Глава 4

ОБРАЩЕНИЕ ЗЕМЛИ ВОКРУГ СОЛНЦА. ВИДИМОЕ ДВИЖЕНИЕ СОЛНЦА И ИЗМЕНЕНИЕ ЕГО КООРДИНАТ

§12. ЗАКОНОМЕРНОСТИ ДВИЖЕНИЯ СВЕТИЛ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ

Основные кинематические особенности движения планет были впервые отмечены в законах Кеплера (1571—1630) и затем получили динамическое объяснение и были дополнены Ньютоном (1643—1727) на основе законов механики и закона всемирного тяготения.

Закон всемирного тяготения формулируется так: две материальные частицы взаимно притягиваются с силой F, прямо пропорциональной произведению их масс М и m и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между ними, т.е.

	F = f	Mm	= k 2	Mm	(51)
		r 2		r 2

где f — постоянная тяготения;

k — Гауссова гравитационная постоянная (0,01720 ...), при которой массы выражаются в долях массы Солнца, а расстояния — в астрономических единицах А (А — среднее расстояние от Солнца до Земли — 149,6 млн. км).

Космические тела в поле тяготения центрального тела, например Солнца, движутся по траекториям, называемым орбитами.

Законы Кеплера.

1. Орбиты планет есть эллипсы, в одном из фокусов которых находится Солнце. Радиус-вектор точки эллипса (рис. 21) выражается формулой

	r 2 =			p	(52)
		1		+ ecosψ

65

где р — параметр эллипса, равный			b2	;
			a
е — эксцентриситет, равный e =			a2	− b2
	a		a
2.	Площади, описываемые	радиусом-вектором планеты в равные
промежутки времени, равны (см. рис. 21)
			r 2		dψ		=с	(53)
					dt

где с — момент количества движения точки единичной массы.

Этот закон учитывает неравномерность движения данной планеты по ее орбите: ближе к Солнцу планета движется быстрее, дальше — медленнее.

3. Квадраты звездных периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит. Этот закон показывает, что более близкие к Солнцу планеты имеют большие средние орбитальные скорости, чем более удаленные, например Меркурий имеет v=48 км/с, Венера

— 35 км/с, а Плутон — около 5 км/с.

Ньютон показал, что законы Кеплера в общем виде относятся ко всем космическим телам и действуют в любом поле тяготения и что эти законы должны учитывать массы и скорости тел. Формула (52) для радиуса-вектора была выведена Ньютоном из закона всемирного тяготения в общем виде {как уравнение конического сечения с е от 0 до ∞). Из нее следовало, что в центральном поле тяготения орбитами космических тел являются конические сечения: в зависимости от скорости движения тело может описывать эллипс, параболу или гиперболу. Орбитальные скорости определяются из интеграла энергии:

v2		2	−	1		(54)
	= µ			a
	r

где µ=f(M+m).

Анализ этой формулы показывает, что: при v2<2µ/r — орбита тела — эллипс (е<1):

66

при v2=2µ/r — орбита тела — парабола (е–1); при v2>2µ/r — орбита тела — гипербола (е>1);

при vK= k	m + M	, a=r, е=0 — орбита тела — круговая.
	r

Эти закономерности распространяются и на движение искусственных спутников, для которых разделение орбит показано на рис. 40 §21.

Понятие об определении положения планеты на орбите и ее координат.

Элементы орбиты. Положение и особенности эллиптической орбиты определяют шесть элементов орбиты (рис. 22):

i — наклонение плоскости орбиты к эклиптике;

λу — долгота (гелиоцентрическая) восходящего узла орбиты; ω — угловое расстояние перигелия от узла;

а — большая полуось орбиты (определяет период обращения T’); е — эксцентриситет орбиты [см. рис. 21 и формулу (52)];

t0 — момент прохождения через перигелий П'.

Эти величины меняются, поэтому их значения принимаются на эпоху t0. Положение планеты на орбите. Проинтегрировав уравнение (53), после

преобразований получим уравнение Кеплера
Е=М+еsin Е	(55)
где М — средняя аномалия, равная n(t — t0);

67

n = 2Tπ — суточное перемещение светила;

Т — период обращения; t — данный момент;

Е — эксцентрическая аномалия (см. рис. 21), которая вычисляется последовательными приближениями.

Далее, из формулы (52) получается выражение для радиуса-вектора r=a(1—е cos E). (56)

Наконец, из рис. 21, где угол ψ надо заменить на v, получается истинная аномалия:

cosv = a − (cos E − e)
		r
				(57)
	a 1
sin v =		− e2 sin E
		r
Положение тела В на орбите относительно перигелия П'				определяется

величинами v и r.

Понятие о получении координат планеты. По элементам орбиты u, r

вычисляются гелиоцентрические прямоугольные координаты X, У, Z. Складывая их с такими же координатами Земли (они представляются как геоцентрические координаты Солнца и приводятся в МАЕ или вычисляются), получим координаты X', У', Z' планеты относительно Земли; по ним получаются эклиптические координаты λ и β и экваториальные координаты α и δ планеты. Возмущения от больших планет учитываются поправками к λ и β, а нутация и аберрация — поправками к α и δ.

Эти вычисления производятся теперь на судовых ЭВМ, поэтому надо знать терминологию и их общий порядок.

68