ϕ=55°45,6'	sin	9,91734	cos	9,75025	cos	9,75025	sin	9,91734
δ=10°13,4'	sin	9,24916	cos	9,99305	tg	9,25611	-
t=62°24,5'	–	–	cos	9,66574	csc	0,05244	ctg	9,71818
↑	I	9,16650	II	9,40904	I	9,05880	II	9,63552
	—II	9,40904	β	9,63136	—II	9,63552	α	0,10210
	АГ	0,24254	sin	9,04040	АГ	0,57672	ctg	9,73762

h=6°18,1'; 180°—A=61°20,5';

A=N118°39,5'W;

Aкр=241°20,5'≈241,3°

Примечание. При наличии вычислительной машины, не имеющей тригонометрических функций, пользуются табл. 6-а МТ—75 и этой же схемой. Если же у машины есть эти функции (например, в ЭВМ), то вычисления выполняются в соответствии с этой же схемой с учетом знаков.

§5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫСОТЫ И АЗИМУТА СВЕТИЛА ПО СИСТЕМАМ ФОРМУЛ

Для вычисления высоты и азимута применяются не только формулы (4) и (5), но системы формул, в которых ставятся определенные требования к простоте и точности вычислений. Рассмотрим три системы формул, применяемых при определении места судна методом линий положения.

Система формул sin h и sin А. По данным ϕ, δ, t требуется получить простейшую систему формул для вычисления h и А. Формула (4) для h получается, как показано выше.

Формула (5) для А может быть упрощена, если найденную h ввести как известную величину. Это допустимо вследствие того, что в морских условиях азимут требуется вычислять до ±0,1°, а высота получена со значительно большей точностью, порядка ±0,1'. Теперь известными являются ϕ, δ, t и по формуле синусов из ∆PzC (см. рис. 11) получим:

sin A = sin t cosδ cosh

или

25

sinA=sint cosδ sech.

(6)

Следовательно, первая система формул для вычисления h и А имеет вид: sinh=sinϕ sinδ + cosϕ cosδ cost;

sin A=sint cosδ ses h

Преимущество формулы (4) в том, что она получается и исследуется по общематематическим формулам и правилам, а формулы (6) — в ее простоте. Формула sinh дает более высокую точность вычислений при небольших высотах, вследствие этого при работе с четырехзначными таблицами логарифмов применять ее можно только для высот до 30°, для пятизначных же таблиц практически допустимо вычислять высоты по sinh до 80°. Эта система формул являлась до недавнего времени наиболее распространенной на отечественном флоте, хотя трудоемкость вычислений по ним, особенно с пятью знаками, довольно велика. Наименование азимута в формуле sin А определяется не исследованием ее, а в четвертном счете по специальным правилам, приведенным на стр. 17 МТ — 75 (см. §10).

При решении по этой системе формул возможен только приближенный контроль (по сфере или глобусу) и контроль вторичными вычислениями.

Пример 5. Дано: ϕ=55°51,5'S; δ=6°22,7'N; t=49°19,3'W. Определить h и А по формулам sin h и sin A и МТ—73.

+	−	+	+	+
Решение, sinh = sinϕsinδ +cosϕcosδ cost					(—I + II);

sin A = cos δ sin t sec h.

ϕ=55°51,5'	sin		9,91785	cos	9,74915	—	9,9973
δ= 6°22,7'	sin		9,04569	cos	9,99730	Cos
t=49°19,3'				cos	9,81412	Sin	9,8799
	I		8,96354	II	9,56057	sec h	0,0166
	АГ		0,59703	β	9,87337	sin A	9,8938
Контроль		I+	АГ=9,56057	sin h	9,43394	A=NW51°32'
					h=15045,6’; A= 308,50

26

Система формул sin 2 2z и sin A. При высотах, больших 30°, точность

вычислений по формуле sin h снижается, поэтому ее заменяют другой, в которой высота вычисляется по более выгодной, т.е. более точной, функции. В

данном случае более выгодной будет функция sin 2 α2 или lgsin 2 α2 . К этой

функции, путем преобразований, приведем формулу (4). Заменив в этой формуле h=900—z, получим:

cosz =sin sinδ + cosϕ cosδ cos t. (*)

Из тригонометрии на плоскости известна формула половинного угла (см. приложение 1):

sin z	=	1−cos z
2		2

или

cosz=1—2sin 2 2z

Подставив в выражение (*) вместо cosz и cost получим

(**)

выведенные значения,

1—2sin 2

z

=sinϕ sinδ + cosϕ cosδ•1–2sin 2

t

cosϕ cosδ

2

2

но

sinϕ sinδ + cosϕ cosδ= cos(ϕ–δ)

По формуле (**)

cos (ϕ–δ)=1 — 2sin 2 ϕ −δ

2

Следовательно,

1—2sin 2

z

=1—2sin 2 ϕ −δ –2cos ϕ cosδ sin 2

t

2

2

2

После деления этого выражения на –2 получим окончательно систему

формул:

sin 2

z

=sin

2

ϕ −δ

+ cos ϕ cosδ sin 2

t

(7)

2

2

2

sin A = sin t cosδ cosec z

(7а)

27

где вторая формула выведена из выражения (6) заменой sec h=cosecz. Эта система формул имеет следующие достоинства. Формула (7) дает

более точные результаты, чем формула (4), при высотах, больших 30°, и не требует исследования на знаки, так как оба ее члена всегда положительны. При вычислении с таблицами логарифмов по формуле (7) пользуются всегда таблицей для сумм α. Вместо исследования в первом члене формулы определяется знак при δ: разность ϕ–δ при ϕ и δ одноименных, причем из большего вычитается меньшее; сумма ϕ+δ при ϕ и δ разноименных. Эта система формул распространена на зарубежных флотах.

Пример 6 Дано: ϕ=48°18,7'S; δ=57°23,4' S; t=62°53,6' W. Определить h и

А по формулам (7) и (7а).

Решение.

t=62°53,6'			sin2		9,43485		sin		9,9495
ϕ=48°18,7'			cos		9,82287		—
—δ=57°23,4'			cos		9,73152		cos		9,7315
δ—ϕ=9°04,7'	I=sin2	7,79680	II		8,98924.
	АГ	1,19244	A		0,02702		csc z		0,2146
Контроль
	1+АГ	=8,98924	sin2		9,01626		sin A		9,8956

h=52° 24 5, z=37° 35 5'; A=51°51'SW=231,8°

Дальнейшим преобразованием (выполненным еще в XIX в) формулу (7) можно привести к виду

sin 2	z	=sin 2 ϕ −δ	cos2	t	+sin 2	t	cos2 ϕ +δ	(8)
						2
2		2	2				2

В таком виде формула удобнее для вычислений на ЭВМ, и она применена

внавигационных программах ЭВМ для вычисления расстояний и высот.

Система формул «тангенсов» (tgx, tgh, tgА). Формулы (4) и (7) состоят

из двух членов, т.е. они не логарифмические и требуют специальных таблиц для сумм α и разностей β или смешанного решения. Применение формулы (4) выгоднее при h<30°, формулы (7) — при h>30°. Можно получить систему формул, выгодных при любых углах, и, кроме того, логарифмических. Такие

28

формулы выводятся заменой переменных или, что более наглядно, разделением параллактического треугольника на два прямоугольных. Формулы, в которых все искомые получаются через наиболее выгодную функцию tgα, были выведены К.Ф.Гауссом в начале XIX в.

Выведем систему формул тангенсов из параллактического треугольника zPC (рис. 12), в котором заданы α, δ, t; требуется определить h и А светила. Из места светила С опускаем на меридиан наблюдателя сферический перпендикуляр CD=р, который всегда проходит через точки Оst и W, так как они являются полюсами меридиана наблюдателя. Расстояние ED от экватора до основания перпендикуляра обозначим через х, тогда PD=90°–х — полярное расстояние точки D, a zD=(90°–ϕ)–(90°–x)=х–ϕ – зенитное расстояние точки D.

Образовались два прямоугольных сферических треугольника PCD и DCZ. Искомые получаются путем последовательного решения этих треугольников по формуле котангенсов, чтобы получить функцию tgα, причем найденные величины вводятся в последующие вычисления как данные, чтобы формулы стали логарифмическими. Вместо формул котангенсов можно применять мнемонические правила Непера.

Рассмотрим сферический треугольник РDС, в котором известны δ, t и угол D=90°. Применяя формулу котангенсов к углу 90° в сторону стрелки, получим:

ctg 90° sin t = ctg (90° — δ)sin (90° — x) — cos (90° — x)cos t

откуда

29

sin x cos t = cos x tg δ
или
tgx=tgδsect	(9)
Определим из треугольника РОС вспомогательную величину р через
найденное х, применяя формулу котангенсов к углу t:

ctgtsin 900	= ctgpsin(90о − х) − cos900 cos(900	− x)
123	144424443
1	0
откуда

tg p — tg t cos x.

Рассмотрим второй прямоугольный сферический треугольник DZC, в

котором известны p, x —ϕ и D = 900 .

Применяя формулу котангенсов к углу А в сторону стрелки, получим

ctgAsin 900 =

123

1

ctgp sin(x −ϕ) −cos 900 cos(x −ϕ)

14424443

0

откуда

	tgA =	tgp
		sin(x −ϕ)

или, подставляя вместо tg p=tgtcos x, получим

	tgA =	tgt cos x	(10)
		sin(x −ϕ)

Считая полученный азимут А известным, определим h, применяя формулу котангенсов к углу 90°:

ctg 90° sin A = ctg (90°—h)sin (x-ϕ) — cos A cos (x —ϕ),

откуда
tg h = cos A ctg (x — ϕ)	.	(11)

В формулах (9), (10), (11) в правой части получаются различные функции, что неудобно при составлении пособий, так как увеличивается число таблиц и их объем. Поэтому для практического применения эти формулы были

приведены к двум функциям: tgα и secα = cos1α . Для этого надо произвести следующие тригонометрические преобразования:

30

			1				1
sin(x −ϕ) =								=			=
				cos ec(x −ϕ)						sec[900 −(x −ϕ)]
=			1			=	1
	sec[90	0	+ (ϕ − x)]				sec y

ctg(x-ϕ)=ctg[90°—(x-ϕ)]=tg[900+(x —ϕ)]=tgy

где у=90°+(ϕ—х) — алгебраическая формула; правило для отыскания

(ϕ—х) или в порядке записей по схеме (х~ϕ) приведено ниже.

Подставляя эти выражения в формулы (10) и (11), получим третью систему формул — «формулы тангенсов»:

tgx=tgδ sect

tgA = tgt sec y	(12)
sec x

tgh = tgy sec A

y=900+(х ~ ϕ)

Правила получения величин х и у. Чтобы решать задачи по формулам (12), надо знать величину и знак х и у. Как видно из рис. 12, величина х зависит от положения точки D и, следовательно, дуга х всегда одноименна с δ (N или S).

Если t>90°, то х>90°.

В формуле для у=90°+(х~ϕ) знак «тильда» (~) означает, что при х,

одноименном с ϕ, из большего вычитается меньшее; при х и ϕ разноименных они складываются.

При применении этих правил исследовать формулы на знаки не нужно. Формулы (12) логарифмические и искомые находятся через более точную

функцию тангенсов, что и составляет достоинство этих формул. Их недостаток в том, что точное искомое h определяется через А. Решение довольно трудоемко и имеет особенности при углах около 90°.

В начале 20-х годов применительно к формулам (12) была изготовлена

31

специальная логарифмическая линейка (цилиндрическая линейка Байгрева), применявшаяся в английском и немецком флотах. У нас по этим формулам были составлены таблицы ТВА — 57.

§6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТАБЛИЦЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЫСОТЫ И АЗИМУТА.

УСТРОЙСТВО И ПОЛЬЗОВАНИЕ ТАБЛИЦАМИ ТВА—57

Классификация специальных таблиц. Вычисление высоты и азимута можно упростить, если применить таблицы, специально предназначенные для этой цели. С конца прошлого века вышло более 50 типов подобных таблиц. Известный советский ученый-навигатор проф. Н.Н.Матусевич (1879—1950) предложил разделить все специальные таблицы по принципу построения и работы на три типа: тригонометрические, искусственные, численные.

Тригонометрические таблицы — упрощенные таблицы логарифмов или натуральных значений нескольких тригонометрических функций. Таблицы приспособлены под определенную систему формул, полученных обычно разделением треугольника на два прямоугольных, например формулы тангенсов.

Эти таблицы, как правило, компактны и достаточно точны, но по трудоемкости близки к обычному решению по формулам и МТ. К этому типу таблиц относятся таблицы Фуса (1901 г.), Аквино, Эджетона, ТВА—57 и др.

Искусственные таблицы — таблицы видоизмененных тригонометрических функций, их логарифмов или приращений, составленные для искусственно преобразованных формул. Такие таблицы дают простейшие вычислительные операции, малы по объему, но точность их обычно недостаточна. Эти таблицы были распространены в 20-е годы, например у нас

— таблицы Ахматова «Высота и азимут в три минуты».

Численные таблицы — таблицы готовых численных значений h и А,

данных через определенный шаг аргументов ϕ, δ, t, а также поправок к ним,

32

вычисленных как приращения. По таблицам этого типа h и А вычисляются проще, надежнее и обычно с достаточной точностью, но объем таблиц большой, например американские НО-214 занимают девять томов по 250 страниц. Численные таблицы азимутов вышли у нас в 1935 г. (таблицы Ющенко), высот и азимутов выпущены в США в 1936 г., затем в Англии, Японии, а в 1958 г. и у нас — это ВАС — 58. Рассмотрим подробно наши таблицы ТВА—57 и ВАС — 58.

Устройство и пользование таблицами ТВА—57. «Таблицы для вычисления высоты и азимута» выпуска 1957 г. составлены проф. А.П.Ющенко для вычислений по формулам тангенсов (12) и представляют таблицы видоизмененных lgsecα и lgtgα; впервые опубликованы как табл. 27 в МТ—43.

Логарифмируя формулы (12), получим lgtgx=lg tgδ + lg sec t,

lgtgA=lg tgt — lg sec x + lg sec y; (*) lg tg h = lg tg у — lg sec A

С целью упрощения вычислений и повышения точности вводятся величины:

S (α) = 2•104 lg secα;

Т (α) = 2•104 lg tg α + 70725.

Здесь четырехзначные логарифмы умножены на 104, чтобы избавиться от характеристик, например вместо 0,3544 получим 3544. При умножении на 2 уточняется округление, например 2544,3•2 7089. Число 70725 введено, чтобы в таблицах не приводить отрицательных величин, так как при α<450

характеристики lg tg α отрицательны. Принимая наименьший угол α=1', для

компенсации наибольшего отрицательного числа вводим 2•104 lg tg11' = 70725;

после добавления этого числа все величины T от 1' оказываются положительными (до 1' они отрицательны).

Вводя величины S и Т в формулы (*), получим:

33

Tx=Tδ=St TA=Tt–St+Sy Th=Ty–SA

По этим рабочим формулам составлены схемы вычислений (см. пример 7), которые при решении заполняются значениями Т и S из таблиц ТВА. Выдержка из таблиц ТВА показана на рис. 13; величины S приведены через 1', поэтому их приходится интерполировать между строк, но при углах от 75 до 104° для S выделены отдельные страницы, где они даны через 0,1', т.е. не требуют интерполяции. Величины Т даются через 0,1' по всей таблице. Для углов от 0 до 90° вход в таблицы производится сверху и слева (см. рис. 13), а при углах от 90 до 180° — снизу и справа (величины S и Т симметричны относительно 90°).

При работе с ТВА следует придерживаться правил, примененных при получении формул тангенсов и приведенных в §5. Эти же правила даны в самих таблицах ТВА на с.8. Из них чаще допускается промах в правиле: если t>90°, то и х>90° (выбирается снизу). Следует также помнить, что знаки в схеме

34

чередуются — в первой колонке «+», затем «—», «+» и «—». Азимут выбирается всегда сверху таблицы, т.е. в четвертном счете, причем первая буква наименования разноименна с φ, кроме случая, когда х>φ и одноименен, вторая буква одноименна с часовым углом.

Пример 7. Дано: φ=61o23.6'N; δ=6o45,7'S; t=32°56,8' W. Определить h и

А по ТВА—57.

Решение.

Особые приемы интерполирования. При t, x или A, близких к 90° (в

пределах ±2—3°), в таблицах обязательно применяются особые приемы интерполирования величин Sx или SA. Так как Т или S меняются здесь очень быстро, а их приращения примерно одинаковы, то величины SХ и SA выбираются не на углы х или А, а по Тх или ТА (т.е. до 0,01'). Для этого к значению Sx или SA, выбранному на угол x или A, добавляются разности ДТ между полученными значениями Тх или ТA и их ближайшими значениями, приведенными в таблицах, т.е. получаем Sx=ST+∆ТХ или SA=ST+ТA с учетом знака ∆T (см.пример 8). Если этого не делать, то в высоте возможны крупные ошибки1.

Пример 8 Дано: ϕ=42°34, 5' S; δ=47°07,4'S; t=90°20,2' W. Определить h и

А по ТВА—57. Решение.

1 Из двух значений угла, соответствующих Т = 67444, выбирается четное 0,6'.

35

δ=47007,4’S	T	71369
t=90020,2’W	+S	44618		T		115344
				—S		45262	(45242+20)
x=90018,8’S	Tx	115987
		(ближ.67)
ϕ=42034,5’S							T		69894
				TP		70082
y=137044,3’				+S		2614	—S		4106
A=51026,8’SW
				T		72696	T		65788
h=29031,8’

В примере ближайшим значением к Tх является T=115967, по нему и выбирается х=90°18,8' (снизу, так как t>90°), но разность его с полученным +20.

Эта разность должна быть добавлена к ST=45242, т.е. Sx=ST+∆T=45262. Если этого не сделать, то получим h=29°29,6' с ошибкой в 2,2'.

Таблицы ТВА—57 обладают рядом достоинств, в силу которых они применяются на нашем флоте уже около 30 лет; это: отсутствие ограничений по аргументам (можно обрабатывать любое светило в любой широте); достаточная точность при любой высоте (порядка ±0,1—0,2'); получение точного азимута, при работе почти не требуется интерполяции; компактны.

Однако таблицы имеют и недостатки: сравнительно большая трудоемкость вычислений; наличие специальных правил; разное количество цифр в Т и S (это приводит иногда к промахам); специальные правила интерполирования при t, х или А, близких к 90°; особые схемы при t, x, у, А, равных 90°; невозможность сократить вычисления способом «перемещенного места». В транспортном флоте ТВА—57 применяются как дополнительные таблицы при ВАС —58.

36