Для вычисления пределов надо пользоваться некоторыми правилами. Эти правила формулируются в виде теорем, которые мы сформулируем ниже. Для доведения этих теорем используется следующая теорема:

Теорема. Для того чтобы функция у=f(х) в точке х=х₁ имела предел число необходимо и достаточно, чтобы она была представлена в окрестности данной точки в виде суммы,

где -бесконечно малаяфункция в окрестноститочких=х₁ .

Теорема. Предел алгебраической суммы(разности) конечного числа функций, которые имеют предел в точке х=х₀ , равен сумме(разности) пределов слагаемых:

Доказательство. Пусть Тогда по теореме о связи функции, ее предела и б.м.в. можно записать: и Следовательно

Следствие Функция может иметь только один предел при х→х₁

Теорема. Предел произведения конечного числа функций, которые имеют пределы в точке х=х₁ , равен произведению пределов сомножителей:

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие.Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

_{, в частности , nN}

Теорема. Если функция у=f(х) имеет в точке х=х₁ предел, отличный от нуля, то функция - ограничена в окрестности данной точки.

Теорема. Предел частного двух функций, имеющих пределы, равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

, если

Сформулируем признака существования пределов:

Теорема. Если значение функции f(х) находится между соответствующими значениями функций f₁(х) и f₂(х), которые при х=х₁ стремятся к одному пределу а, то f(х) при х=х₁ также имеет предел число , т.е., если

и если

то

Свойства пределов

1. 

2. 

3. 

4. 

5.

Важные пределы

; Первый замечательный предел

; Второй замечательный предел

Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.

Если , то α и β называются эквивалентными бесконечно малыми (при х → х_о); это обозначается так: α ~ β.

Например, sin х ~x при х → О, т. к; tg х~ х при х→ О , т.к.

Применение эквивалентных бесконечно малых функций

Вычисление пределов

Для раскрытия неопределённостей вида часто бывает полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, sin х~x при х →х₀, tg х~ х при х→ О. Приведем еще примеры эквивалентных б.м .ф.

Пример.

Пример.

Пример.

Решение. Так как

то

Ниже приведены важные эквивалентности, которые используются при вычислении пределов:

Пример.

3. Производная функции

При изучении различных материальных процессов, например движения тела, течения химических реакций, экономических процессов (спроса и затрат), мы встречаемся с задачей определения скорости изменения соответствующих величин. В большинстве случаев такие задачи не могут быть решены с помощью элементарной математики. Для их решения пользуются дифференциальным исчислением.

Итак, рассмотрим более детально задачу о прямолинейном движении некоторого твердого тела.

Предположим, что между пройденным телом путем и временами, за который пройден этот путь, существует зависимость S = f(t). (5.1)

Предположим также, что движение началось в т.0 при t=0(рис.1).

За время tтело прошло путьS = f(t)и оказалось в точкеА, а в следующий момент времениt+Δt оно оказалось в точкеВ. Обозначим путь, который прошло тело за времяt+Δt, через S₁. Итак, за времяΔtтело прошло путь S₁-S= f(t+ Δt)- f(t)Тогда средняя скорость движения тела на отрезкеАВбудет определяться по формуле (5.2)

. (5.2)

Но эта скорость не будет мгновенной скоростью в момент t. Если говорят, например, что поезд двигается со скоростью 100 км/ч, то это не означает, что он имеет такую скорость все время, понятно, что в начале движения и в конце его скорость меньше. Чем меньше промежуток времени, на котором измеряется средняя скорость, тем ближе результат измерения к фактической скорости в момент времениt. Итак, мгновенная скорость тела в момент времениtбудет равна . (5.3)

К такому же результату мы придем, если будем определять скорость химической реакции, скорость выпаривания вещества и т.п. Итак, разные с физической точки зрения задачи приводят к необходимости выполнения одинаковых с математической точки зрения действий, а именно, вычисления предела отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последний стремится к нулю.

Приращением функции f(х) в точке х₀ называется разность между значением функции в точке и ее значением в точкех₀

.

Определение: производной функции у=f(х) в точке х называется предел отношения приращения функции Δу в точке х к приращению аргумента Δх, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Дифференцирование функции f(х) - это операция нахождения ее производной.