8. Функция спектральной плотности мощности сигналов. Оценивание функции спектральной плотности мощности для стационарных эргодических сигналов.

Функция спектральной плотности мощности сигналов

Теорема Парсеваля Существуют два подхода, которые обычно применяются при исследовании свойств и характеристик сигналов. Первый подход базируется на обычных представлених во временной области, при которых сигналы рассматриваются как функции времени для Второй подход связан с представлениями в частот­ной области, при которых сигналы или образы сигналов в виде преобразований Фурье рассматриваются как функции частоты для Указанные подходы, являющиеся равноправными и двойственными, базируются на возмож­нос­ти реализа­ции прямого и обратного преобра­зований Фурье, взаимнооднозначно связывающих времен­ные и частот­ные представ­ления сигналов. Теорема Парсеваля позволяет устанавливать величину полной энергии комплексных сигналов с помощью интегрирования либо во временной, либо в частотной областях.

Основываясь на разд. 2.2, обратимся к выражению для вычисления энергии E комплексного сигнала во временной области в виде интеграла

(4.3.1)

Используем обратное и комплексно-сопряжённое обратное преобразования Фурье, сформируем выражения для сигналов и :

(4.3.2)

Подставим выражения (4.3.2) в интеграл (4.3.1) и переставим порядки интегрирования

(4.3.3)

Последний интеграл будет представлять собой -функцию из разд. 2.5.3

Нетрудно видеть, что справедливо равенство, из которого величина полной энергии сигнала может быть вычислена на основе интегрирования в частотной области:

, (4.3.4)

(4.3.5)

Равенство (4.3.5) представляет собой формулировку теоремы Парсеваля и позволяет вычислять полную энергию сигнала как во времен­ной, так и в частотной областях.

Прямое и обратное ДПФ может служить дискретным аналогом прямого и обратного непрерывного преобразования Фурье. Разберём вывод дискретного аналога теоремы Парсева­ля.

Запишем обратное и сопряжённое обратное ДПФ для дискретных значений сигнала :

Образуем произведения просуммируем их по i, изменим порядок суммирова­ния и получим

(4.3.6)

На основе (4.3.6) сформируем выражение, которое является дискретным аналогом теоремы Парсеваля:

(4.3.7)

Определение функции спектральной плотности мощности (СПМ) сигналов связано с аналогией из электротехники – вычислении мощности, выделяемой на активном сопротивлении (см. разд. 2.2).

Применим теорему Парсеваля (4.3.5) для нахождения величины энергии сигнала приходящейся на узкий интервал частот :

Для функции спектральной плотности мощности для стационарного эргодического сигнала в непрерывном случае сформируем отношение части мощности сигнала в частотном диапазоне к величине Для этого рассмотрим прямое и комплексно-сопряжённое прямое преобразование Фурье для сигнала на интервале времени которые представляются интегралами

(4.3.8)

Энергия сигнала длительностью в частотном диапазоне может быть найдена на основе интегралов (4.3.8)

Функция СПМ для рассматриваемого стационарного эргодического сигнала запишется в виде предела, в предположении, что этот предел существует:

, (4.3.9)

Функция в общем случае определена во всём частотном диапазоне и является положительной 0.

Рассмотрим обобщение определения функции СПМ сигналов (4.3.9) для дискретного случая. Пусть задаётся набор дискретных значений сигнала T – интервал дискретизации. Интегралы Фурье из (4.3.8) могут быть заменены дискретными суммами, которые являются фактически оценками указанных интегралов для заданной частоты и и с учётом :

.

Нетрудно видеть, что оценки интегралов Фурье сформированы в виде ДПФ. Поэтому – оценка функции СПМ дискретизованного сигнала для фиксированных частот – может быть вычислена через коэффициенты ДПФ:

(4.3.10)