Вторая интерполяционная формула Ньютона

Пусть функция

у = f(x)

задана значениями в n+1 равноотстоящем узле х_i = х₀ + ih значениями у_i =f(х_i) (i = 0, 1, …, n).

Вторым интерполяционным многочленом Ньютона называется многочлен вида:

P_n (х) = у_n + (х – х_n ) + (х – х_n )(х – х_{n - 1} )+ … + (х – х_n) (х – х_{n - 1} )… (х – х₁),

или, если положить t =  x = x_n + th

 = t + 1; = t + 2;… = t + n – 1 

P_n (х) = у_n + ty_n + ² у_{n - 2} + …+ ⁿ у₀ ,

Очевидно, абсолютная погрешность второй интерполяционной формулы Ньютона может быть записана в виде:

|R_n(x)|  |t(t + 1)(t + 2)…(t + n)| M_n+1

Замечание. Вторую интерполяционную формулу Ньютона обычно называют формулой "интерполирования назад" и обычно применяют для интерполирования в конце таблицы.

Пример. Найти cos 0,55 по данным, приведенным в таблице конечных разностей и оценить погрешность.

Запишем второй многочлен Ньютона третьего порядка.

P₃ (х) = у_n +tу_n-1 + ² у_n - ₂ + ³ у_n-3 ,

Возьмем х_n = 0,6  t == = - 0,5.

Подставляя значения t и разностей в выражение P₃ (х) получим:

P₃ (0,55) = 0,85252;

Производная f ⁴(x) = cosx и M₄ = cos0 = 1. Абсолютная погрешность оценивается так:

|R_n(0,55|  1∙ |(-0,5) ∙ 0,5 ∙ 1,5 ∙ 2,5) | < 4 ∙ 10^-6

Значит, все цифры полученного результата будут верными.

13