МУ ТМ_2015 / Статика Т.1 (Дадочкина, Дрожжин)

Пример 1. На кронштейне, состоящем из стержней АВ и ВС, скрепленных друг с другом и со стеной шарнирами, укреплен в точке В блок (рисунок 10а). Через блок перекинута нить, один конец которой привязан к стене в точке K, а на другом подвешен груз G. Определить реакции стержней, пренебрегая их силами тяжести и размерами блока, если cила тяжести груза G = 20 кН, α = 30° и β = 15°.

Решение.

1.Рассмотрим равновесие узла В, принимая его за материальную

точку.

2.Изображаем активные (заданные) силы. Нагружающие силы,

действующие на узел В, это сила натяжения нити BL равная G , и сила T натяжения нити ВK, равная по величине силе тяжести груза (Т = G). Эти силы направлены от блока (рисунок 10b).

3. Связями для блока являются стержни АВ и ВС. Реакции стержней RAB и RBC , направленные вдоль стержней произвольным

образом, подлежат определению.

		K		y
						RBC		y
В	β	А	RBC	α	T		α
								T
L
				В	β	x	В	β
	α
			RAB			RAB
	G							α
		С					G
				G				x
	а)			b)			c)
		Рисунок 10 – Условие и расчетная схема примера 1

4.Изображаем оси Вх и Ву, как показано на рисунке 10b.

5.На узел В действует плоская сходящаяся система сил. Для этой системы составляют два уравнения равновесия и в задаче опре-

деляют две неизвестные реакции RAB и RBC , поэтому задача является статически определимой.

6.Записываем условия равновесия для полученной системы сил

исоставляем уравнения равновесия:

n

∑ Fkх = 0, T cos β − RBC sinα − RAB = 0,

k=1

11

n

∑ Fky = 0, −G +T sinβ+ RBC cos α = 0.

k=1

7. Из второго уравнения определяем RBC:

R =	G −T sin β	=	20 − 20sin15°	=17,12 кН.
BC	cosα		cos 30°

Из первого уравнения определяем RAB:

RAB = −RBC sinα + T cos β = −17,12 sin 30° + 20 cos15° = 10, 84 кН.

8. Составим проверочное уравнение, задав другую систему координат (рисунок 10c):

n

∑ Fkх = 0, − RBC +G cosα −T cos(90°−α + β) − RAB sinα = 0.

k=1

Подставляем найденные значения реакций RAB и RBС в составленное

уравнение:

−17,12 + 20cos 30°+ 20cos(90°− 30°+15°) −10,84sin 30° = 0, 0 ≡ 0.

Ответ: RBС = 17,12 кН (стержень ВС сжат), RАВ = 10,84 кН (стержень АВ сжат).

Пример 2. Невесомый стержень АВ закреплен в вертикальном положении шарниром в точке А и стержнем ВС в точке В. В середине стержня приложена сил F под углом α к стержню (рисунок 11а). Определить реакции шарнира А и стержня ВС, если сила F расположена в плоскости АВС. Исходные данные: F = 6 кН, α = 45°, АВ = 2а м.

Решение.

На стержень наложены две связи. В точке А цилиндрический шарнир, в точке В стержневая связь. Реакцию стержня SBC направля-

ем по оси стержня, считая его растянутым. Направление реакции шарнира А неизвестно. К телу приложена система из трёх непараллельных сил. Можно воспользоваться теоремой о трёх непараллель-

ных силах: если твердое тело находится в равновесии под дейст-

вием трёх непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.

Продолжим линии действия силы F и реакции SBC до их пересечения в точке О. Линия действия реакции RA , пройдет через эту же

12

точку (рисунок 11b). Направление вектора RA				можно выбрать произ-
вольно, как показано на рисунке.
	В			у	SBC
		C
			О		В
				F
F	α
		а		α
					D
		D
			RA	β
		а
	А			А		х
		а)			b)
	Рисунок 11 – Условие и расчетная схема примера 2

вия реакции RA , пройдет через эту же точку (рисунок 11b). Направление вектора RA можно выбрать произвольно, как показано на ри-

сунке.

Выбираем оси координат. Записываем условия и уравнения равновесия для плоской сходящейся системы сил:

n

∑ Fkх = 0, SBC − F sinα − RA sin β = 0,

k=1

n

∑ Fky = 0, F cosα + RA cos β = 0.

k=1

Из соотношения сторон прямоугольного треугольника ОАВ определяем sinβ и cosβ. По условию AD = DB, α = 45°, тогда ОВ = ВD = a.

AO = OB2 + AB2 = a 5,		cos β =		AB		=				2	,		sin β =			OB	=	1	.
										5								5
				AO												AO
Из второго уравнения: RA = −		F cosα		= −			6			2		5	= −4,72 кН.
		cos β								2 2
Из первого: SBC = F sinα + RA sin β = 6					3				+(−4,72)					1	= 3,08 кН.
				2								5
Ответ: SBC = 3,08 кН,	RA = −4,72 кН.

13

SBC

F

RA

Рисунок 12 – Замкнутый силовой треугольник

Знак «минус» означает, что выбранное направление реакции RA неверное.

Примечание − Направление реакции RA можно изначально выбрать правильно.

Для этого следует построить силовой треугольник. Для уравновешенной системы сил он будет замкнутым. Так и определяется истинное направление реакции (рису-

нок 12).

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

По данной теме предлагается 25 вариантов заданий по 6 задач в каждом. Условия задач для всех вариантов общие, а рисунки и исходные данные различные. Исходные величины, необходимые для решения задач, приведены в таблицах 1–6.

Рисунки к задачам по вариантам помещены на страницах 22 − 34. Номер рисунка соответствует номеру задачи в задании.

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Два невесомых стержня АС и ВС, расположенных в одной плоскости, соединены между собой, с потолком или стенами посредством шарниров. Шарнирный болт С нагружен силой P или силой натяжения нити, равной силе тяжести тела Р, подвешенного на канате. Определить усилия, возникающие в стержнях АС и ВС. Исходные величины, необходимые для решения задачи, приведены в таблице 1 на странице 16.

Задача 2. Тело весом Р удерживается в равновесии посредством гибких связей. Концы нитей в точках А и В прикреплены к стенам или один конец прикреплен к стене, а к другому через блок D на нити СDB подвешено тело весом Q. Определить: в первом случае – натяжение нитей, во втором случае – натяжение нити АС и вес тела Q. Исходные величины, необходимые для решения задачи, приведены в таблице 2 на странице 17.

Задача 3. Однородное тело весом Р удерживается в равновесии двумя гладкими наклонными плоскостями или комбинацией плос-

14

кости и гибкой связи. В некоторых вариантах тело весом Р удерживается в равновесии телом весом Q, подвешенным на канате АDВ и перекинутым через блок D. Определить давление тела на плоскости, натяжение нити или вес тела Q. Исходные величины, необходимые для решения задачи, приведены в таблице 3 на странице 18.

Задачи 4 и 5. Невесомая балка удерживается в равновесии неподвижным цилиндрическим шарниром в точке А и связью, нало- женной в точке В или С. Балка нагружена сосредоточенной силой P или силой тяжести тела Р, подвешенного на канате, перекинутым через блок D. В некоторых вариантах вместо второй связи балка удерживается в равновесии канатом, переброшенным через блок D и несущим на конце тело Q. Определить реакции связей и вес тела Q, ис-

пользуя теорему о трёх непараллельных силах. Исходные величи-

ны, необходимые для решения задач, приведены в таблицах 4 и 5 на страницах 19 – 20, номер таблицы соответствует номеру задачи.

Задача 6. Три невесомых стержня АС, ВС и DC, расположенных в пространстве, шарнирно соединены между собой, с полом, потолком или стенами. Узел С нагружен силой P . Определить усилия в стержнях. Исходные величины, необходимые для решения задачи, приведены в таблице 6 на странице 21.

Примечание – Во всех вариантах трением в шарнирных связях и блоках пренебречь.

15

ТАБЛИЦА 1 – Исходные данные к задачам 1.01.1 – 1.25.1

Номер		Заданные величины
варианта	Р, кН		α, град		β, град
1	6		30		60
2	10		30		60
3	4		60		60
4	20		30		60
5	2		15		135
6	8		30		60
7	20		60		45
8	12		30		45
9	10		30		60
10	2		15		30
11	20		45		30
12	10		45		15
13	40		30		60
14	30		30		60
15	20		30		45
16	18		15		135
17	40		45		45
18	10		30		45
19	16		45		45
20	10		45		45
21	20		45		45
22	8		30		60
23	20		60		60
24	40		45		75
25	20		0		30

16

ТАБЛИЦА 2 – Исходные данные к задачам 1.01.2 – 1.25.2

Номер		Заданные величины
варианта
	Р, кН		α, град		β, град
1	18		60		45
2	137		45		60
3	20		75		120
4	40		45		90
5	20		60		135
6	16		60		90
7	30		45		45
8	24		-		150
9	40		45		120
10	100		75		120
11	80		50		40
12	10		45		150
13	30		30		120
14	16		45		75
15	36		30		45
16	24		75		30
17	44		60		120
18	18		60		135
19	20		150		45
20	6		30		45
21	12		45		120
22	50		45		45
23	30		30		130
24	64		60		30
25	20		30		60

17

ТАБЛИЦА 3 – Исходные данные к задачам 1.01.3 – 1.25.3

Номер		Заданные величины
варианта	Р, кН		α, град		β, град
1	2		30		45
2	8		45		30
3	6		15		60
4	4		30		30
5	12		45		90
6	2		15		30
7	3		20		60
8	2		60		30
9	8		30		60
10	6		60		60
11	6		30		60
12	4		60		90
13	2		30		30
14	6		30		30
15	6		60		30
16	2		15		75
17	8		30		90
18	4		45		30
19	2		30		60
20	2		45		30
21	4		20		60
22	6		20		45
23	2		45		45
24	6		20		45
25	1		30		60

18

ТАБЛИЦА 4 – Исходные данные к задачам 1.01.4 – 1.25.4

Номер		Заданные величины
варианта	Р, кН	АВ, м	АС, м		α, град
1	2	2,5	2		30
2	4	3	2		45
3	3	2	1		45
4	2	2	1		60
5	6	4	3		45
6	6	4	2		45
7	4	3	2		30
8	4	4	3		60
9	2	3	2		60
10	8	3	2		30
11	6	4	1		45
12	5	4	2		30
13	4	3	2		45
14	6	3	1,5		45
15	2	2	4		60
16	8	3	1,5		30
17	2	2	1		60
18	6	3	2		60
19	4	3	1		45
20	8	5	2		60
21	6	4	2		60
22	4	3	1		30
23	4	3	1,5		30
24	8	3	2		60
25	6	2	1		30

19

ТАБЛИЦА 5 – Исходные данные к задачам 1.01.5 – 1.25.5

Номер		Заданные величины
варианта	Р, кН	АВ, м	АС, м	α, град	β, град
1	4	3	2	30	-
2	2	4	2	45	-
3	8	3	2	30	15
4	3	5	3	30	-
5	5	2	1	30	-
6	4	4	2	45	-
7	3	3	1	45	90
8	6	2	1	30	-
9	2	4	3	30	-
10	5	3	2	30	90
11	3	3	2	60	-
12	4	4	1	60	-
13	2	5	3	60	-
14	1	3	2	60	-
15	2	4	2	30	-
16	10	3	1	60	-
17	6	3	2	30	-
18	6	3	2	60	20
19	2	4	3	60	-
20	4	5	3	75
21	4	5	4	60	15
22	10	2	1,5	45	90
23	3	3	1,5	70	-
24	8	3	1	20	-
25	1	5	4	45	20

20