Тестирование остатков на гомоскедастичность

Как уже отмечалось, одной из важных предпосылок МНК является предпосылка о гомоскедастичности остатков, т. е. о постоянстве дисперсии остаточных членов уравнения регрессии. Выполнение этой предпосылки (наряду с другими) обеспечивает хорошие качества МНК-оценок.

Последствия невыполнения этой предпосылки схожи с аналогичными при наличии автокорреляции в остатках (неэффективность оценок и смещённость их ошибок). В результате этого статистические выводы на основе полученных оценок могут быть ошибочными и привести к неверным заключениям по построенной модели.

Гетероскедастичность встречается как при анализе пространственной информации, особенно, когда анализируются абсолютные показатели, отражающие масштаб изучаемого явления или процесса (доходы, прибыль, зарплата и т. д.), так и временных рядов, если их уровни растут с течением времени.

Разработаны различные методы по выявлению гетероскедастичности остатков. Так, выше был рассмотрен критерий Голдфелда – Квандта (Goldfeld – Quandt test), но он «работает» только в случае, если остатки пропорциональны значениям независимой переменной. А если переменных несколько, то не совсем понятно, по какой из них надо производить упорядочение.

Рассмотрим один из альтернативных методов, реализованном в EViews. Это тест Уайта (White test) на гетероскедастичность.

Идея этого теста в следующем. Оценивается исходное уравнение регрессии и затем строится вспомогательное уравнение зависимости квадрата остатков исходного уравнения от всех независимых переменных, их квадратов и попарных произведений.

Так, если исходное уравнение имеет две независимые переменные – , то вспомогательное уравнение (уравнение теста) имеет вид.

При этом проверяется нулевая гипотеза о том, что не существует связи между дисперсией остатков исходного уравнения и независимыми переменными, т. е. остатки гомоскедастичны. Доказано, что если верна нулевая гипотеза, тоследует распределению(хи-квадрат распределению сp степенями свободы), где n – объём выборки, – коэффициент множественно детерминации вспомогательного уравнения,p – число регрессоров во вспомогательном уравнении (без константы).

Если , тогипотеза о гомоскедастичности остатков отклоняется. В этом случаеProbability для Obs*R-squared будет больше принятого уровня значимости .

Для проведения теста Уайта (после оценки уравнения регрессии) в EViews нужно выбрать «View/Residual Test/ White Heteroskedasticity (cross term)».

Тестирование остатков на нормальный закон распределения

Тестов на нормальный закон распределения разработано достаточно много. У каждого из них есть свои преимущества и недостатки. Остановимся здесь на одном из них, реализованном в эконометрическом пакете EViews. Этот тест носит название своих авторов (Jarque – Bera test).

Статистика Jarque – Bera (JB) (Харке – Бера) предназначена для проверки нулевой гипотезы о нормальном законе распределения для значений рассматриваемой переменной. Статистика (JB) в EViews рассчитывается из соотношения

JB = (n–k)

где S – асимметрия; К – эксцесс; n – объём выборки; k – число оцениваемых параметров в регрессии. Известно, что для нормального закона распределения S = 0, К = 3, тогда и JB = 0. JB-статистика в предположении верности нулевой гипотезы имеет хи-квадрат распределение с двумя степенями свободы ((2)). И если расчётное значение статистикиJB окажется больше критического значения статистики хи–квадрат при фиксированном уровне значимости , то гипотеза о нормальном законе распределения отклоняется (при этомProbability для JB будет меньше ).

Отметим ещё раз, что критерии Дарбина – Уотсона и Голдфелда – Квандта являются точными (неасимптотическими) в том смысле, что они непосредственно учитывают количество наблюдений в выборке. В противоположность этому критерии Харке – Бера, Бройша – Годфри и Уайта являются асимптотическими и хорошо приближаются распределением хи-квадрат только при большом объёме наблюдений. Поэтому вполне полагаться на результаты применения последних можно только при больших объёмах выборки..