-
Разностные уравнения цифровых фильтров. Импульсно-переходные функции цифровых фильтров.
А Разностные уравнения для цифровых фильтров (ЦФ) задаются соотношениями типа
. (6.1.1)
В соответствии с (6.1.1), ЦФ осуществляют линейное преобразование входного сигнала в виде скалярной последовательности , определённой для дискретных индексов , в выходной сигнал в виде последовательности , . Здесь T – интервал дискретизации, хотя в явном виде разностные уравнения (6.1.1) не зависят от T.
ЦФ полностью определяется набором коэффициентов разностного уравнения – весовыми параметрами , и, как следствие, целыми числами , которые задают порядок ЦФ. Формирование выходной последовательности начинают с дискретного индекса . Значение вычисляется на основе начальных условий для входной последовательности и значений входной последовательности для вычисляется на основе значений входной последовательности и значений входной последовательности и т.д. Выходной сигнал ЦФ (6.1.1) состоит из суммы сдвинутых и взвешенных значений входного сигнала – скользящего среднего входного сигнала и обратной связи – суммы сдвинутых и взвешенных значений выходного сигнала.
ЦФ делятся на два класса. К первому классу относятся нерекурсивные цифровые фильтры (НРЦ-фильтры) или фильтры скользящего среднего, разностные уравнения для которых представляются соотношением
. (6.1.2)
Сигнал с выхода таких фильтров не зависит от обратной связи. Ко второму классу относятся рекурсивные цифровые фильтры (РЦ-фильтры), являющиеся фильтрами общего вида, разностные уравнения для которых определены в (6.1.1); для этих фильтров выходной сигнал зависит от сигнала обратной связи. Следует отметить один частный вид РЦ-фильтров без скользящего усреднения
.
В качестве примера приведём разностное уравнение ЦФ первого порядка в виде цифрового апериодического звена
(6.1.3)
и разностное уравнение ЦФ второго порядка в виде колебательного звена – цифрового резонатора
(6.1.4)
На рис. 6.1.1а приведена иллюстрация выходного сигнала фильтра первого порядка (6.1.3) при действии входного единичного ступенчатого воздействия, полученная в результате математического моделирования. Для расчёта брались значения для . Начальное условие Видно, что дискретные значения выходного сигнала фильтра для стремятся асимптотически к величине Рис. 6.1.1б содержит изображение выходного сигнала фильтра второго порядка (6.1.4) при действии единичного воздействия для При моделировании для параметров фильтра были выбраны значения и начальные условия – Выходной сигнал представляет собой дискретные затухающие колебания, которые стремятся асимптотически к постоянной величине
Рис. 6.1.1а. Выход ЦФ первого порядка при действии ступенчатого
единичного входного сигнала
Рис. 6.1.1б. Выход ЦФ второго порядка при действии ступенчатого
единичного входного сигнала
Возможно дальнейшее обобщение для ЦФ, когда входная и выходная последовательности являются векторами размерности а весовые параметры – матрицами размерности
, , , .
Векторно-матричный фильтр записывается с использованием введённых обозначений
.
Очевидно, любой рекурсивный скалярный фильтр общего вида с помощью новых обозначений для сдвинутых переменных может быть записан в матрично-векторной форме. Действительно, для примера (6.1.4) введём новые переменные и вектор тогда и ЦФ (6.1.4) может быть переписан в виде дискретной системы
(6.1.5)
Система (6.1.5), в свою очередь, может быть представлена в виде матрично- векторного ЦФ первого порядка
, ,
Импульсно-переходные функции ЦФ, зависящие от целочисленных аргументов, позволяют без обратной связи, напрямую, связать значения входного сигнала с выходным. Рассмотрим общий вид ЦФ (6.1.1) в виде РЦ-фильтра. Заметим, что РЦ-фильтр является линейной структурой: если проследить по формулам (6.1.1) образование выходного сигнала для i-го момента, начиная с то нетрудно понять, что для РЦФ выходной сигнал представляется в виде некоторой линейной комбинации значений начальных условий и последовательности входного сигнала Введём весовые коэффициенты которые всегда можно определить из разностных уравнений в виде громоздких зависимостей от целочисленных переменных Запишем выходной сигнал РЦФ с использованием взвешенных сумм
(6.1.6)
Функции двух переменных определённые в дискретных точках, обычно называются импульсно-переходными. Необходимо, однако, иметь в виду, что выходной сигнал зависит от функции и функции учитывающей вклад начальных условий. Если начальные условия являются нулевыми, то формула связи (6.1.6) упрощается:
(6.1.7)
Таким образом, основываясь на (6.1.6), (6.1.7), выходной сигнал ЦФ с помощью импульсно-переходной функции может быть напрямую связан со входным сигналом.
Рассмотрим вычисление импульсно-переходной функции для рекурсивного скалярного фильтра первого порядка
Выразим через затем через и т.д.:
,
…
Из приведённых выкладок заключаем, что для i-го шага справедливо выражение, позволяющее вычислить значение через начальное условие и входную последовательность
(6.1.8)
Исходя из (6.1.8) можно записать формулу для импульсно-переходной функции и функции Очевидно, что нахождение импульсно-переходных функций для ЦФ порядка выше первого сопряжено со сложными выкладками. Для векторно-матричной формы ЦФ первого порядка вывод, аналогичный (6.1.8), не должен измениться:
(6.1.9)
Из (6.1.8), (6.1.9) следует, что импульсно-переходные функции зависят от разности аргументов
и могут быть представлены как функции одного положительного целочисленного аргумента . Выходной сигнал рекурсивного фильтра представляется в виде свёртки. При нулевом начальном условии справедлива компактная запись для выходного сигнала
(6.1.10)
Из (6.1.10) видно, что импульсно-переходная функция фильтра при нулевых начальных условиях тождественно равна реакции фильтра на импульсное единичное входное воздействие:
Для импульсно-переходных функций НРЦ-фильтров, с учетом формул (6.1.10), нетрудно убедиться, что справедливы следующие равенства:
В данном случае импульсно-переходные функции определены в конечном числе точек. Фильтры, имеющие такие импульсно-переходные функции, называются КИХ-фильтрами. РЦ-фильтры имеют импульсно-переходные функции, определённые в бесконечном числе точек; такие фильтры называются БИХ-фильтрами