5 Виды степенных средних величин и способы их вычисления

Средней величиной называется статистический показатель, который дает обобщенную характеристику варьирующего признака однородных единиц совокупности.

Виды средних величин:

Степенные средние:

• Арифметическая(формула х средней арифметич.)

• Гармоническая( формула х средней гаромнич)

• Геометрическая

• Квадратическая

Структурные средние:

• Мода

• Медиана

6. Структурные средние величины и способы их вычисления.

Средняя величина – называется статистический показатель, который дает обобщенную характеристику варьирующего признака однородных единиц совокупности.

Мода-наиболее часто повторяющееся значение признака.

определяется по формуле

Где -нижняя граница модального интервала

D- величина интервалов

- частота интервала, предшествующего модальному

-частота модального интервала (fmax)

-частота интервала, следующего за модальным

Медиана- значение признака, принадлежащее единице совокупности, стоящей посередине ранжированного ряда(упорядоченный либо в порядке убывания, либо возрастания)

рассчитывает по формуле

Где -нижняя граница медианного интервала

d-величина интервала

-объем совокупности

-частота медианного интервала

-накопленная частота интервала, предшествующего медианному

При расчете ср. величины, совокупность должна быть однородной, общие средние должны подкрепляться групповыми средними.

Средние величины исчисляются для характеристики уровня цен, заработной платы, основного капитала, численности населения и др. однородной совокупности социально-эко­номических явлений.

7. Свойства средней арифметической величины.

Средняя арифметическая простая используется в тех случаях, когда варианты или варьирующие признаки встречаются только по одному разу и имеют одинаковый вес в совокупности.

Средняя арифметическая взвешенная используется, когда данные сгруппированы, а отдельные значения признака встречаются неодинаковое число раз.

Свойства: 1. Если все значения признака равны С, то и средняя равна С.

2. если от каждого значения признака отнять одну и туже величину С, то и средн. Тоже уменьшится на С

3. если кажд. значение признака уменьшить в d раз, то и средн.уменьшится в d раз

4. если все частоты f уменьш.на С или в d раз, то средняя не изменится

5. нулевое свойство: сумма отклонений значений признака от средней величины равна 0

8. Абсолютные показатели вариации, способы их вычисления.

Вариация — это различия индивидуальных значений признака у единиц изучаемой совокупности.

Абсолютные показатели вариации включают:

• размах вариации 

• среднее линейное отклонение 

• дисперсию 

• среднее квадратическое отклонение 

Размах вариации (R)

Размах вариации — это разность между максимальным и минимальным значениями признака

Он показывает пределы, в которых изменяется величина признака в изучаемой совокупности.

Среднее линейное и квадратическое отклонение

Среднее линейное отклонение — это средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от средней.

Среднее линейное отклонение простое:

Среднее линейное отклонение взвешенное применяется для сгруппированных данных:

Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение () равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической:

Среднее квадратическое отклонение простое:

Среднее квадратическое отклонение взвешенное применяется для сгруппированных данных:

Среднее квадратическое отклонение, являясь основной абсолютной мерой вариации, используется при определении значений ординат кривой нормального распределения, в расчетах, связанных с организацией выборочного наблюдения и установлением точности выборочных характеристик,

Дисперсия - представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.

Дисперсия простая:

Дисперсия взвешенная:

Более удобно вычислять дисперсию по формуле:

которая получается из основной путем несложных преобразований. В этом случае средний квадрат отклонений равен средней из квадратов значений признака минус квадрат средней.

Для несгрупиированных данных:

Для сгруппированных данных:

Вариация альтернативного признака заключается в наличии или отсутствии изучаемого свойства у единиц совокупности. Количественно вариация альтернативного признака выражается двумя значениями:

наличие у единицы изучаемого свойства обозначается единицей (1),

а его отсутствие — нулем (0).

Долю единиц, обладающих изучаемым признаком, обозначают буквой ,

а долю единиц, не обладающих этим признаком — через .

Учитывая, что p + q = 1 (отсюда q = 1 — p), а среднее значение альтернативного признака равно 

,

средний квадрат отклонений

Среднее квадратическое отклонение  равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической.