5. Применение производной к исследованию функции и построения ее графика Монотонность функции

Функция у=f(х) называется возрастающей на промежутке , если для произвольныхи, принадлежащих этому промежутку,, имеет место равенство:.

Функция у=f(х)называетсяубывающей на промежутке, еслии, имеет место равенство:.

Как возрастающие, так и убывающие функции, называют монотонными, а промежутки на которых функция возрастает, или убывает-промежутками монотонности.

Возрастание или убывание функции у=f(х) характеризуется знаком ее производной:

функция возрастает на данном промежутке.

функция убывает на данном промежутке.

Максимумы и минимумы функции

f(х)- данная функция, -точка из области определения функцииf(х)

- точка максимума, если существует такая- окрестность точки ,что для всехиз этой окрестности выполняется неравенство.

- точка минимума, если существует такая- окрестность точки ,что для всехиз этой окрестности выполняется неравенство.

- локальная точка экстремума.

Необходимое условие экстремума:

Если функция в точке (- критическая точка)имеет экстремум, то производная или равна нулю, или не существует.

Достаточные условия существования экстремума в критической точке:

1) если при переходе через критическую точку производная изменяет знак, то - точка экстремума; если знак изменяется из плюса на минус, то -точка максимума, если знак изменяется из минуса на плюс, то точка минимума;

2) если , то -точка максимумафункции , если ,то -точка минимумафункции .

Наибольшее и наименьшее значение функции:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на некотором отрезке необходимо:

1) найти критические точки, принадлежащие данному отрезку и вычислить значение функции в этих точках;

2) найти значение функции на концах отрезка;

3) сравнить полученные значения: тогда наименьшее и наибольшее из них будут соответственно наименьшими и наибольшими значениями функции на заданном отрезке.

Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

	Плоская кривая называется выпуклой вверх в точке, если точки кривой, смежные с точкойлежащие по обе стороны от нее, расположены ниже касательной к кривой, проведенной через эту точку. Если, то график является выпуклым вверх на данном промежутке.
	Плоская кривая называется выпуклой вниз (вогнутой) в точке, если точки кривой, смежные с точкойлежащие по обе стороны от нее, расположены выше касательной к кривой, проведенной через эту точку. Если, то график является выпуклым вниз (вогнутым) на данном промежутке.
	Точкой перегиба кривой называется точка, которая отделяет выпуклую вверх часть кривой от выпуклой вниз.Достаточный признак точки перегиба: если при данном вторая производная функции равняется нулю и при переходе аргумента через данное значение она изменяет знак, то точкаявляется точкой перегиба.