Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 24. Применения производной

228. Формула Лагранжа.

Ò.7.10.	Если функция f непрерывна на отрезке
[a, b]	и дифференцируема в интервале (a, b),			òî
найдется такая точка c Î (a, b), ÷òî
	f¢(c) =	f (b) - f (a)	.	(1)
		b - a

Формула (1) называется формулой Лагранжа, а теорема 7.10 — теоремой Лагранжа.

Геометрический смысл формулы Лагранжа состоит в следующем: если дуга ÀÂ представляет со-

бой график непрерывной на отрезке [a, b] функции f, причем в любой точке дуги к ней можно провести касательную, то на дуге ÀÂ найдется точка Ñ с абсциссой õ = ñ такая, что касательная к кривой в точке Ñ (ее угловой коэффициент равен f¢(c)) будет параллельна прямой ÀÂ (ее угловой коэффициент

равен f (b) - f (a) ; прямые параллельны, если их угло- b - a

вые коэффициенты равны). Геометрическая иллюстрация формулы Лагранжа представлена на рис. 94.

§24. Применения производной

229.Приближенные вычисления с помощью про-

изводной. Пусть функция f дифференцируема в точ- ке õ0. Тогда для аргументов õ, достаточно близких к õ0, справедлива приближенная формула

¢	(1)
f (x) » f (x0) + f (x) (x - x0).

319

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

Ðèñ. 94

Ðèñ. 95

П р и м е р. Используя формулу (1), найти приближенное значение 3 8,12.

q Положим f (x) = 3	x, x0 = 8, x = 8,12. Тогда
f (x0) = 3 8 = 2, f¢(x) =	1 , и, значит, f¢ (x0) =
33	x2

11

=3 82 = 12 . По формуле (1), находим3

3 8,12 » 2 + 1 (8,12 - 8), ò. å. 3 8,12 » 2,01. n 12

Из формулы (1), в частности, получается приближенная формула

(1 + Dx)r » 1 + rDx,

справедливая для любого рационального числа r и для достаточно малых значений Dx.

320

АЛГЕБРА

§ 24. Применения производной

230. Дифференциал. Дифференциалом функции называют произведение ее производной на прираще-

ние аргумента. Для функции y = f (x) дифференциал обозначают dy èëè df. Таким образом, dy =

=f¢(x)Dx. Поскольку для функции ó = õ имеем dy =

=1 × Dx, ò. å. dx = Dx, дифференциал функции f обычно записывают в форме

dy = f¢ (x) dx.

Из этой записи получается одно из обозначений про-

изводной f¢(x) = dy , которое можно трактовать как dx

отношение дифференциалов.

Отметим следующие два свойства дифференциа-

ëà:

10. Дифференциал функции — это линейная функция приращения аргумента.

20. Дифференциал функции — это главная часть приращения функции, ò. å. Dy » dy (ðèñ. 95).

Понятие дифференциала является основой разнообразных физических приложений производной.

Рассмотрим, например, работу, которую совершает заданная сила F при перемещении по отрезку оси Îõ. Если сила постоянна, то работа À равна произведению F на длину пути. Если же сила меняется, то ее можно рассматривать как функцию от õ, ò. å. F =

= F (õ). Приращение работы DA на отрезке [x,x + dx]

нельзя точно вычислить как произведение F (x) dx,

но при достаточно малых dx можно считать, что сила меняется незначительно и указанное произве-

дение представляет собой главную часть DA , ò. å.

321

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

является дифференциалом работы dA = F (x) dx.

Èòàê, силу можно считать производной работы по перемещению.

Рассуждая аналогично и используя понятие дифференциала, легко установить, что:

силу тока можно считать производной заряда по времени;

теплоемкость можно считать производной теплоты по температуре.

231. Применение производной к исследованию функций на возрастание (убывание). Во многих слу- чаях производная позволяет сравнительно просто исследовать функцию на монотонность. Это достигается с помощью следующих двух теорем:

Ò.7.11. Пусть функция f определена и непрерывна на промежутке Х и во всех внутренних точках этого промежутка имеет положительную произ-

водную (f¢(x) > 0). Тогда функция возрастает на Х.

Ò.7.12. Пусть функция f определена и непрерывна на промежутке Х и во всех внутренних точках этого промежутка имеет отрицательную произ-

водную (f¢(x) < 0). Тогда функция убывает на Х.

Отметим, что обе теоремы сохраняют силу и тогда, когда внутри промежутка Õ соответственно

f¢(x) ³ 0 èëè f¢(x) £ 0, но равенство f¢(x) = 0 выполняется лишь в конечном числе точек этого промежутка. Так, для функции ó = õ3 производная

f¢(x) = 3x2 всюду неотрицательна, причем обраща-

322

АЛГЕБРА

§ 24. Применения производной

ется в нуль лишь в одной точке õ = 0. Значит, функ-

öèÿ ó = õ3 возрастает на промежутке (-¥, + ¥).

П р и м е р. Исследовать на монотонность функцию:

à) y = x5 + x3 + 1; á) y = 0,5x2 - 3 ln(x - 2).

q а) Находим y¢ = 5x4 + 3x2. Справедливо нера-

венство 5x4 + 3x2 ³ 0, причем знак равенства имеет место лишь в одной точке õ = 0. Значит, по теореме

7.11 функция y = x5 + x3 + 1 возрастает на всей числовой прямой.

б) Имеем
y¢ =		1	× 2x - 3 ×		1			= x -	3		=
						x - 2
	2								x - 2
=	x2			- 2x - 3		=	(x - 3) (x + 1)
										.
				x - 2				x - 2

Знаки полученного выражения меняются так, как показано на рис. 96. Но область определения иссле-

дуемой функции задается неравенством x > 2. Поэтому из отмеченных на рисунке четырех промежутков нас интересуют только два: промежуток (2, 3) —

íà íåì y¢ < 0, значит, функция здесь убывает, и про-

Ðèñ. 96

323

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

межуток (3, + ¥) — на нем y¢ > 0, значит, функция здесь возрастает. n

232. Применение производной к исследованию функций на экстремум. Говорят, что функция y =

= f (x) имеет максимум (минимум) в точке õ = à, если существует окрестность этой точки, в которой f (x) < f (a) (соответственно f(x) > f(a)) äëÿ x ¹ a. Òàê,

функция, график которой изображен на рис. 97, имеет максимум в точках õ1 è õ3 и минимум в точках

õ2 è õ4.

Точки максимума и минимума объединяются общим термином — точки эктремума.

Обратимся снова к рис. 97. Замечаем, что в точ- ках õ1 è õ4 к графику функции можно провести касательные, причем эти касательные параллельны оси Îõ, а значит, угловой коэффициент каждой из каса-

тельных равен нулю; итак, f¢(x1) = 0, f¢(x4) = 0. Â

точках õ2 è õ3 касательную к графику провести нельзя, значит, в этих точках производная функции

f (x) не существует. Таким образом, в точках экст-

Ðèñ. 97

Ðèñ. 98

324

АЛГЕБРА

§ 24. Применения производной

ремума на рис. 97 производная либо равна нулю, либо не существует. Это — общее положение, подтверждаемое следующей теоремой:

Ò.7.13. Если функция y = f (x) имеет экстремум в

точке х = а, то либо f¢(a) = 0, ëèáî f¢(a) не существует (необходимое условие экстремума).

Точки, в которых f¢(a) = 0 èëè f¢(a) не существует и которые принадлежат области определения функции, называются критическими. Теорема 7.13 означает, что экстремумы функций могут достигаться только в критических точках. Обратная теорема, однако, неверна: не во всякой критической точке фун-

кция имеет экстремум. Так, функция ó = õ3 имеет одну критическую точку õ = 0 (в этой точке

y¢ = 3x2 = 0 ), но в ней функция не имеет ни макси-

мума, ни минимума (см. рис. 27). Функция, график которой изображен на рис. 98, имеет критическую

точку õ = à — это точка излома, в ней y¢ íå ñóùå-

ствует, но в этой точке нет ни минимума, ни максимума.

Как узнать, когда критическая точка функции является точкой экстремума? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Ò.7.14. Пусть х = à — критическая точка функции y = f (x) и пусть существует интервал (b, c), содержащий точку а внутри себя и такой, что на каждом из интервалов (b, a) è (a, c) производ-

íàÿ f¢ (x) существует и сохраняет постоянный знак. Тогда:

325

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

1) åñëè íà (b, a) производная y¢ > 0, à íà (a, c)

производная y¢ < 0, òî õ = а — точка максимума функции y = f (x) ;

2) åñëè íà (b, a) производная y¢ < 0, à íà (a, c)

производная y¢ > 0, òî õ = а — точка минимума функции y = f (x) ;

3) åñëè è íà (b, a) , è íà (a, c) производная y¢ < 0

èëè y¢ > 0, òî õ = а не является точкой экстре-

мума функции y = f (x)

(достаточное условие экстремума).

Из теорем 7.13 и 7.14 вытекает следующее правило исследования функции y = f (x) на экстремум:

1.Находят область определения функции.

2.Находят f¢ (x).

3.Находят точки, в которых выполняется равен-

ñòâî f¢ (x) = 0 .

4.Находят точки, в которых f¢ (x) не существует.

5.Отмечают на координатной прямой все крити- ческие точки и область определения функции

y = f (x); получают промежутки области определения функции, на каждом из которых производная функции y = f (x) сохраняет постоянный знак.

6.Определяют знак y¢ на каждом из промежутков, полученных в п. 5.

7.Делают выводы о наличии или отсутствии экстремума в каждой из критических точек в соответствии с теоремой 7.14.

326

АЛГЕБРА

§ 24. Применения производной

П р и м е р. Исследовать на экстремум функцию:

à) y = 2x3 - 15x2 + 36x + 1;	á) y =	x2	- 6x + 9
				.
			x - 1

q а) 1. Функция определена при всех õ.

2.Имеем y¢ = 6x2 - 30x + 36.

3.Из уравнения 6x2 - 30x + 36 = 0 получим õ1=

=2, õ2 = 3.

4.Производная y¢ существует при всех õ.

5.Отметим точки õ1= 2, õ2 = 3 на координатной прямой.

6.Имеем y¢ = 6(x - 2) (x - 3). Знаки производной на полученных промежутках отмечены на рис. 99.

7.При переходе через точку õ = 2 слева направо

производная y¢ меняет знак с «+» на «–», значит,

õ= 2 — точка максимума; при переходе через точку

õ= 3 производная меняет знак с «–» на «+», значит,

õ= 3 — точка минимума. В точке õ = 2 имеем

ymax = 29, в точке õ = 3 имеем ymin = 28.

б) 1. Область определения: x ¹ 1. 2. Имеем

y¢ = (x2 - 6x + 9)¢(x - 1) - (x2 - 6x + 9) (x - 1)¢ = (x - 1)2

Ðèñ. 99

Ðèñ. 100

327

АЛГЕБРА

Раздел VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТ. АНАЛИЗА

=		(2x - 6)(x - 1) - (x2	- 6x + 9) × 1				=
		(x - 1)2
=	(x - 3) (2 (x - 1) - (x - 3))			=	(x - 3) (x + 1)			.
		(x - 1)2			(x - 1)2

3.Производная y¢ = 0 ïðè õ = 3 èëè ïðè õ = –1.

4.Производная y¢ не существует при õ = 1, íî

эта точка не принадлежит области определения функции.

5.Отметим на координатной прямой критические точки õ = –1, õ = 3 и точку õ = 1.

6.Знаки производной в полученных промежутках отмечены на рис. 100.

7.Èòàê, õ = –1 — точка максимума, ymax = -8.

õ= 3 — точка минимума, ymin = 0. n

233.Отыскание наибольшего и наименьшего зна- чений непрерывной функции на отрезке. Говорят, что

функция y = f (x), определенная на промежутке Õ,

достигает на нем своего наибольшего (наименьшего) значения, если существует точка ñ, принадлежащая этому промежутку такая, что для всех õ èç Õ

выполняется неравенство f (x) £ f (c) (соответственно f (x) ³ f (c)).

Ò.7.15. Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своих наибольшего и наименьшего зна- чений.

Наибольшее значение Ì и наименьшее значе- ние m непрерывной функции могут достигаться как

328