МУ ТМ_2015 / Статика 4

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Сибирский государственный индустриальный университет”

Кафедра технической механики и графики

СТАТИКА

Тема 4. РАВНОВЕСИЕ ТЕЛ И СИСТЕМ ТЕЛ С УЧЕТОМ ТРЕНИЯ

Практикум

для выполнения самостоятельной работы по дисциплине “Теоретическая механика”

Новокузнецк,

2015

УДК 531 (075) С 78

Рецензент доктор технических наук, доцент, директор института

машиностроения и транспорта СибГИУ А.Г. Никитин

С 78 Статика. Тема 4. Равновесие тел и систем тел с учетом трения Практикум. / Сиб. гос. индустр. ун-т; сост: Э.Я. Живаго, М.В. Ермаченко. – Новокузнецк, Изд. центр СибГИУ, 2015. – 31 с.

Изложены методические указания для выполнения расчетно-графических работ по дисциплине “Теоретическая механика”, раздел “Статика”, излагается краткая теория, приведены варианты заданий и ответы к ним.

Печатается по решению ученого совета института фундаментального образования

2

РАВНОВЕСИЕ ТЕЛ И СИСТЕМ ТЕЛ С УЧЕТОМ ТРЕНИЯ

При движении или стремлении двигать одно тело по поверхности другого в касательной плоскости поверхностей соприкосновения возникает сила, препятствующая движению тел относительно друг друга. Эту силу называют силой трения скольжения.

В теоретической механике обычно рассматривается сухое трение между поверхностями тел, т.е. такое трение, когда между телами нет смазки. Для сухого трения различают трение скольжения при покое или равновесии тела (трение сцепления) и трение скольжения при движении одного тела по поверхности

другого с некоторой относительной скоростью.

n

Если

тело

находится в

F1

равновесии

под

действием

F2

плоской

системы

активных

сил

на

шероховатой

R

N

поверхности, то реакция R

Fn

этой поверхности зависит от

F

активных сил не только по

Рисунок 1 – Реакция

модулю,

но

и

по

на-

правлению

(рисунок 1).

Раз-

шероховатой поверхности

ложим реакцию R шероховатой поверхности на составляющие, одна из которых N направлена по общей нормали к поверхности соприкосновения и является нормальной реакцией, а другая F , расположенная в касательной плоскости к этим поверхностям, − силой трения скольжения:

R N F .

3

В инженерных расчётах обычно используют основные приближенные законы Кулона для сухого трения скольжения:

1. Сила трения скольжения находится в общей касательной плоскости соприкасающихся поверхностей тел и направлена в сторону, противоположную направлению возможного или реального скольжения тела под действием приложенных сил. Сила трения при покое зависит от активных сил и её модуль изменяется от нуля до максимального значения, которое достигается в момент выхода тела из положения равновесия, т.е.:

0 F Fmax.

2. Максимальная сила трения скольжения пропорциональна нормальному давлению (нормальной реакции):

Fmax = f N,

где безразмерный коэффициент f называется коэффициентом трения скольжения. Он зависит от материалов и состояния поверхностей соприкасающихся тел (шероховатость, температура, влажность и т.п.) и определяется экспериментально. При движении коэффициент трения скольжения зависит от скорости скольжения: для большинства материалов с увеличением скорости значение коэффициента сначала незначительно уменьшается, а затем остаётся практически неизменным.

3. Максимальная сила трения в довольно широких пределах не зависит от площади соприкасающихся поверхностей.

Многие задачи на равновесие тела на шероховатой поверхности удобно решать геометрически, для этого вводится понятие угла трения.

Угол отклонения реакции R от нормальной составляющей N изменяется от нуля до максимального значения max (рисунок 1).

4

Наибольший угол max между реакцией шероховатой поверхности, построенной на максимальной силе трения, и направлением нормальной реакции называют углом трения, т.е.:

tg max Fmax f .

N

Пример 1. Тело весом G = 200 Н, удерживается в равновесии на негладкой наклонной поверхности (рисунок 2). Коэффициент трения (сцепления) между поверхностями f = 0,2, угол наклона плоскости = 30 .

При каком значении силы F тело будет в равновесии? При каком коэффициенте сцепления тело удержится в равновесии на поверхности под действием своей силы тяжести?

Решение

1. Рассмотрим вариант, когда сила F стремится сдвинуть тело вверх по наклонной плоскости (рисунок 2,b). К телу (точке) приложена плоская сходящаяся система сил. Составим уравнения для предельного равновесия

Fkx 0, F cos Fтр G sin 0,

Fky 0, N F sin G cos 0,

Fтр f N .

a)		b)			c)
		y		F x	y	F	x
F		N			N
		Fтр				Fтр
			G			G

Рисунок 2 – Пример 1: а) условие, b) расчетная схема при Fmax, c) расчетная схема при Fmin

5

	Из	второго уравнения N G cos F sin ,				из
третьего		Fтр f (G cos F sin ), подставив в первое,
получим
	F cos f (G cos F sin ) G sin 0, откуда
F	G(cos f sin )			200(0,866 0,2 0,5)	139,38	Н.
	cos f sin			0,866 0,2 0,5

2. Рассмотрим вариант, когда тело будет стремиться

опуститься по наклонной плоскости, и определим силу F , которую нужно приложить к телу для удержания его на плоскости (рисунок 2,с) в предельном равновесии

Fkx 0, F cos Fтр G sin 0,

Fky 0, N F sin G cos 0,

Fтр f N .

Из	второго уравнения N G cos F sin , из
третьего	Fтр f (G cos F sin ), подставив в первое,

получим

F cos f (G cos F sin ) G sin 0, откуда

	F	G(sin f cos )		200(0,5 0,2 0,866)	85,33	Н.
		cos f sin		0,866 0,2 0,5

Для удержания тела в равновесии на наклонной плоскости необходимо выполнить условие

85,33 F 139,38 Н.

3. Определим минимальное значение коэффициента сцепления, чтобы тело не скользило вниз по наклонной плоскости под действием своей силы тяжести. Запишем уравнения равновесия используя расчетную схему

(рисунок 2,с), исключив из системы силу F

Fkx 0, Fтр G sin 0,

Fky 0, N G cos 0,

6

Fтр f N .

N G cos , G cos f G sin 0,

fsin 0,577. cos

Пример 2. На рабочий барабан радиусом r = 0,25 м подъемной машины навит канат, удерживающий груз весом Р = 20 кН. К тормозному барабану радиусом

R = 0,5 м, силой F прижимается тормозная колодка. Коэффициент сцепления между поверхностями f = 0,8.

Определить наименьшую величину силы F прижатия для удержания барабана в равновесии (рисунок 3).

Решение

Рассмотрим равновесие барабана. К нему приложены силы: вес груза P , реакции подшипников вала барабана

X O и Y O , сила прижатия колодки F и сила трения F тр . Запишем уравнение моментов сил относительно

центра вала барабана

mO (F k ) 0,

P r Fтр R 0 , где Fтр f F.

P r F f R откуда F

P r

20 0,25

12,5 кН.

0,8 0,5

f R

a)

b)

у

R

YO

О

F

О

XO

F

х

r

Fтр

Р

Р

Рисунок 3 – Пример 2: а) условия, b) расчетная схема

7

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

В каждом из 25 вариантов заданий содержится по 3 задачи. Рисунки к задачам по вариантам представлены на страницах 16 28. Первая и третья задачи имеют общее условие для всех вариантов, а вторая – индивидуальное в каждом.

Впервой задаче рассматривается равновесие одного тела, пренебрегая его размерами, то есть образуется плоская сходящаяся система сил. Составленные уравнения равновесия соответствуют предельному равновесию тела.

Условие первой задачи для всех вариантов одинаковы, а исходные данные, рисунки, искомые величины различные. Рекомендации по решению задач смотреть на странице 13.

Во второй задаче предлагается рассмотреть предельное равновесие абсолютно твёрдого тела, к которому приложена плоская произвольная система сил. В зависимости от поставленного вопроса требуется составить одно, два или три уравнения равновесия плоской произвольной системы сил. Рекомендации по решению задач смотреть на странице 43.

Втретьей задаче предлагается составная конструкция из двух или трех тел, в которой одна из внутренних связей является поверхностью с трением. Условие задачи для всех вариантов одинаково (с. 16), а исходные данные, рисунки и искомые величины различные.

Задача решается одним из известных способов решения составных конструкций. Рекомендации по решению задач смотреть на странице 90.

При решении всех задач следует указать, какое (минимальное или максимальное) значение коэффициента трения (при покое) или активной силы использовано при записи уравнений предельного равновесия.

8

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Тело А массой тА соединено гибкой нерастяжимой нитью, переброшенной через блок, с телом В массой тВ . Тело А расположено на горизонтальной или

наклонённой под углом к горизонту плоскости. Коэффициент трения между телом А и плоскостью fA. Тело В свободно подвешено на нити или опирается на плоскость, наклонённую под углом к горизонту. Коэффициент трения между телом В и плоскостью fB. Трением в блоках и шарнирах пренебречь.

Необходимые для расчёта данные и искомые величины указаны в таблице 1 на странице 14. При нарушении предельного равновесия тела А считать, что тело В будет опускаться.

Задачи 4.01.2 – 4.25.2

4.01.2. К валу, радиус которого 10 см, приложена пара сил с моментом М = 120 Н·м. К валу симметрично прижимаются две тормозные колодки. Коэффициент трения между поверхностью вала и колодками равен 0,4. Найти силу Q давления колодок на барабан для удержания вала в равновесии и давление оси барабана на подшипники.

4.02.2. Однородная тяжелая балка длиной 2 м опирается концом А на горизонтальную поверхность, а в точке В на гладкую вертикальную опору высотой h = 1 м. Найти наименьший коэффициент трения между балкой и плоскостью, при котором возможно равновесие, если угол наклона балки = 60°.

4.03.2. Однородная тяжёлая балка опирается одним концом на гладкий пол, а другим на негладкую наклонную

9

плоскость, образующую с горизонтом угол . Найти, при каком значении угле балка будет находиться в равновесии, если коэффициент трения ее поверхности о наклонную плоскость равен f.

4.04.2. Вертикальный стержень весом 200 Н может двигаться в направляющих А и В, расстояние между которыми равно b = 1,5 м. Стержень поднимается силой, приложенной к кронштейну, вылет которого а = 0,2 м. Найти

наименьшую величину силы P для подъема стержня при условии, что в направляющих А и В возникает сила трения и коэффициент трения равен f = 0,2. Толщиной стержня пренебречь.

4.05.2. Дверь отодвигается с трением в нижнем горизонтальном пазу АВ. Коэффициент трения f не более 0,3, ширина двери b = 0,6 м; центр тяжести С находится на ее вертикальной оси симметрии. Определить высоту h, на которой следует поместить ручку двери, чтобы дверь при отодвигании не опрокинулась, если приложенная к ручке сила P горизонтальна.

4.06.2. Доказать, что однородная тяжелая балка, прислонённая к негладкой вертикальной стене, не может находиться в равновесии, если другим концом опирается на гладкий пол.

4.07.2. Горизонтальный стержень АВ имеет отверстие на конце А, которым надет на вертикальный стержень СD. Толщина втулки а = 5 см. В точке В подвешен груз Р. Коэффициент трения между втулкой и стержнем СD f = 0,1. Пренебрегая весом конструкции, определить расстояние l от оси стержня СD до точки подвеса груза Р,

10