьшее значение (в зависимости от требований задачи) в промежутке реального изменения õ, найденном в п.2.

5.Интерпретируют результат п. 4 для данной конкретной задачи.

П р и м е р. Через фиксированную точку Ì внутри угла провести прямую, отсекающую от угла треугольник наименьшей площади (рис. 101).

q 1. Оптимизируемая величина — площадь S треугольника ÀÎÂ.

2. Проведем DM OB, MK OA. Положим KB =

=õ; реальные границы изменения õ таковы: 0 < x <

<+¥.

3.Поскольку Ì — фиксированная точка, отрезки DM è KM также фиксированы; положим DM = à, KM = b и выразим S через õ, à, b.

331

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

Ðèñ. 101

Рассмотрим треугольники MKB è AOB, îíè ïî-

добны, значит,

MK

=

KB

, ò. å.

b

=

x

. Îòñþ-

AO

OB

AO

a

+ x

да находим AO =

b (a + x)

.

x

Далее

имеем

S = 0,5AO × OB × sina,

ãäå a =

= ÐAOB

(см. п. 277) . Поэтому

S = 0,5 ×

b (a + x)

× (a + x) sin a = 0,5b sin a ×

(a + x)2

.

x

x

4. Рассмотрим функцию S = k × (a + x)2 , 0 < x < x

< +¥. ãäå k = 0,5b sin a. Найдем ее наименьшее зна- чение.

а) Имеем

	S¢ = k ×	2 (a + x) x - (a + x)2	= k ×	(a + x) (x - a)	.
		x2		x2

б) Производная не существует в точке õ = 0, а обращается в нуль в точках õ = –à, õ = à. Èç ýòèõ

332

АЛГЕБРА

§ 24. Применения производной

трех точек промежутку (0, + ¥) принадлежит лишь точка õ = à.

в) При переходе через точку à производная S¢ меняет знак с «–» на «+», значит, õ = à — единствен-

ная в промежутке (0, + ¥) точка экстремума, при- чем это точка минимума, и рассматриваемая функция S достигает в этой точке своего наименьшего значения (см. утверждение 20 èç ï. 234).

5. Вернемся к исходной геометрической задаче. Так как x = KB = a è OK = a, òî MK — средняя линия DAOB, значит, Ì — середина ÀÂ. Таким образом, чтобы от сторон угла отсечь треугольник наименьшей площади, надо провести через точку Ì прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между сторонами угла, делился в точке Ì пополам. n

236. Применение производной для доказательства тождеств. Доказательство тождеств с помощью производной основано на следующей теореме:

Ò.7.16. Для того чтобы непрерывная на промежутке Х функция была постоянна на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы ее производная во внутренних точках промежутка Х была равна нулю (условие постоянства функции).

П р и м е р. Доказать тождество

sin2 x + cos (x - 60°) cos(x + 60°) = 0,25.

q Рассмотрим функцию

f (x) = sin2 x + cos(x - 60°) cos(x + 60°)

333

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

и найдем ее производную. Имеем

f¢(x) = 2 sin x cos x - sin(x - 60°) cos(x + 60°) -

-cos(x - 60°) sin(x + 60°) = sin2x -

-sin((x - 60°) + (x + 60°)) = sin2x - sin2x = 0.

Значит, f¢(x) = 0 ïðè âñåõ õ, а потому f (x) —

постоянная функция, f(x) = C. Остается найти зна- чение постоянной Ñ. Для этого достаточно вычислить значение f (x) при любом значении õ, например при õ = 0. Находим

f (0) = sin2 0 + cos(-60°) cos60° = 0 + 0,5 × 0,5 = 0,25.

Èòàê, f (0) = 0,25, ò. å. Ñ = 0,25. Тем самым справедливость доказываемого тождества установлена.n

237. Применение производной для доказательства неравенств.

П р и м е р. Доказать, что если a < b, то a + cosa < b + cosb.

q Рассмотрим функцию f(x) = x + cosx и найдем ее производную f¢(x) = 1 - sin x. Замечаем, что f¢(x) ³ 0, т. е. функция f(x) возрастает на всей числовой прямой. Значит, из a < b вытекает f(a) < f (b),

ò.å. a + cosa < b + cosb. n

238.Общая схема построения графика функции. Пусть требуется построить график функции

334

АЛГЕБРА

§ 24. Применения производной

y = f(x). Для этого полезно придерживаться следующей общей схемы:

1.Находят область определения функции.

2.Находят точки, в которых f(x) = 0 (это точки пересечения графика с осью абсцисс).

3.Отмечают на оси Îõ точки, найденные в п. 2, и точки, в которых функция не определена, найденные

âп. 1; эти точки разбивают ось абсцисс на несколько промежутков, на каждом из которых функция сохраняет постоянный знак. Устанавливают знак функции в каждом из промежутков.

4.Исследуют функцию на четность и нечетность (в случае четности или нечетности функции можно ограничиться исследованием и построением графи-

êà ïðè x ³ 0, а затем воспользоваться симметрией графика).

5.Находят вертикальные и горизонтальные асимптоты (см. пп. 218 и 215).

6.Исследуют функцию на экстремумы.

7.Находят несколько дополнительных контрольных точек и строят график.

Для периодических функций полезно с самого начала найти основной период Ò (см. п. 96), с тем чтобы, исследовав функцию и построив ветвь графи-

ка на промежутке [-0,5T, 0,5T], затем, воспользовавшись периодичностью, построить весь график.

Если выполнение каких-либо шагов предложенной схемы сопряжено с техническими трудностями, то их можно опустить.

П р и м е р . Построить график функции

y= x2 - 9 . x2 - 4

335

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

Ðèñ. 102

q 1. Находим область определения: x ¹ ±2.

	2. Решив уравнение	x2	- 9	= 0	, находим
		x2	- 4

x1 = 3, x2 = -3.

3.Точки 2, –2, 3 и –3 разбивают ось абсцисс на пять промежутков. Изменение знаков функции по промежуткам представлено на рис. 102; соответствующая иллюстрация на координатной плоскости дана на рис. 103, à (заштрихованы те полуполосы, где графика не будет).

4.Функция четная, так как f (-x) = f (x). Значит,

ååграфик симметричен относительно оси ординат.

5.Прямые õ = 2, õ = –2 — вертикальные асимптоты (см. п. 218).

Чтобы найти горизонтальную асимптоту, вычис-

ëèì lim x2 - 9 . Для этого числитель и знаменатель

x®¥ x2 - 4

дроби разделим почленно на õ2 (см. п. 216). Получим

			x2		-	9				1	-	9
lim	x2 - 9	= lim	x2			x2			= lim			x2	=	1 - 0	= 1.
x®¥ x2 - 4		x®¥ x2				4			x®¥		4		1 + 0
					-					1	-
												x2
			x	2		x	2

336

АЛГЕБРА

§ 24. Применения производной

à)		á)

Ðèñ. 103

Отсюда следует, что ó = 1 — горизонтальная асимптота графика (см. п. 215).

6. Находим

	y¢ =	(x2 - 9)¢(x2	- 4)	- (x2 - 9) (x2 - 4)¢		=
			(x2	- 4)2
=	2x(x2 - 4) - (x2 - 9) × 2x			=	2x3 - 8x - 2x3 + 18x		=
		(x2 - 4)2			(x2 - 4)2

10x

= (x2 - 4)2 .

Производная обращается в нуль в точке õ = 0 и не существует в точках x = ±2. Но последние не принадлежат области определения функции, значит, функция имеет лишь одну критическую точку õ = 0. При переходе через нее производная меняет знак с «–»

337

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

на «+», поэтому õ = 0 — точка минимума:

ymin = f (0) = 2,25.

7. В качестве дополнительных возьмем точ-

êè x = ±1, x = ±4. Имеем f (1) = f (-1) = 8 , f (4) = 3

= f (-4) = 7 . 12

Использовав найденные точки, строим график (рис. 103, á). n

§25. Первообразная и интеграл

239.Первообразная. Функция F (õ) называется первообразной для функции f (õ) на промежутке Õ, если для любого õ èç Õ выполняется равенство

F¢(x) = f (x).

П р и м е р 1. Пусть f (x) = x3. Тогда первообразная имеет вид F (x) = 0,25x4, òàê êàê F¢(x) =

= (0,25õ4)¢ = (0,25x)¢ = x3 = f (x).

Это не единственное решение задачи. Так, в каче- стве первообразной можно было взять и функцию

F1(x) = 0,25x4 + 3, и функцию F2(x) = 0,25x4 - 5 и вообще любую функцию вида 0,25x4 + C.

Ò.7.17. Åñëè F (õ) — первообразная для функции f (õ) на промежутке Х, то у функции f (õ) бесконечно много первообразных, и все эти первообразные имеют вид F (õ) + Ñ, ãäå Ñ — произвольная постоянная (основное свойство первообразной).

338