алгоритмом аналогично оценки параметра формы b закона ВейбуллаГнеденко.

Получим соответственно нижнюю границу параметра масштаба:

aн = 147,23 = 163,58 0,90

Верхнюю границу

aв = 186,96 = 207,73 0,90

Прежде чем перейти к оценке других показателей свойств надежности, необходимо проверить принятую нулевую гипотезу о соответствии экспериментального распределения отказов распределению ВейбуллаГнеденко, нормальному, экспоненциальному или другим законам.

2.4 Проверка нулевой гипотезы

Нулевая гипотеза - это предположение о соответствии полученных в результате эксперимента случайных величин тому, либо другому закону распределения. В случае подтверждения соответствия по критерию ХИквадрат Пирсона, выбирается аналитическая модель искомого закона распределения. При этом должно быть соблюдено следующее условие.

χ расч2 < χ табл2

( β , k )

(15)

где		χ расч2	- значение критерия, вычисленное по экспериментальным
данным;
χ	2	( β , k )		- критическая точка (табличное значение) критерия при
	табл

уровне значимости β и числе степени свободы k (выбираем из таблицы 2 Приложения А).

Уровень значимости β обычно принимают равным одному из значений ряда: 0,10; 0,05; 0,025; 0,02; 0,01.

Примем, что уровень значимости β равен 0,10. Число степеней свободы определяется по формуле:

	k = S −1− r ,	(16)
где	S – количество частичных интервалов выборки;
r –	количество параметров предполагаемого распределения.
	13

При двухпараметрическом законе Вейбулла-Гнеденко k = S - 3 .

Нулевая гипотеза проверяется по следующему алгоритму:

определяется количество интервалов S по правилу Штюргеса с округлением до целого значение:

S = 1 + 3,32 × lg N	(17)

S = 1 + 3,32 × lg 23 = 6

k = S - 3 = 6 - 3 = 3

(табличное значение критерия χтабл2 (0,10;3) = 11,345 ).

рассчитывается длина интервала как отношение размаха вариационного ряда на число интервалов, т. е. разность между наибольшим и наименьшим значениями вариационного ряда

	Lj		=		Lmax − Lmin
					S		,	(18)
	L j	=		269 − 98		= 28,5
					6

границы интервалов определяются по формуле:

Lj = Lmin + Lj ,

где j=1, 2, …, s.

L1 = 98 + 28,5 = 126,5

L1 = 126,5 + 28,5 = 155,0

L1 = 155 + 28,5 = 183,5

L1 = 183,5 + 28,5 = 212,0

L1 = 212 + 28,5 = 240,5

14

Необходимо учесть, что первый интервал начинается с нуля, а последний оканчивается в бесконечности. Полученные значения интервалов записываются в таблицу 2.

После определения границ интервалов определяют эмпирические частоты, то есть n j - количество членов вариационного ряда, попавших в j – й

интервал. При возникновении нулевого интервала ( n j =0) границы интервалов пересчитываются заново, при этом длина интервала рассчитывается по формуле:

	L j ' =	Lmax − Lmin	+	L j
		S		,
где	Lj' - новое значение длины интервала,
	DLj - старое значение интервала.

Таблица 2 - Расчет эмпирических частот

j	Lj		Lj+1	nj
1	0	126,5		7
2	126,5	155,0		5
3	155,0	183,5		4
4	183,5	212,0		1
5	212,0	240,5		3
6	240,5		∞	3
			Σnj =	23

Рассчитаем, исходя из нулевой гипотезы, формуле:

n j = N × [F (L j ) - F (L j −1 )],

где j = 1, 2, …, S.

или

nj = N × DF (Lj ) .

теоретические частоты по

(19)

Определим функцию распределения отказов, входящую в формулу (19), по формуле (для закона Вейбулла-Гнеденко):

F (L) = 1 − EXP[− (L aˆ )b ],	(20)
15

где L – значение границы интервала (тыс. км),

a - точечная оценка параметра масштаба закона Вейбулла – Гнеденко в тыс. км.

F (0) = 1 - EXP[- (0185,52)3,37 ]= 0

F (126,5) = 1 - EXP[- (126,5185,52)3,37 ]= 0,240673

F (155) = 1 - EXP[- (155185,52)3,37 ]= 0,42075

F (183,5) = 1 - EXP[- (183,5185,52)3,37 ]= 0,618783

F (212) = 1 - EXP[- (212185,52)3,37 ]= 0,79169

F (240,5) = 1 - EXP[- (240,5185,52)3,37 ]= 0,9092

F (¥) = 1 - EXP[- (¥185,52)3,37 ]= 1,

Рассчитаем F(L j ) :

DF (L1 ) = 0,240673 - 0 = 0,240673

DF (L2 ) = 0,42075 - 0,2440673 = 0,1766827

DF (L3 ) = 0,618783 - 0,42075 = 0,198033

DF (L4 ) = 0,79169 - 0,618783 = 0,172907

DF (L5 ) = 0,9092 - 0,79169 = 0,11751

DF (L6 ) = 1 - 0,9092 = 0,0908

Значит n j равно:

n1 = 23 × 0,2406 = 5,45353

n2 = 23 × 0,1766 = 4,05007

n3 = 23 × 0,198 = 4,48753

n4 = 23 × 0,1729 = 3,97785

16

n5 = 23 × 0,11751 = 2,77012

n6 = 23 × 0,0908 = 1,47591

Можно воспользоваться моделью оценивания функции распределения по нормальному закону распределения:

															(L - L )
						1					L							ˆ				2
F (L) =											× ∫ EXP -									ср				dL
																		2
				S(L) ×					2π						2 ×	S
										0										(L)					(21)
																								,
																						ˆ
при замене переменной функцией Лапласа															Z = (L − Lср ) S(L)										получим:
	1			1				Z				Z	2			1					1
F (L) =		+					×	∫ EXP -						dZ =						+				×ϕ (Z )
	2				2π							2				2					2
		2						0																	(22)

Полученные значения функции распределения и теоретических частот занесем в таблицу 3.

	Таблица 3 - Расчет χ 2					- распределения согласия Пирсона
							DF (L j )	_	2		_
	L j	Lj 1		n j	n2j
j								n j	n j	/	n j
		+
1	0	126,5		7	49		0,2406	5,45353	8,98501
2	126,5	155		5	25		0,1766	4,05007	6,17273
3	155	183,5		4	16		0,198	4,48753	3,56544
4	183,5	212		1	1		0,1729	3,97785	0,25139
5	212	240,5		3	9		0,11751	2,77012	3,24896
6	240,5	∞		3	9		0,0908	2,0884	4,3095
		∑ n j			∑DF (L j ) = 1,000			_	_
			= 23					∑ n j = 23	∑ (n 2j n j		) = 26,533

Определим расчетное значение критерия Пирсона по формуле:

	S	2
		n j
χ расч2 = ∑			− N
		n j
	j =1		,	(23)
χ 2	= 26,533 − 23 = 3,533
расч

Проверяем условие (15), если оно выполняется, то нулевая гипотеза принимается. В противном случае, необходимо вернуться к началу подраздела 2.4, уточнив нулевую гипотезу, т. е. приняв гипотезу о

17