Смысл производной

Геометрический Значение производной функции у= f(х) в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функцииу= f(х) в точке с абсциссой т.е. .

Физический (механический) Производная выражает скорость изменения функции у= f(х)в точкех, т.е. скорость прохождения процесса, который описывается зависимостьюу= f(х).

Производные элементарных функций

См. Приложение 2

Правила дифференцирования

;	;
;	, .

Если -сложнаяфункция, , , тогда –.

Если - обратная функция к у= f(х), то .

Если функция задана параметрически , то.

Производные высших порядков

Пусть функция у = f(х) определена и имеет производную первого порядка в интервале . Введем обозначение . Если функция имеет производную в точке , то ее производная называется производной второго порядка (или коротко второй производной) функции в точке . Итак,

.

Вторая производная функции у = f(х)обозначается символами

.

Может оказаться, что вторая производная также имеет производную в точке : .

Тогда говорят о существовании производной третьего порядка, которая обозначается символами .

Предположим, что таким образом определена производная - го порядка .

Определение 4.Производная - го порядка (- ая производная) функцииу = f(х)называется производная от производной () - го порядка, если она существует в точке . Производную - го порядка функцииу = f(х)обозначают символами:

.

В соответствии с этим обозначением - производная функции определяется равенством

Пример. Функция имеет в каждой точке производную . Функция также в каждой точке имеет производную . Функция в каждой точке имеет производную Функция имеет в каждой точке производную Все другие следующие производные также равны 0.

Итак,

Производные высших порядков имеют широкое применение. Так, если описывает закон движения материальной точки, то его первая производная определяет величину мгновенной скорости, а вторая производная равна скорости изменения скорости, то есть ускорению в момент .

4. Дифференциал функции.

Функция у= f(х), дифференцируемав точкех₀, если ее приращение в данной точке можно записать в видегдепри.

При этом является главной частью приращения функции, которая линейно зависит оти называетсядифференциалом функции в точкеи обозначаетсяили, т.е..

Геометрический смысл дифференциала

- дифференциал: это приращение ординаты точки, движущейся по касательной к кривой.

Из рисунка видно, что при Δх→0 М₁ стремитсякМи разность между приращением функцииМ₁Nи дифференциалом функцииКNстремится к нулю. Это дает основание использования дифференциала для приближенных вычислений:

1). ;

2).(5.20)

Пример. Вычислить приближенно

Получим сначала приближенную формулу для вычисления корней любого - й степени. Поскольку то . И соответственно (5.20) ,

Или (5.21)

В данном примере

Возьмем за число близкое до 16,64 и такое, чтобы мы знали ,

при этом Δх должно быть достаточно малым. Понятно, что в нашем случае нужно взять , тогда и мы получим

Кроме того, с помощью дифференциала может быть решена задача об определении абсолютной и относительной погрешности вычисления функции при заданной погрешности измерения аргумента.

Мы ввели понятие дифференциала для функции у = f(х). пусть теперьу=f(u), где аргументu=φ(х), то естьуявляется сложной функциейу=f(φ(х)). Еслиу=f(u)иu=φ(х)- дифференцируемые функции, то мы знаем, что . Тогда дифференциал этой функции

,

потому, что . Т.о. . (5.22)

Последнее равенство показывает, что форма дифференциала не зависит от того, будет ли функция простой, или сложной. Это свойствоносит названиеинвариантности формы первого дифференциала. Следует понимать при этом, что инвариантна только форма. Содержание же различно, так как в формуле (5.18) , а в формуле (5.22) .

Дифференциал функции , вычисленный по формуле (5.18), называют ещедифференциалом первого порядка. Он представляет собой некоторую функцию от , которая также может иметь дифференциал.

Дифференциалом второго порядка дважды дифференцируемой на функцииу= f(х)называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, то есть ,

при этом . (5.23)

Аналогично можно ввести понятие дифференциала Ш, ІV и так далее порядков. Определение.Дифференциалом - го порядка (или -м дифференциалом) для раз дифференцируемой на функции, называется дифференциал от дифференциала () - го порядка данной функции, т.е. .

. (5.24)

Обратим внимание на то, что, если не является независимой сменной, а функцией, то свойство инвариантности формы дифференциала высших порядков нарушается. Так, в частности, при

.