- •Структура систем цос. Структура систем сбора данных
- •Аппроксимация наблюдений для линейных моделей, действительный и комплексный случай.
- •Модели сигналов на основе действительного и комплексного ряда Фурье.
- •Интеграл Фурье. Свойства интеграла Фурье. (пф-преоб-е Фурье, фс-физический смысл)
- •3.4.3. Теорема Котельникова
- •Дискретное преобразование Фурье для действительного и комплексного случаев.
- •Функция спектральной плотности мощности сигналов. Оценивание функции спектральной плотности мощности для стационарных эргодических сигналов.
- •Функция спектральной плотности мощности сигналов
- •Разностные уравнения цифровых фильтров. Импульсно-переходные функции цифровых фильтров.
- •Передаточные функции цифровых фильтров. Передаточные функции на комплексной плоскости.
-
Дискретное преобразование Фурье для действительного и комплексного случаев.
Действительный случай. -наблюдения действительного дискретизованного сигнала, N – число наблюдений, T – интервал дискретизации. В самом общем случае для ДПФ не выдвигается никаких специальных требований к наблюдениям сигнала.
Полигармоническую модель с фиксированными частотами для ДПФ в действительном случае
(4.1.4)
Вектор параметров модели и размерность
функционал : (4.1.5)
Оценки параметров для модели (4.1.4) находятся из решения задачи минимизации функционала
Для модели введём векторную базисную функцию размерности :
векторная базисная функция не зависит от интервала дискретизации T:
Модель и функционал в скалярном виде: (4.1.7)
Введем на основе материалов разд. 2.4 векторно-матричные обозначения для вектора наблюдений Y размерности вектора параметров размерности и матрицы плана сигнала X размерности :
, ,
где
Рассмотрим скалярные произведения синусоидальных базисных функций Благодаря предложенному расположению частот в модели введённые базисные функции являются ортогональными
и
В этом можно убедиться, если произвести вычисления скалярных произведений для базисных функций на основе использования табличных формул для тригонометрических сумм. В самом деле, вычислим скалярные произведения базисных функций для разных индексов
для
Вычислим скалярные произведения базисных функций для одинаковых индексов:
Вследствие ортогональности введённых синусоидальных базисных функций матрица размерности является диагональной:
, .
Вектор коэффициентов Фурье размерности представляет собой набор скалярных произведений вида
,,…,
Оптимальные параметры модели для ДПФ выразятся через коэффициенты Фурье
(4.1.8)
Основываясь на (4.1.8), запишем формулы, определяющие оптимальные параметры для модели (4.1.4) и являющиеся коэффициентами ДПФ для случая действительных наблюдений и действительной модели:
(4.1.9)
В формулах (4.1.9) опущен знак оптимальности В соответствии с (4.1.9) ДПФ осуществляет линейное преобразование вектора наблюдений сигнала размерности в вектор параметров модели размерности
Комплексный случай. Пусть – комплексные наблюдения, Введём комплексную модель для наблюдений в точках
– комплексные параметры, W – корень N-й степени из единицы, – комплексные базисные функции, :
Функционал – мера близости комплексных наблюдений и модели, запишется с помощью суммы комплексно-сопряженных сомножителей
. (4.1.10)
Введём комплексные векторно-матричные переменные – вектор комплексных наблюдений Y размерности (N, 1), вектор комплексных параметров модели размерности (N, 1) и комплексную матрицу плана сигнала X размерности (N, N):
, , .
оптимальные оценки параметров
Матрица и вектор коэффициентов Фурье выразятся с использованием комплексных сопряжений. Коэффициенты ДПФ находятся из системы
Базисные комплексные синусоидальные функции ортогональны, и поэтому матрица D диагональна. Вычислим коэффициенты этой матрицы, сформировав тригонометрические суммы, являющиеся скалярными произведениями для столбцов комплексной матрицы плана сигнала:
Для индексов имеем для следует, что Тогда нетрудно видеть, что
, ,
Коэффициенты ДПФ для случая комплексных наблюдений и комплексной модели запишутся следующим образом:
, (4.1.11)
где так же, как и в (4.1.9), опущен знак оптимальности.
Вычислим остаточную сумму для оптимальных коэффициентов комплексного ДПФ. Подставим под знак суммы (4.1.10) полученные выражения для коэффициентов :
Рассмотрим отдельно выражение в скобках под знаком суммы, переставим порядки суммирования, учитывая, что
для для
Нетрудно видеть, что имеет место равенство Остаточная сумма для функционала (4.1.10) на оптимальных коэффициентах ДПФ равняется нулю – предлагаемая тригонометрическая модель с нулевой погрешностью аппроксимирует наблюдения. Благодаря этому обстоятельству можно записать формулы прямого и обратного дискретного преобразования Фурье, физический смысл которых очевиден
( в лекциях есть 4 и 5 пункты)
Приведём показательную форму для комплексного ДПФ. Определим амплитуды и фазы составляющих ДПФ в зависимости от дискретного номера k:
Результаты вычисления составляющих ДПФ можно графически изображать в виде амплитудного и фазового спектров. Для удобств изображений амплитудных спектров применяется логарифмический масштаб:
Вполне правомерно введение зависимости от частоты для составляющих спектра ДПФ. Шаг дискретности по частоте для составляющих определяется интервалом наблюдения NT, Составляющие спектра – амплитуды и фазы модельных комплексных синусоид – располагаются равномерно по оси частот, , где так же, как и разд. 4.1.2,
Рассмотрим пример вычисления амплитудного и фазового спектра ДПФ для сигнала в виде единичного прямоугольного импульса: для для (4.1.12)
Нахождение ДПФ для данного сигнала сводится к суммированию комплексной геометрической прогрессии со знаменателем :
Cделаем необходимые выкладки, чтобы получить формулы для значений амплитудного и фазового спектров
,
, ,
(4.1.13)
Для расчётов по формулам (4.1.13) взяты значения На рис. 4.1.1 изображен логарифмический амплитудный спектр ДПФ сигнала (4.1.12) для точек
Рис. 4.1.1. Логарифмический амплитудный спектр ДПФ
для прямоугольного импульса
В практике обработки дискретных наблюдений, как правило, приходится иметь дело с действительными сигналами. Однако многие программы алгоритмов вычисления коэффициентов ДПФ ввиду определённых удобств записываются в комплексной форме. Чтобы можно было воспользоваться этими программами для вычисления ДПФ действительных сигналов, необходимо положить в комплексных наблюдениях мнимую составляющую, равную нулю:
Для комплексного сигнала с нулевой мнимой составляющей проведём вычисления коэффициентов ДПФ, получим
Коэффициенты комплексного и действительного ДПФ связаны простыми соотношениями, которые следует применять для пересчёта:
, , , .