Односторонние пределы

В определении предела функции =А считается, что х стремится к х_олюбым способом: оставаясь меньшим, чем х_о(слева от х_о), большим, чем х_о(справа от х_о), или колеблясь около точки х_о.

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х_осущественно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Число А₁ называется пределом функции у = f(х) слева в точке х_о, если для любого число ε>0 существует число δ = δ (ε) > О такое, что при х(х_о— δ; х_о), выполняется неравенствоf(х) — А₁< ε. Предел слева записывают так:=А₁или коротко: f(х₀-0)=А₁ (обозначение Дирихле).

Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:

Коротко предел справа обозначают f(х_о+ 0) = А₂.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует= А, то существуют и оба односторонних предела, причем А= А₁= А₂. Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела f(х₀—0) и f(х₀+0) и они равны, то существует предел А =и А—f(х_о—0).

Если же А₁≠А₂, тоне существует.

Предел функции при х →∞

Пусть функция у = f(х) определена в промежутке (—∞; ∞). Число А называется пределомфункции f(х) при х →∞, если для любого положительного числа ε существует такое число М = М(ε) > О, что при всех х, удовлетворяющих неравенствух> М выполняется неравенствоf(х) — А< ε. Коротко это определение можно записать так:

Если х →+∞, то пишут А= , если х →+∞, то — А =

Геометрический смысл этого определения таков: для ε>0М>0, что при х(-∞;М) или х(М;+ ∞) соответствующие значения функции f(х) попадают в ε-окрестность точки А, т. е. точки графика лежат в полосе шириной 2ε, ограниченной прямыми у =А+ε и у =А—ε (см. рис.)

Бесконечно малая функция

Определение. Функция называется бесконечно малой приили прих→∞, если

или

При х→х₁ это означает, что

Например является бесконечно малой прих→π, или х→0 т.к. и

является бесконечно малой при, т.к.Эта же функцияприбудет приобретать сколь угодно большие значения.

Бесконечно большая функция

Определение. Функция f(х) называется бесконечно большой при х→х₀, то есть , если для произвольногонайдется такоечтодля всехиз- окрестности точки.

.

Если важно отметить знак бесконечно большой функции, то перед символом пишут + или - . Например,

Замечание Постоянная величина не является бесконечно малой, какой бы мала она не была. Только число 0 можно считать бесконечно малой величиной.

Замечание Нельзя называть функцию ни бесконечно большой, ни бесконечно малой, если не указана окрестность точки, где она рассматривается.

Так, мы видели, что функция являетсябесконечно малой при х→∞ и бесконечно большой при х→2

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями выражается такой теоремой:

Теорема. Если есть функция бесконечно малая, в окрестности точких=х₀., то функция является бесконечно большой в окрестности этой же точки.

Сформулируем некоторые теоремы о бесконечно малых функциях.

Теорема. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций в окрестности точки х=х₀ является бесконечно малой функцией в окрестности х=х₀.

Теорема 4.4. Произведение функции бесконечно малой в окрестности точки х=х₀ на функцию, ограниченную в окрестности точки х=х₀, функция бесконечно малая в окрестности точки х=х₀.

Следствие 1. Произведение функции бесконечно малой в окрестности точки х=х₀ на постоянную величину есть функция бесконечно малая в окрестности точки х=х₀.

Следствие 2. Произведение двух бесконечно малых функций в окрестности точки х=х₀. функция бесконечно малая в окрестности точки х=х₀.

Таким образом, сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций в окрестности точки х=х₀ бесконечно малая в окрестности этой же точки.

Этого нельзя сказать об их отношении. Так, если х→0, то иявляются бесконечно малыми в окрестности точких=0, а их отношения при х→0:

Из этого следует, что отношения двух бесконечно малых функций в окрестности точки х=х₀ представляет собой неопределенность типа

Отношения двух бесконечно больших функций также представляет собой неопределенность, которую обозначают символом

Для того чтобы вычислить предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших функций, надо провести дополнительные исследования, которые носят название раскрытия неопределенностей соответственно типа иС ними мы познакомимся дальше.

Теорема. Если функцию f(х) имеет предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(х), т.е. если

Теорема (обратная). Если функцию f(х) можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции α(х), то число А является пределом функции f(х), т. е. если f(х) = А + α(х), то

Теоремы о пределах