Рис. 112

Астрографики. Системы изолиний высот двух—четырех звезд могут быть построены варанее, скажем через 10'. Участки небесной сферы с этими кривыми, изображенные на карте в меркаторской или другой проекции, называются астрографиками Боковая рамка карты дает φ=δ2, а нижняя – SM (рис.112,б). Выполнив измерения высот t и δz этих звезд, на астрографике отыскиваются кривые, соответствующие обсерво-анным высотам, приводятся к одному моменту и зениту, и в точке их пересечения полу-1ается место зенита в координатах φ и SM Полученное место перемещается за изменение координат звезд на данную дату.

В СССР с 1937 по 1955 г. был выпущен ряд астрографиков; действие последних шпусков прекратилось в 1975 г., и в настоящее время они не применяются.

§67. МЕТОД ЛИНИЙ ПОЛОЖЕНИЯ. ВЫСОТНАЯ ЛИНИЯ ПОЛОЖЕНИЯ

Изолиния высоты на карте представляется сложной кривой, отрезок которой может быть построен по нескольким точкам, но такое построение слишком сложно. Поэтому метод навигационных изолиний применяется лишь в

318

рассмотренных выше частных случаях. На небольшом участке изолинию можно приближенно заменить прямой, при этом построение значительно упрощается.

Прямая, заменяющая участок круга равных высот около счислимого места, называется высотной линией положения (ВЛП). Высотная линия может быть хордой или касательной. Этот принципиально новый прием построения аналитически равноценен замене функции U0 первыми членами ряда Тейлора и называется методом линий положения.

Представим формулу (217) изолинии h в виде

h0=arc sin [sinφ sinδ+cosφcos δ cos(tГР±λ)]

и разложим ее в ряд Тейлора от приближенных значений hc (φс; с) по малым приращениям ∆φ и ∆λ:

h (ϕ ;λ ) = h(ϕ ,λ ) + (

∂h

) ∆ϕ + (

∂h

) ∆λ +

1

∂2 h

∆ϕ2 +

∂2 h ∆λ2

+ 2

∂2 h

∆ϕ∆λ + III

∂ϕ

∂λ

∂ϕ∂λ

0

0 0

c

c

c

c

2

∂ϕ

2

∂λ

2

Отбрасывая члены второго и высших порядков и подставляя

производные

∂h

= +cos A и

∂h

= −cosϕsin A из §7

[формулы

(17) и

(20)]

и

∆λ=–∆λW,

∂ϕ

∂λ

c

c

получим линейное уравнение

cos Aс ∆φ+cosφ sin AС∆λ=h0–hc=n

(221)

Это выражение представляет уравнение высотной линии.

Остановимся на способах расчета и прокладки высотных линий в порядке их открытия.

I. Способ Сомнера. Американский капитан Томас Сомнер, открывший в 1837—1843гг. способ высотных линий, предложил строить их по двум точкам на изолинии как хорды. В этом способе, который можно назвать долготным, по измеренной высоте и выбранным из МАЕ δ и trp, задаваясь φс, из уравнения круга равных высот (217) вычисляется tм, а затем долгота λ 1=tм—tгр точки 1 на обсервованном круге (рис. 113). Решая то же уравнение вторично с широтой, измененной на 10', т.е. φс±10', получим λ2 второй точки этого же круга. Соединяя точки 1 и 2 прямой (хордой), получим высотную линию положения I– I Аналогично наносится линия II–II для второй высоты, и в точке их

319

I Аналогично наносится линия II–II для второй высоты, и в точке их пересечения получается обсервованное место М0. Для нанесения двух линий, как видим, требуется вычислить долготу четыре раза.

II. Способ М.А.Акимова. Высотную линию можно нанести по точке 1 на обсервованном круге равных высот (рис. 114), полученной по φс и λ1 как в способе Сомнера, и вычисленному для этой точки азимуту светила; высотная линия I–I проводится через точку 1 перпендикулярно липни азимута (как касательная) Этот способ был предложен штурманом черноморского флота М.А.Акимовым в 1849 г., но за рубежом был неправильно назван «приемом Джонсона», издавшего в 1862 г. для него таблицы.

φС+10’

II

Рис. 113

III. Способ Сент-Илера. Французский моряк Марк Сент-Илер в 1875 г. предложил прокладывать высотную линию из счислимого места (рис. 115)

Через Мс проходит счислимый круг hc hc' радиуса 90°–hс, обсервованный круг имеет радиус 90°–ho. Разность радиусов даст расстояние n до круга по направлению вертикала свети-ча, т.е. по Ас. Проводя в точке k касательную к кругу, получим высотную линию положения. В предыдущих способах вычисляется долгота, что допустимо только около первого вертикала, способ же Сент-Илера (позже градиентов) более универсален, почему и применяется до сих пор Советский ученый В.В.Каврайский, как известно, распространил

320

идею графоаналитического метода Сент-Илера на все навигационные изолинии и дал обобщенный способ линий положения.

Графоаналитический метод построения ВЛП (метод градиентов).

Положим, на судне измерена высота h0 светила С, полюс освещения его b (см.

рис. 115). Обсервованный круг равных высот hc h0' имеет уравнение U0=f(φ0, δ, tгр+λ0). Требуется построить касательную к изолинии р0 в точке К, ближайшей к Мс. Поместим начало координат ∆φ и ∆W d точке Мс. Через счислимое место проходит счислимый круг равных высот h0h'c уравнение его Uc=f(φ0, δ, tгр+λ0).

Рис. 114		Рис. 115

Из теоретических основ судовождения известно, что для построения любой линии положения по методу градиентов нужно иметь: ∆n – расстояние от Мс до K; τc– направление нормали к изолинии фукции Uc в точке М0.

Из теории известно, что расстояние ∆n, называемое переносом (n), определяется формулой

∆n = ∆gU

где g– модуль градиента навигационного параметра U. Формулы для g и τ выведены в судовождении и имеют вид

321

g =		∂U 2		∂U		2
			+
		∂ϕ		∂λcosϕ			(*)
		1 ∂U
cosτ =
		g ∂ϕ

Для высоты светила функции U определяются формулой (217) sinh, а производные (в точке MC) получены в §7 [формулы (17) и (20)]:

	∂h	= cos A;			∂h	=sin A
	∂ϕ			∂λcosϕ
Подставляя эти значения в выражения (*), получим:
		gh	=1			(222)
		τc
			= Ac

Величина ∆U определится как разность zc–z0=900–hc–(90°––h0)=h0–hc. Следовательно, модуль градиента высоты равен 1, направление

градиента– по А0, а перенос равен разности высот h0–hс.

Построение линии положения I—I выполняется теперь так: из счислимого места по направлению A0 откладывается перенос n в масштабе карты и в точке K, называемой определяющей, проводится линия I—I перпендикулярно линии азимута– это и будет высотная линия положения.

Геометрическое представление ВЛП на карте. Уравнение прямой в нормальном виде, выведенное в аналитической геометрии, имеет вид

х cosα + у sinα– р=0		(**)
Для высотной линии (см. рис. 115) получим:
α=90°–Ас;
х=∆W;	у=∆φ;	р=h0–hc=n
Подставляя эти значения в уравнение (**), получим уравнение высотной
линии (221) в нормальном виде с началом координат в счислимом месте:
∆φcosAc+∆W sinAc=n		(223)

Следовательно, уравнение высотной линии на карте или плане представляет уравнение прямой в координатах ∆φ; ∆W (∆λ) с началом в счислимом месте Мс.

322

Аналитический метод определения ∆φ и ∆λ, по уравнениям высотных линий. Если на судне одновременно наблюдали два светила, можно записать два уравнения (223), т.е.

∆ϕcos A	+ ∆W sin A	= n		(223')
1	1	1
∆ϕcos A2	+ ∆W sin A2	= n2

Решая их относительно ∆φ и ∆W (умножением в первом случае на sin A2,1, во втором на cos A2,1 и вычитанием), получим:

	∆ϕ =	n1 sin A2 − n2 sin A1		∆W =	n2 s cos A1 − n1 cos A2		(224)
		sin( A − A )			sin( A − A )
	2		1	2		1

Обсервованные координаты получаются по счислимым и приращениям:

ϕ0	=ϕc	+ ∆ϕ
			∆		(225)
λ0	= λc	+	W
			cosϕ
Далее, если нужно, делается второе приближение и т.д.					Это решение

представляет итерационный метод Ньютона, применяемый в ЭВМ.

§68. УРАВНЕНИЕ ОШИБОК. НАИВЫГОДНЕЙШИЕ УСЛОВИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МЕСТА. ШИРОТЫ И ДОЛГОТЫ

Измерение высоты и ее исправление неизбежно сопровождаются ошибками; обозначим суммарную ошибку в высоте ∆h. Принимая ∆h за приращение аргумента h0 функции u0:

sinh=sinφ sinδ+cosφ cosδ cos (tгр± λWOst )

определим приращения координат ∆φ, ∆λ и приравняем их к ошибкам в искомых координатах и месте. Разлагая функцию в ряд Тейлора (при δ и tгр безошибочных), получим, как показано в §67, но от u0:

∆h = ∂∂ϕh ∆ϕ + ∂∂λh (±∆λWOst ) + II...

Ограничиваясь первыми членами ряда и принимая (—∆λW), получим

323

∆h=cosA∆φ+cosφ sin A∆λ	(226)
или, учитывая, что ∆λcosφ=∆W, получим более простую формулу
∆λ=∆φcos А+∆W sinA	(226')

Формула (226) называется уравнением ошибок, так как связывает ошибки в высоте с ошибками ∆φ и ∆λ в вычисляемых координатах.

Геометрический смысл уравнения ошибок. Сравним уравнение ошибок (226) с выведенным ранее уравнением (221) высотной линии. Уравнения отличаются положением начала координат (рис. 116), Действительно, в уравнении (221) свободный член n – перенос, т.е. отстояние от Мс до линии I–I, на которой расположено истинное место судна М, ∆h – ошибка в высоте, т.е. отстояние от истинной линии до ошибочной линии I'–I', а точка М – начало координат ∆φ'; ∆λ' ошибочной линии. Следовательно, уравнение ошибок есть уравнение линии положения, но смещенной под действием ошибок в положение I'–I' (значки ' в уравнении опущены). При небольших n и ∆h линии практически параллельны, т.е. Aс=A; при этом уравнение ошибочной линии можно записать относительно счислимого места

MС в виде
∆φcosAС+ ∆W sinАС=n+ ∆h	(217)

Полученное по двум ошибочным линиям место М' (см.рис.116) содержит также ошибку ∆M или ошибки в координатах ∆φ и ∆W. Выясним, при каких условиях эти ошибки минимальны.

Рис. 116

324

Наивыгоднейшие условия определения места. Напишем два уравнения

(226') и решим их относительно ∆φ и ∆W аналогично (224). Получим ошибки в координатах:

∆ϕ =		∆h1 sin A2 − ∆h2 sin A1	(*)
		sin( A2 − A1 )
∆W = ∆λcosϕ =	∆h2 cos A1 − ∆h1 cos A2		(**)
		sin( A2 − A1 )

Общее смещение места ∆М получится из рис. 116:

∆М= ∆ϕ2 + ∆W 2

После подстановки выражений (*) и (**) и простых преобразований имеем

	∆h2 + ∆h2 −2∆h ∆h cos(A				− A )
∆M =	1	2	1 2	2	1	(228)
			sin( A2 − A1)

Принимая в этой формуле A2–А2=0, видим, что ∆М→∞, кроме практически нереального случая ∆h1=∆h2, когда имеет место неопределенность.

Принимая ∆A=90°, получим наименьшую ошибку ∆М= ∆h12 + ∆h22 .

Следовательно, в общем случае наименьшая ошибка в месте получается при разности азимутов светил 90° независимо от самих азимутов.

Наивыгоднейшие условия раздельного определения координат φ и λ. 1. Определим ∆φ из уравнения ошибок (226):

	∆ϕ =	∆h	− tgA∆λcosϕ	(229)
		cos A

При А=90° (270°) cosφ→∞, а при А=0°(180°) ∆φ=±∆h. Следовательно, для уменьшения ошибок при определении широты места светила должно иметь

А=0° (180°), т.е. находиться на меридиане наблюдателя.
2. Определим ∆λ cosφ из уравнения ошибок (226):
∆λcosϕ = ∆W =	∆h	− ctgA∆ϕ	(230)
	sin A

При А=0° ∆λcosφ→∞, при А=90° (270°) ∆λcosφ=±∆h.

325

Следовательно, для уменьшения ошибок при определении долготы светило должно находиться на первом вертикале (A=90÷270°). Кроме того, долгота лучше определяется при малой широте и не определяется – на полюсах. Из анализа формул (229), (230) видно также, что минимальные ошибки ∆φ и ∆λ, не могут быть меньше ошибок в высотах (это относится к отдельному измерению; на практике применяются специальные методы уменьшения действия ошибок в нескольких измерениях).

В заключение отметим, что преимущество способа линий положения в том, что в нем ошибки места зависят не от азимутов, а только от их разности.

326

Глава 15

РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ, ПРОКЛАДКА И ПОГРЕШНОСТИ ВЫСОТНЫХ ЛИНИЙ ПОЛОЖЕНИЯ

§69. СПОСОБ СЕНТ-ИЛЕРА. СЧИСЛИМЫЙ ПАРАЛЛАКТИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Способ Сент-Илера представляет частный случай обобщенного метода линий положения, примененного для изолиний высот (см. §67). Основываясь на этом методе, выше получены для изолинии высоты:

gh=1; τ=Aс; n=h0–hC.

Рассмотрим основания получения этих элементов для наблюдателя на поверхности Земли и для карты.

Пусть счислимое место судна на земном эллипсоиде в момент наблюдений расположено в точке Мс (φс; с; рис. 117), а полюс освещения светила В (δ; tгр) в тот же момент – в точке b (φb=δ; λb=tгр). Построим около центра О Земли небесную сферу с осью мира ОРN и перенесем параллельно в ее центр направления отвесной линии O1Мс и луча O1' b, проходящего через-полюс освещения b по отвесу O1' b. Этот переход от сфероида к сфере называется «с

соответствием по нормалям». На небесной сфере получим зенит zc наблюдателя и место светила В. Если в этот момент измерена высота h0 светила В, то круг равных высот h0 h0' на сфере пройдет в расстоянии 90°––h0 от точки В и на нем находится зенит z0 обсервованного места. Расстояние Вz0 равно 90°–h0 и соответствует значению hс для точки zс; можно считать, что точка zс расположена на счислимом круге равных высот hch'c. Для построения касательной к кругу h0 h0' , т.е. высотной линии по методу Сент-Илера, надо найти расстояние n от zc до круга h0h'0 и направление Aс. Из искомых h0; Ac; hc величина h0 получается измерением высоты светила на судне и ее

327

исправлением (см.§55), остается определить hc и Aс.

Построим сферический треугольник с вершинами в повышенном полюсе PN, счислимом зените zс и месте светила В. Как видно из рис. 117, искомые hc и Aс входят в этот треугольник. Параллактический треугольник РNzсB называется счислимым параллактическим треугольником и служит только для расчета счислимых значений hс; Ac в отличие от обычного треугольника, который строится для обсервованного зенита z0. Две вершины этого треугольника Р и В те же, что и для обычного, третья – zс– соответствует принятому при расчетах месту Мс. Так как счислимое место предполагаемое, то за точку Мc и, следовательно, Zc можно принимать любую точку в районе плавания, удовлетворяющую требованиям:

—разрешать неопределенность точек пересечения изолиний;

—позволять замену изолинии первыми членами ряда.

Рис.117

При этом hс и Ас представят значения их для принятой счислимой точки Мс(zс) и из этой точки должна вестись прокладка линии. В треугольник РNzсВ входят: географические координаты Мс (φс; λс) и геоцентрические координаты светила В (δ; tГР). Могут быть получены: геоцентрические координаты hс; Aс; qс. Следовательно, и h0 должна быть геоцентрической. Элементы треугольника РNzсВ показаны на рис. 117, правила наименования и счета их обычные (см. §4). Решая треугольник РNzсВ по формулам сферической тригонометрии и таблицам

328

логарифмов или специальным таблицам» приборам, машинам, получим hс и Ас, например, применяя формулы косинуса стороны и синусов, получим:

sinh		= sinϕ		sinδ + cosϕ		cosδ cos(t		± λ	)	(231)
	c		c		c		ГР	с
sin Aс = sin tМ cosδ sechС

В гл. II рассмотрены три системы формул и специальные таблицы ТВА и ВАС, предназначенные специально для вычисления hс и Ас; их следует повторить1.

Определив счислимые значения hс; Aс, можно получить расстояние zСК=n

на сфере или разность расстояний:
(90°-hС) – (90°-h0)=h0-hC=n	(232)

Отложив от zс по направлению Aс величину n, получим определяющую точку К – единственную точку, лежащую точно на круге h0 h0' равных высот,

через которую и проводится ВЛП I—I по нормали к дуге zсВ. Полученная ВЛП лежит на небесной сфере. На йемном эллипсоиде (см. рис. 117) расстояние М0С' практически2 равно n=h0–hc. При составлении карты референц-эллипсоид проектируется на плоскость в меркаторской проекции, при этом разность расстояния МСК' сохраняется также практически равной n=h0–hc. Направление Ас на сфере отличается от направления pnMcb на сфероиде, но на величину, меньшую 0,2°. Эти погрешности рассмотрены совместно с погрешностями построения линий на карте в §71 как погрешности метода. Следовательно, полученные для небесной сферы Ас и n=h0–hc можно с достаточной для практики точностью применять на меркаторской карте или плане.

Расположение счислимого места относительно круга равных высот. При образовании разности (h0– hc) возможны три случая:

I. Счислимое место расположено вне круга равных высот. При этом zcB>KB (см. рис. 117) и (90°–hc)–(90°–h0)=+n; перенос прокладывается по линии Ас «к светилу» (рис. 118, а).

1Приборы и машины для расчета hс, Ас я определения места рассмотрены в -§91 и 92

2При проектировании на сфероид «с соответствием по нормалям» расстояния МСb и К'b отличаются от zcB и KB практически на одну и ту же величину, поэтому их разность МРК'=h0–hc.

329

Рис.118

II. Счислимое место расположено внутри круга равных высот. При этом zcB<KB и h0–hc=—n; перенос откладывается в направлении Ас+180° или «от светила» (рис. 118, б).

III. Счислимое место расположено на круге равных высот. При этом h0– hc=0 и высотная линия прокладывается через Мс перпендикулярно линии Ас

(рис. 118; б).

§70. СВОЙСТВА ВЫСОТНЫХ ЛИНИЙ. ПРОКЛАДКА ЛИНИЙ НА КАРТЕ И ПЛАНЕ

Рассчитанная и нанесенная по методу Сент-Илера высотная линия обладает рядом характерных свойств.

1. Высотная линия представляет приближенную навигационную изолинию. На карте вместо циклической кривой проводится касательная к ней (см. рис. 123), поэтому место судна получается не в точке М, а в точке М0. Погрешность определения тем больше, чем М0 дальше от точек касания K1 и K2. Исследования показывают, что обычно, при φ и h меньших 70°, замена допустима в пределах около 30' от счислимого места. Следовательно, в применении ВЛП имеются ограничения (n<30'); любая ВЛП может обладать погрешностями метода, так что для точного решения может потребоваться

330

второе приближение или поправки.

2.Градиент высоты равен 1 (см. §67), поэтому при изменении переноса n на 1' линия смещается по Ас на 1 милю. Следовательно, погрешность в высоте h0 пли hc вызывает равное ей смещение линии положения. Поэтому, на пример, величины переносов не должны превышать ожидаемых ошибок счисления Мс

[см. формулу (238)].

3.Положение ВЛП не зависит от принятых в расчётах счислимых координат. Пусть для расчета элементов высотной линии I—I при одинаковых значениях h0, δ и trp приняты различные места М1 М2,... (рис. 119). Рассчитанные hс и n оказываются различными (теоретически и A0 также неодинаковы), однако после прокладки все линии сливаются в одну, так как положение круга h0h'0 остается неизменным. Следовательно, положение ВЛП не зависит от принятых при расчетах и построении счислимых координат в пределах 30' от Мс. Из этого свойства вытекает, что при расчете hc можно принимать не счислимые, а удобные для расчета координаты φП и КП перемещенного места (ПМ). Обычно φП выбирается равной ближайшему градусу, а λП– такой, чтобы в сумме с tгр давала tм в градусах.

4.Высотная линия более универсальна, чем рассчитанная по h0 координата φ0 или λ0. Способы раздельного определения координат φ0 или λ0 места представляют частные случаи решения уравнения (217) навигационной изолинии:

sin h=sinφ sinδ +cosφcosδ cos (tгр±λ)

При одной измеренной h можно определить только φ0, если светило около меридиана, или λ0, если светило около первого вертикала, т.е. эти способы ограничены. Высотная же линия может определяться по любому светилу и, следовательно, проходить на карте под любыми углами, т.е. представляет общий случай линии положения данного типа. Определения φ0 и λ0 есть частные случаи применения ВЛП. Действительно, задаваясь долготой Кс (рис. 120), в пересечении проложенной линии h0 с меридианом Мс получим точку D1, широта которой и представит φ0. Если взять другую λ', то получим другую

331

точку на ВЛП – D2 и другую широту φ0. Очевидно, что вычисляемая широта зависит от принятой для расчета долготы. Аналогично можно получить и долготу, задаваясь широтой. Из сказанного вытекает невозможность способов определения места по одной и той же высоте, обработанной для ВЛП и для φ0 (или λ0), так как во всех случаях находятся точки на одной высотной линии D1

D2 и т.д.

Из рассмотренных свойств ВЛП вытекает, что даже одна высотная линия, если подобрать соответствующее ее расположение, может помочь штурману в уточнении направления или элементов счисления.

Прокладка высотных линий на карте и на бумаге. Прокладкой высотной линии называются графические построения линии по ее элементам n

иAс. При прокладке двух и более линий получают обсервованное место судна. Прокладку можно выполнять двумя приемами: на карте и на бумаге (на листе бумаги, бланке, планшете). В первом случае принимают масштаб карты и получают сразу место на карте, во втором — масштаб выбирает штурман (например, 1'=1см), но получают приращения координат ∆φ и ∆λ к ечислимым координатам, по которым находят φ0 и λ0, и по ним уже на карте получают место. Первый прием в принципе совершеннее, но при малом масштабе карты, в высоких широтах и в учебных целях применяется прокладка на бумаге.

Прокладка ВЛП на карте и получение обсервованного места. Прокладка ВЛП на карте выполняется из того Мс, координаты которого приняты при расчете hc и A0. На основании третьего свойства ВЛП для расчетов можно принять любое место вблизи Мс, но прокладку надо выполнять обязательно из той точки, координаты которой приняты при расчетах (поэтому координаты Мс нельзя округлять до', а потом прокладывать из Мс, как иногда делают). Расчеты

ипрокладка ведутся: из счислимого места на карте; из перемещенного места.

Прокладка на карте из счислимого места. Из счислимого места Мс с

помощью транспортира отсчитывается угол А0 в круговом счете (на рис. 121 А1=276,7°) и проводится линия азимута МсК1 величина переноса n=h–hc снимается измерителем с боковой рамки карты, причем 1'=1 морской миле (на

332

рис. 121 n=+5,9'), и откладывается по линии азимута к светилу при знаке «+» и от светила при знаке «—». Через полученную определяющую точку К1 перпендикулярно линии азимута проводится ВЛП I—I. Аналогично прокладывается линия II—II, и в точке пересечения линий получается обсервованное место М0. На карте это место обозначается двойным кружком (см. рис. 12.1), записывается время и отсчет лага, а координаты φ0, λ0 снимаются с карты только для записи в журнал; если надо, определяется также невязка С.

Рис. 119		Рис. 120

Пример 74. φс=54°43,0' N; и λс=22°32,5' Ost; h=22°9,7'; hc=22°3,8'; n1=+5,9'; A1=276,7°; n2=—2,1'; n2=346,5°. Произвести прокладку на карте и получить φ0 и

λ0.

Решение. Прокладка показана на рис. 121. С карты φ0=54°39,4'N;

λ0=22°21,7' Qst; C=240°–7,2'.

Прокладка на карте из перемещенного места. Для сокращения вычислений при работе с таблицами ВАС (и некоторыми др.) вместо счислимых координат принимаются перемещенные – широта, равная ближайшему целому градусу, и долгота, при которой tM=tГР±λп окажется равным целому градусу (см. §87, пример 84). Прокладка полученных элементов производится из этого места (ПМг на рис. 121).

Пример 75. По данным примера 74 и tГР=60°13,4'W; λП=20°55,0'N

определить hс и λс для перемещенного места и произвести прокладку линии I'.

333

Решение: tП=60°13,4'+22°46,6'=83° W, где– 22°46,6'= λп (см. §87).

Прокладка производится по параллели φп=55° из точки ПМ1 с практически совпала с I–I.

Прокладка ВЛП на бумаге. Если масштаб карты мельче 1:500 000, а также при работе с планшетами или в учебных целях прокладка производится на бумаге, изображающей план, и представляет графическое решение формул (223). Первой операцией является построение масштаба: линейного или углового.

При линейном масштабе за единицу расстояний ∆φ, ∆W принимается отрезок 0–1' прямой OF (рис. 122, а). Рекомендуется выбирать масштаб не менее 1'=1 см, учитывая, что при крупном масштабе уменьшаются ошибки графических построений. Выполнив прокладку в принятых единицах, снимаем ∆φ и ∆W в тех же единицах. Разность долгот получается из табл. 25-а МТ— 75 или ВАС, куда входят с ∆W и полученной φ0. Линейный масштаб удобнее и точнее, а при φ, большей 65°, рекомендуется применять только линейный масштаб.

Угловой масштаб (рис. 122,б). При точке О транспортиром строится угол, равный φс, и по наклонной стороне его OF откладываются отрезки, равные минутам (1'=1 см); они изображают минуты боковой рамки карты поэтому здесь берут n и ∆. Из точек 1', 2',... опускаются перпендикуляры на прямую ОЕ (см. рис. 122, б), полученные отрезки 0—1, 1—2 и т.д. изображают экваториальные минуты ∆λ в соответствии с формулой ОЕ=OF cosφ. Шкала ОЕ служит только для снятия ∆λ точки М0. Угловой масштаб применяется при учебных прокладках с перемещенным местом, таблицами НО-249; обычно же рекомендуется применять линейный.

334

Прокладка на бумаге выполняется из точки Мс в середине листа через которую проведены меридиан λс и параллель φс; поэтому по осям координат откладываются ∆φ и. Выполнив прокладку в обычном порядке и выбрав обсервованное место М0, с осей снимают ∆φ и ∆W (см рис 122) после чего получается ∆φо=φс+∆φ а ∆W по табл. 25 МТ с φо (или по масштабу ОЕ) переводится в ∆λ и λ0= λс+ ∆λ. По этим координатам М0 наносится на карту.

По данным примера 74 получим (см. рис. 122): ∆φ=3,7'S; ∆W=6,3W;

φо=54043,0'-3,7S=54039,3’N и по табл. 25 МТ ∆λ=10,8'W; λ0=22032,5'Ost – 10,8'W=22021,7'Ost; C=240о –7,3'; Tс=20ч27м; ол=27,6.

§71. ПОГРЕШНОСТИ МЕТОДА ВЫСОТНЫХ ЛИНИЙ

Высотная линия I—I, проложенная на карте, может не совпадать с истинным положением навигационной изолинии h0h'0 по следующим причинам:

—за погрешностей самого метода высотных линий: ошибки от замены навигационной изолинии касательной к ней; ошибки от вычисления элементов n и Aс для шара вместо сфероида;

—из-за погрешностей от прокладки ВЛП на меркаторской карте: ошибки

внаправлении ВЛП от пренебрежения кривизной ортодромии (т.е.

335

ортодромической поправкой ψ); ошибки от прокладки переноса по локсодромии вместо ортодромии.

Рассмотрим причины появления ошибок, их величины и методы исключенця без вывода формул.

Погрешности, свойственные методу Сент-Илера. Ошибка от замены изолинии касательной. Эта ошибка возникает как при графоаналитическом решении по методу. Сент-Илера (рис. 123), так и при аналитическом решении методом Ньютона, где ошибка определяется суммой отброшенных членов ряда Тейлора. Замена навигационной изолинии касательной вызывает ошибку в переносе, которую можно компенсировать введением поправки х. После смещения линий на величину этой поправки получается правильное место М, без нее – ошибочное М0 (см. рис. 23). Поправка выводится через радиус

	кривизны [11, с. 315] и выражается формулой
	х'=	l 2	(tgh −tgϕcos A)arc1'	(233)
		2
	Для практического использования удобнее формула
	х'=0,000145l2 tg h– 0,000145l2 tg φ cos A			(234)

гдe l снимается с прокладки как расстояние K1M0 (см. рис. 123).

По формуле (234) составлен график (рис. 124) для величин х1 и х2 при величине l=10'. Величина х1 (график, рис. 124, а) при высотах до 75° и расстояниях l≤10' меньше 0,05', так же как х2 при широтах до 75°. Поэтому обычных условиях величина х меньше 0,1' и ею можно пренебрегать. В случаях обработки больших высот с перемещенным местом поправку следует выбрать с графиков рис. 124, б. Величина х1 получается по hс, x2 – по φс и Ас (ее знак зависит от азимута), после чего x10=х1±х2. Далее величина х10 умножается на

	l		2
			где l снято с прокладки как расстояние КМ0 или приближенно КМС. На
10

полученные значения х смещаем точки К1 и К2 к зениту при +х и от светила при

– х.

Пример 76. φ=35°N; hc=78°8,2'; Ас=166,8°NW; l=28,5'. Определить

336

поправку х.

Решение. 1. С графика по hc=78° снимаем х1=0,07 и по φ и Aс – значение x2=+0,01'; получаем x10=0,08'.

2. Определяем: х=0,08'(2810,5)2 =0,65' и на эту величину смещаем линию к

светилу.

Вместо введения поправки можно решать задачу последовательными приближениями (полученные ϕ0' и λ'0 принять за счислимые и т.д.). Такое решение применяется в ЭВМ, при обычном же решении – редко.

Ошибка от вычисления элементов n и Ас для шара вместо эллипсоида.

Величины hc; Ас рассчитаны для zc на небесной сфере, а h0 измерено относительно отвесной линии на сфероиде. Перенося zс и место светила на сфероид с соответствием по нормалям, получаем, что расстояние 90°–hc отличается от расстояния bМС (см. рис. 117) на сфероиде, а направление Aс от угла pMcb=А' на сфероиде. Из картографии известно, что для сфероида

	1	2	2		2
∆A=AС—A'=	2	е	соs	φ sun2A ≈ 11,5'cos		φ sin 2A	(235)

Из формулы видно, что ∆A не зависит от расстояния и что ∆Aмакc≤0,18°; так как эта величина порядка точности прокладки азимута, то ею можно пренебречь. Следует только иметь в виду, что эта ошибка не устраняется при

337

последовательных приближениях и получаемый Aс имеет точность порядка

0,1°.

Принимая, что сфероидические расстояния (90°– hc)+ ∆S' и (90°–h0)+∆S" включают практически одинаковую, ввиду близости их величин, поправку ∆S' ж ∆S", получаем, что в разности расстояний n=h0–hc поправка практически исключается и переносы для сферы можно безошибочно применять для сфероида и карты.

Следовательно, n и Aс, вычисленные для сферы, практически можно применять при графической прокладке на карте.

Погрешности от прокладки ВЛП на меркаторской карте. Ошибки от неучета кривизны ортодромии. Прокладывая из счислимой точки Мс дугу вертикала обычным путем – в виде прямой, получим линию положения I—I (рис. 125); прокладывая ее в виде кривой – ортодромии МСК0 и откладывая по ней перенос n, получим определяющую точку К0, в которой проводим нормаль I0–I0; таково должно быть положение ВЛП. Значения азимута в точках Мс и К0 отличаются, за счет кривизны ортодромии, на угол схождения меридианов γ. Поэтому линия I0–I0 повернута относительно I—I на угол γ. Добавив к Aс ортодромическую поправку ψ0, получим правильное направление на K0, но не нормали I0, так как надо добавить еще значение ψк в точке K0. Принимая ψc=ψк=ψ, получим, что при

А=Aс+2 ψ

(236)

направление линии положения совпадает с касательной I0–I0. По полученной линии МсК’0 откладывается перенос n и строится ВЛП, как обычно. Ошибка от прокладки n по прямой МсК'0 вместо ортодромии в φ<60° мала, и ею пренебрегают.

Ортодромическая поправка гр выбирается из табл. 23-а МТ—75 по ∆λ и φср. Величина ∆λ снимается с карты между Мс и К0 или рассчитывается по

формуле
∆λ=∆W sec φср=n sin A0 sec φср.	(237)

Полученная поправка ψ умножается на 2, знак поправки определяется по

338

правилу в МТ. Поправку ψ можно получить и по таблице ВАС, входя в табл. 1 с h=φср, A0 и ∆φ=n и выбирая ∆Aφ=γ.

Пример 77. φcp=65°N; Ас=120,6°; n=15'; =30'Ost. Определить.

Решение. 1. По табл. 23-а МТ выбираем ψ=0,2°, откуда γ=0,4° и А=121°. 2. По таблице ВАС с φ=h=64°– 68°; n=15' и ∆Аφ=121° и выбираем

∆Аφ=γ+0,5°.

Пределы, в которых можно пренебрегать величиной γ определим изформулы для γ=∆λ sinφср в которую вместо ∆λ подставим ее значение из формулы (237). Принимая допустимую ошибку в γ менее 0,3°, получим предельные значения переносов, до которых γ можно пренебрегать,

nПР≤18' ctg φср cosecAc.

По этой формуле составлена табл. 9, из которой видно, что в широтах до 40° поправкой γ можно всегда пренебрегать; в средних широтах ее нужно вводить иногда, например, при перемещении места; в высоких же широтах (больших 70°) ее надо обычно вводить. Прокладку здесь выгоднее производить на плане (см. §98)

										Таблица 9
φ		А			φ			А
	10°	40°	70°	90°		10°	40°	70°		90°
30°	180'	49'	33'	31'	70°	37'	10'		7'		7'
40	124	34	32	22	75	28	8		5		5
50	87	23	16	15	85	19	5		4		3
60	60	16	11	10

Выводы. 1. Ошибка от замены изолинии касательной к ней в обычных условиях (φ<75°; h<75°; n<10') меньше 0,1', и ею можно пренебрегать. При

339