2. Аппроксимация наблюдений для линейных моделей, действительный и комплексный случай.

Действительный случай: есть наблюдения на конечном временном интервале для Представим линейную по параметрам модельную функцию: в скалярном виде:

функционал мера близости модели и наблюдений, определяется разностями =_{(из-за линейности S имеет квадратич. Форму)} векторно-матричные переменные:

, , ,

где Y – вектор наблюдений размерности c – вектор параметров модели размерности X – матрица плана сигнала размерности Нетрудно видеть, что разность для наблюдений и модели может быть сформирована в векторном виде

. (2.4.5)

На основе введённых векторов и матриц функционал записывается как скалярное произведение и представляет собой квадратичную форму

(2.4.6)

С учётом того, что имеет место равенство можно записать

Нетрудно проверить, что для квадратичной формы справедливо равенство

Очевидно, минимальное значение этой квадратичной формы достигается при

(2.4.7)

Последнее выражение может быть представлено в виде системы линейных уравнений

Введём обозначения Матрица D имеет размерность элементы этой матрицы симметричны относительно главной диагонали и определяются как скалярные произведения базисных функций

Элементы вектора размерности – коэффициенты Фурье, вычисляются как взвешенные суммы наблюдений

,

Нахождение оптимального вектора параметров сводится к решению линейной системы уравнений

Комплексный случай: Рассмотрим решение задачи оценивания параметров линейных моделей для комплексных сигналов. Введём комплексные наблюдения и комплексную модель сигнала определяемую комплексным вектором параметров и комплексной базисной функцией Функционал (2.4.6) в этом случае запишется с использованием суммы произведений сопряженных комплексных множителей

(2.4.8)

По аналогии с (2.4.5) введём комплексную разность функции наблюдения и модели Воспользовавшись введёнными векторно-матричными переменными, но в комплексной форме, представим функционал (2.4.8)

С учётом равенства запишем

(2.4.9)

Очевидно, справедливо равенство

Минимальное значение этой квадратичной формы (2.4.9) дости­гается при

(2.4.10)

Оценка из (2.4.10) может быть найдена с помощью решения системы линейных уравнений

(2.4.11)

Коэффициенты матрицы D вычисляются в виде скалярных произведений векторов

, (2.4.12)

Коэффициенты вектора b (коэффициенты Фурье) вычисляются в виде скалярных произведений векторов

, (2.4.13)

Если базисные функции ортогональны, то нахождение параметров модели упрощается. Матрица D будет диагональной с элементами

Оптимальные параметры модели выразятся через коэффициенты Фурье

(2.4.14)

3. Модели сигналов на основе действительного и комплексного ряда Фурье.

Действительный случай. Рассмотрим построение моделей сигналов на основе действительного ряда Фурье.

Пусть наблюдения cигнала заданы в виде действительной функции на конечном интервале времени Рассмотрим варианты условий сходимости рядов Фурье для ^. Первый вариант: если в некотором промежутке с центром в точке функция имеет ограниченное изменение, то её ряд Фурье в указанном интервале для сходится к Второй вариант: если функция определённая на интервале имеет на нём не более чем конечное число точек разрыва, её ряд Фурье в точке непрерывности сходится к или к сумме в каждой точке разрыва Будем полагать, что для рассматриваемого сигнала выполнены сформулированные условия сходимости.

Выбирается модель для указанного сигнала в форме действительного ряда Фурье следующего вида

(2.5.1)

Значения модельных частот фиксированы и определяются длиной интервала наблюдения, модельные синусоиды располагаются с шагом по частоте который зависит от Вектор параметров модели имеет бесконечную размерность, Благодаря выбору частотного параметра оказывается, что на интервале времени укладывает целое число периодов базисных функций и Вследствие этого, указанные базисные функции являются ортогональными.

Функционал для решения задачи аппроксимации функции наблюдений на основе сформированной модели имеет вид

Нахождение вектора параметров модели сводится к минимизации указанного функционала, который, очевидно, является квадратичным по с:

,

Ограничимся конечным числом синусоид, составляющих модель, равным L. В этом случае вектор базисных функций для модели (2.5.1) имеет размерность и выглядит на интервале следующим образом:

Нетрудно убедиться в том, что для составляющие базис функции ортогональны. Действительно, легко проверить, что интегралы от произведений базисных функций равняются нулю:

,

и

Вычислим интегралы от квадратов базисных функций:

Основываясь на произведённых выкладках, с учётом формулы (2.4.14) для решения линейной системы с ортогональными базисными функциями, получим оптимальные значения коэффициентов модели для фиксированного L:

Устремим число базисных функций в бесконечность, Естественно, можно сразу записать, опустив знак формулы для оптимальных параметров модели, которые являются известными коэффициентами разложения Фурье:

.

В силу ортогональности базисных функций модели ряда Фурье мощность P сигнала, сформированного на основе ряда Фурье, слагается из мощностей составляющих синусоид мощность для l‑й синусоиды определяется амплитудами

.

Благодаря ортогональности данного базиса для рассматриваемой модели возможно представление дискретного спектра мощности в виде бесконечной последовательности равноотстоящих на по оси частот значений

Сходимость функций модельного ряда Фурье зависит от числа членов, которые учитываются в разложении и от свойств аппроксимируемого сигнала. В случае, если производные для сигнала претерпевают разрывы или резкие изменения, то модельный ряд Фурье становится колебательным в области разрывов (резких изменений) и возникает так называемый эффект Гиббса.

Рассмотрим численные примеры вычисления модельных рядов Фурье с конечным числом членов, основываясь на (2.5.1):

Комплексный случай. Пусть произведено наблюдение комплексной функции на интервале модель сигнала представится комплексным рядом Фурье

(2.5.5)

Комплексный вектор параметров модели имеет бесконечную размерность Функционал остаточной суммы примет вид

(2.5.6)

Так же как и для разд. 2.5.1, ограничимся конечным числом комплексных модельных синусоид, которые составляют модель; пусть число модельных синусоид равняется L. В этом случае вектор базисных функций для модели (2.5.5) имеет размерность и выглядит следующим образом

Нетрудно убедиться в том, что на интервале времени составляющие базис функции ортогональны. Действительно, интегралы от произведений базисных функций для равняются нулю; нетрудно видеть, что с учётом комплексности выполняется равенство:

Для справедливо соотношение

Оптимальные параметры модели обеспечивающие минимум функционала (2.5.6), после того как сделаны необходимые выкладки и предельный переход определяются следующими интегралами (опущен знак ):

(2.5.7)

Пусть для рассматриваемой функции сигнала выполняются сформулированные в разд. 2.5.1 условия сходимости с учётом комплексности. Тогда на оптимальных из (2.5.7), очевидно, должно выполняться равенство

(2.5.8)

Вследствие (2.5.8) остаточная сумма квадратов (2.5.6) – значение функционала для оптимальных параметров – должно принимать нулевое значение . Таким образом, можно записать два взаимных равенства:

Для действительных сигналов можно выяснить соотношения между коэффициентами действительного и комплексного рядов Фурье. Действительно, можно записать

.

Тогда легко видеть, что справедливы следующие равенства для и

и

Мощность l-й комплексной модельной синусоидальной функции вычисляется интегрированием на интервале

Благодаря ортогональности используемого комплексного базиса общая мощность сигнала представляется в виде суммы мощностей составляющих как для положительных, так и отрицательных частот.