- •22 Математический анализ
- •1. Функция
- •Способы задания функций
- •Свойства функций
- •Обратная функция
- •Сложная функция
- •2. Числовые последовательности
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •3. Предел функции.
- •Односторонние пределы
- •Предел функции при х →∞
- •Бесконечно малая функция
- •Сформулируем некоторые теоремы о бесконечно малых функциях.
- •Для вычисления пределов надо пользоваться некоторыми правилами. Эти правила формулируются в виде теорем, которые мы сформулируем ниже. Для доведения этих теорем используется следующая теорема:
- •Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
- •Смысл производной
- •4. Дифференциал функции.
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Основные теоремы дифференциального исчисления
- •5. Применение производной к исследованию функции и построения ее графика Монотонность функции
- •Максимумы и минимумы функции
- •Необходимое условие экстремума:
- •Наибольшее и наименьшее значение функции:
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
- •Асимптоты графика функции
- •Асимптоты функции
Обратная функция
Если функция у = f (х)является взаимно-однозначным отображением множестваD(f)=Хна множествоD(f)=У, тогда существует обратное отображение множестваYна множествоXпо правилу
у1- образ элемента х1, при прямом отображении;
f - прямая функция;
f-1- обратная функция.
Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно биссектрисы І и Ш координатных углов.
Примеры:
1.
2.
Сложная функция
Пусть функция у = f(u) определена на множестве D, а функция u = φ(х) на множестве D1, причем для любых хD соответствующее значение u = φ(х)D. Тогда на множестве D1определена функции u =f(φ(х)), которая называетсясложной функциейот х (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции).
Переменную u = φ(х) называют промежуточным аргументом сложной функции.
Например, функция у = sin 2х есть суперпозиция двух функция у = sin u и u = 2х. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.
2. Числовые последовательности
Определение.Числовой последовательностью является множество значений функции
у = f (х), определенной на множестве натуральных чисел.
- запись и обозначение последовательностей,- общий член последовательности. |
Последовательность {хn} называетсяограниченной, если существует такое число М > О, что для любого nN выполняется неравенство |хn| ≤ М
В противном случае последовательность называется неограниченной.
Легко видеть, что последовательности уn, и un, ограничены, а vnи zn неограничены.
Последовательность {хn} называетсявозрастающей(неубывающей), если для любогоnвыполняется неравенство an+1> аn(an+1≥ аn). Аналогично определяетсяубывающая (невозрастающая) последовательность.
Все эти последовательности называются монотоннымипоследовательностями. Последовательности уn, un и vn, монотонные, а zn -не монотонная.
Если все элементы последовательности {хn} равны одному и тому же числус, то ее называютпостоянной.
Сходящейся называют последовательность, которая имеет предел.
Пределом последовательности u1,u2,…un,… называют числоа, если для любого положительного ε существует такое натуральное число Nε, зависимое отε, такое что все члены последовательности с номерами n> Nε, удовлетворяют неравенству | un-а|< ε. Записывают |
Геометрический смысл предел числовой последовательности: число а является пределом последовательности , если можно указать такой номерN, что все члены последовательности с номерами большими N, находятся в ε - окрестности точки а ε- любое положительное число. |
Свойства сходящихся последовательностей
Всякая сходящаяся последовательность ограничена и имеет единственный предел. (теорема Вейерштрасса)
3. Предел функции.
Рассмотрим функцию у = f (х), определенную в некоторой окрестности точких0кроме, возможно, самой этой точки.
Определение. Число называютпределом функции у = f (х),в точке (при ), если для произвольного ε >0, найдется соответствующее нему число δ >0, что для всех х≠х0, которые удовлетворяют неравенству |х – х0|< δ,будет выполняться | f (х)-А|< ε.
Записывают =А.
Геометрический смысл предела функции: А =, если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ -окрестность точки х0, что для всех х≠х0из этой δ -окрестности соответствующие значения функции f(х) лежат в ε-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у = f(х) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у = А + ε,
у =А- ε . Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ = δ(ε).