МУ ТМ_2015 / Статика Тема3 (Михайленко, Живаго)

	Институт машиностроения
		и транспорта
	Кафедра теоретической механики
СТАТИКА
Практикум
Тема 3. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ ТЕЛ
F1	C
q	M		3а
3а	3а	а
		3
		а	α	F2
		3	B
А
	12а
Новокузнецк
	2012

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Сибирский государственный индустриальный университет”

Кафедра теоретической механики

СТАТИКА

Тема 3. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ ТЕЛ

Практикум для выполнения самостоятельной работы

по дисциплине “Теоретическая механика”

Новокузнецк, 2012

УДК 531 (075) С 78

Рецензент:

Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой сопротивления материалов и строительной механики СибГИУ А.Г. Никитин

С 78 Статика: Практикум. / Сиб. гос. индустр. ун-т; сост: Н.И. Михайленко, Э.Я. Живаго. – Новокузнецк, Изд. центр СибГИУ, 2012. – 38 с.

Изложены методические указания для выполнения расчетнографических работ по дисциплине “Теоретическая механика”, раздел “Статика”, излагается краткая теория, приведены варианты заданий и ответы к ним.

Тема 3. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ ТЕЛ

Несколько тел, соединенных между собой какими-либо связями в единую механическую систему, называют системой тел

или составной конструкцией.

Силы, действующие на тела системы, делятся на внешние и внутренние.

Силы, с которыми на данную систему действуют тела, не входящие в эту систему, называют внешними.

Силы взаимодействия между отдельными телами системы называют внутренними силами.

Связи также называют внутренними и внешними. Внутренние связи соединяют между собой тела системы.

Внешние связи удерживают всю конструкцию.

По принципу равенства действия и противодействия внутренние силы системы попарно равны по величине, направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Если все тела системы лежат в одной плоскости и силы, действующие на систему, лежат в той же плоскости, то для решения задачи можно составить N = 3n уравнений равновесия, где n – число тел, входящих в систему.

Следовательно, можно найти N = 3n неизвестных внешних и внутренних сил системы.

Первый метод заключается в том, что систему разделяют (по внутренним связям) на отдельные тела и рассматривают равновесие каждого тела в отдельности с учетом внутренних сил, т.е. внутренние силы «переходят» в разряд реакций внешних связей.

Второй метод состоит в том, что рассматривается равновесие всей конструкции, как единого твердого тела без учета внутренних сил, а затем равновесие каждого тела в отдельности за исключением одного.

Рациональный выбор метода решения зависит от конкретной задачи.

Контрольные задания

Определить внешние и внутренние реакции связей составной конструкции.

Примечание – номер варианта выбирается по сумме двух последних

цифр шифра.

Методические указания

Для решения задачи необходимо изучить следующие вопросы:

1.Понятие системы тел.

2.Внешние и внутренние силы.

3.Условия равновесия системы тел.

4.Статически определимые и неопределимые системы тел.

5.Способы решения задач на равновесие системы тел.

При решении задач на равновесие системы тел целесообразно придерживаться следующей последовательности:

•Изобразить систему тел на рисунке. Определить в каких точках, и какими внешними связями закреплена система тел. Показать на рисунке внешние реакции или их составляющие. Определить внутреннюю связь и ее реакции.

•Установить нагрузки, действующие на систему тел, показать их на рисунке.

•Выяснить, является ли задача статически определённой.

•Выбрать способ решения задачи. В зависимости от способа решения сделать два рисунка (всей системы как целого тела и одного из тел системы или каждого из тел системы). Показать на каждом из рисунков все действующие силы, как активные, так и реакции связей.

•Написать условия равновесия для действующих на каждое из тел системы сил и составить уравнения равновесия.

•Вычислить значения реакций.

•Написать ответ, указав, правильно или неправильно выбраны первоначальные направления реакций или их составляющих.

Примеры выполнения и оформления задач
Задача 1. Определить внешние и внутренние реакции связей
составной конструкции, изображенной на рисунке 1.
Исходные данные: F1 = 8 кН, F2 = 11 кН, M = 31 кН м,
α = 60º, q = 1,2 кН/м, а = 1 м.
Определить: RA , RB , RC .
F1	C
q	M	3а
3а	3а
	3а
	а	α	F2
	3	B
А
	12а
Рисунок 1 – Схема составной конструкции

РЕШЕНИЕ

Воспользуемся вторым способом реше6ния задач: Рассмотрим сначала равновесие всей конструкции. Изобразим

ее на рисунке 2 без связей. Неподвижные цилиндрические шарниры А и В заменяем реакциями, которые разложим на составляющие, параллельные координатным осям X A , YA , XB , YB . Конструкция

нагружена парой сил с моментом М, сосредоточенными силами F1 и F2 , равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q,

которую заменяем равнодействующей Q, приложенной в середине пролета, т.е. в точке K и равной по величине

Q = q 6a =1,2 6 1 = 7,2 кН.

Система двух тел, освобожденная от связей, не образует жесткой конструкции (тела могут вращаться вокруг шарнира С), но по принципу отвердевания, действующие на систему силы при равновесии должны удовлетворять условиям равновесия статики.

Воспользуемся второй формой условий равновесия для для
плоской произвольной системы сил
n
∑mA(Fk )		= 0,
k =1
−Q 3a − F1 3a + F2 sin 60°3a + F2 cos 60°12a +YB12a + M = 0.					(1)
n
∑mB (Fk )		= 0,
k =1
−Q 3a + F1 9a + F2 sin 60°3a −YA12a + M = 0.					(2)
	n
∑Fkx = 0,
k =1
X A + X B +Q − F2 sin 60° = 0					(3)
F1	C
		M		3а
3а	3а		а	F2 х
Q			3
K		а	F2 y 60º
X A		3
				X В
А			B
YA	12а			YВ
Рисунок 2 – Равновесие составной конструкции

При этом для определения mA(F2 ) воспользуемся теоремой Вариньона

mA(F2 ) = mA(F2 x )mA(F2 y ) = F2 sin 60°3a + F2 cos 60°12a

Полученные три уравнения содержат четыре неизвестных X A , YA , XB , YB . Для решения задачи рассмотрим дополнительно

равновесие балки АС. Изобразим её на рисунке 3.3 без шарнира С, заменив реакцию этого шарнира её составляющими, параллельными осям координат XС , YС . На эту балку действуют

активные силы F1 и Q, а также реакции внешней связи из составляющих X A и YA и внутренней связи XС , YС .

Для плоской произвольной системы сил в данном случае воспользуемся третьей формой условий равновесия и составим три уравнения моментов. Моментные точки выбираем так, чтобы они не лежали на одной прямой.

n
∑mA(	Fk ) = 0,			− F1 3a −Q3a − XC 9a +YC 6a = 0,	(4)
k =1
n
∑mС (	Fk ) = 0,			−YA6a + X A9a +Q6a + F1 3a = 0,	(5)
k =1
n
∑mD (		Fk ) = 0,		−YA6a −Q3a + F1 3a − XC 9a = 0.	(6)
k =1

Для системы двух тел составлено шесть уравнений равновесия. Неизвестных величин также шесть – X A, YA, XB , YB ,

XС , YС , следовательно, задача статически определенная.

у			YС
						X	С
	F
1					C

3а 3а

Q

K O

					A
	А			X
					D
YA

3а 3а 3а

х

Рисунок 3 – Равновесие части конструкции АС

Решим полученную систему уравнений, учитывая, что а = 1

м.

Из уравнения (1) определяем YB:

YB = 3Q + 3F1 − 3F2 sin 60°−12F2 cos 60°− M = −6,66 кН.

12

Из уравнения (2) определяем YА:

	− 3Q + 9F			+ M − 3F sin 60o
YA =		1		2	= 9,16 кН.
				12
Из уравнения (5) определяем ХА:
	ХA = 6YA −6Q − 3F1				= −1,36 кН.
				9
Из уравнения (6) определяем ХС:
	XC	= −6YA − 3Q + 3F1 = −5,84 кН.
				9
Из уравнения (3) определяем ХВ:
	XB = −X A −Q + F2 sin 60° = 3,68 кН.
Из уравнения (4) определяем YС:
	Y	=	3F1 + 3Q + 9 XC		= −1,16 кН.
	C			6

Составляем проверочные уравнения: а) для всей конструкции (рисунок 2)

n

∑mС (Fk ) = 0,

k =1

X A 9a + X B 9a −YA 6a +YB 6a +Q 6a + F1 3a + M − F2 sin 60°6a +

+ F2 cos 60°6a = 0.

9(−1,36) + 3,68 9 −9,16 6 + 6(−6,66) +7,2 6 +8 3 + 31 − −11 0,866 6 +11 0,5 6 = 0, 0 ≡ 0;

б) для части конструкции – балки АС:

n

∑mО(Fk ) = 0, X A 3a −YA 3a − XC 6a +YC 3a = 0.

k =1

3(−1,36) −9,16 3 −6(−5,84) + 3(−1,16) = 0, 0 ≡ 0.

Задача решена правильно.

Из решения уравнений видно, что XA, XC, YB, YC имеют направления, противоположные направлениям, показанным на чертеже.

Определяем полные реакции неподвижных шарниров:

RA = X A +YA ,

RA = X A2 +YA2 = ( −1,36 )2 + 9,162 = 9,26 кН.

R = X

B

+Y

B

,

R

B

= X 2

+Y 2 = 3,682

+( −6,66 )2 = 7,61 кН.

B

B

B

R = X

C

+Y ,

R

A

= X 2

+Y 2 = ( −5,84 )2 +(_1,16 )2 = 5,95 кН.

C

C

C

C

Ответ: RA = 9,26 кН, RB = 7,61 кН, RC = 5,95 кН.

Задача 2. Определить внешние и внутренние связи составной

конструкции, представленной на рисунке 4.

Исходные данные: F1 = 13 кН, F2 = 10 кН, M = 10 кН м, а = 1

м, q = 0,5 кН/м, α = 30º, β = 60º.

2а

2а

q

C

B

А

M

F1

β

3а

Е

α

F2

3а

3а

Рисунок 4 – Схема составной конструкции

РЕШЕНИЕ

Используем первый способ решения задач:

Расчленим систему на две части (балка СВ и балка АВ) и рассмотрим равновесие каждой балки в отдельности.

Рассмотрим сначала равновесие балки СВ. Изобразим её на рисунке 5, заменив связи их реакциями. Балка удерживалась в точке С подвижным цилиндрическим шарниром, реакция RC

которого перпендикулярна опорной поверхности, а в точке В соединялась с балкой АВ неподвижным шарниром, реакцию которого представляем составляющими XB и YB , параллельными

выбранным осям координат. Балка нагружена парой сил с моментом М и равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q, которую заменяем сосредоточенной силой Q, приложенной в середине пролёта, т.е. в точке D и равной по величине: