-
Передаточные функции цифровых фильтров. Передаточные функции на комплексной плоскости.
А Передаточные функции (ПФ) для ЦФ определяются его выходным сигналом в установившемся режиме при действии на входе фильтра единичного дискретного комплексного синусоидального сигнала
где T – интервал дискретизации, частота входного сигнала – В установившемся режиме выходной сигнал ЦФ представляет собой комплексную синусоидальную функцию с частотой входной синусоиды и отличающуюся от входной синусоиды амплитудными и фазовыми искажениями, которые зависят от частоты. Проиллюстрируем этот факт с помощью математического моделирования. Рассмотрим ЦФ первого порядка в виде цифрового апериодического звена (6.1.3) со входным сигналом в виде синусоиды
(6.2.1)
Для расчётов брались значения параметров фильтра начальное условие На рис. 6.2.1 пунктирной линией изображён вычисленный входной синусоидальный сигнал время наблюдения составляет величину сплошной линией изображён вычисленный выходной сигнал ЦФ
Видно, что после непродолжительного переходного процесса наступает установившийся режим – на выходе ЦФ формируется установившийся синусоидальный сигнал с частотой входного сигнала и с амплитудными и фазовыми искажениями. Из анализа графика выходного сигнала можно сделать приближённые оценки для искажённой амплитуды, которая равняется и фазового запаздывания, равного
Рис. 6.2.1. Моделирование установившегося режима для ЦФ
Введём комплексный коэффициент не зависящий от дискретного индекса i и позволяющий связать входной и выходной комплексные синусоидальные сигналы в установившемся режиме:
Коэффициент по определению является передаточной функцией. Отметим, что ПФ является комплексной функцией частоты и может быть представлено в показательной форме
где – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) для ЦФ; – его фазочастотная характеристика (ФЧХ).
Произведём вычисления для сдвинутых комплексных синусоид
Подставив эти выражения в разностное уравнение для ЦФ, получим формулу для передаточной функции ЦФ
(6.2.2)
АЧХ и ФЧХ, которые вычисляются на основе ПФ (6.2.2), позволяют определить амплитудные и фазовые искажения для выходного синусоидального сигнала.
Любому разностному уравнению ЦФ вида (6.1.1) может быть поставлена в соответствие передаточная функция вида (6.2.2). К примеру, для разностного уравнения
передаточная функция для фиксированного значения интервала дискретизации T будет иметь вид
Приведём выражения передаточных функций для ЦФ первого и второго порядка вида (6.1.3), (6.1.4)
(6.2.3)
Очевидно, ПФ является периодической функцией частоты с периодом В самом деле
Для действительных параметров ЦФ , АЧХ симметрична относительно частоты Найквиста Представим ПФ в виде суммы косинусных и синусных членов, положим
.
Рассмотрим частоты, симметричные относительно Заметим, что
Введём функции частоты для действительной и мнимой части числителя ПФ, – для действительной и мнимой части знаменателя ПФ. С учётом того, что все параметры являются действительными, получим следующие соотношения
Из последнего равенства вытекает свойство симметрии АЧХ (ФЧХ)
Как следует из свойств периодичности, ПФ имеет смысл рассматривать для частотного диапазона, удовлетворяющего неравенству Иногда целесообразно введение нормированной частоты и определение ПФ в виде функции введённой нормированной частоты с учётом ограничения Для действительных параметров ПФ можно ограничиться диапазоном В том случае, если значения АЧХ изменяются в широких пределах, удобно для графических рассмотрений применять логарифмический масштаб Изменение АЧХ в десять раз соответствует изменениям АЧХ в логарифмическом масштабе на 20 Дб. Пользуясь таким масштабом, на одном графике можно изобразить значения АЧХ для большого динамического диапазона по амплитуде.
Вычислим АЧХ и ФЧХ для цифрового апериодического звена, сделав необходимые преобразования в (6.2.3):
(6.2.4)
На рис. 6.2.2 представлено изображение АЧХ и ФЧХ из (6.2.4) для нормированной частоты w в диапазоне Параметры ЦФ принимали значения Действительный полюс данного ЦФ располагается на правой полуоси.
Рис. 6.2.2а. АЧХ для цифрового апериодического звена
Рис. 6.2.2б. ФЧХ для цифрового апериодического звена
Видно, что АЧХ симметрична и ФЧХ антисимметрична относительно Оценка амплитудного искажения может быть оценена на основе рис. 6.2.2а; для и частоте Найквиста вычислим нормированную частоту и Оценка фазового запаздывания определяется из рис. 6.2.2б –
Многие практические задачи, связанные с анализом и построением ЦФ, решаются с помощью представлений ПФ на комплексной плоскости. Вводится переменная с обозначением которая представляет собой при фиксированной частоте некоторую точку единичной окружности на комплексной плоскости. Тогда запишем ПФ как функцию отношения полиномов от введённых переменных
(6.2.5)
где комплексные числа являются нулями; – полюсами ПФ; может трактоваться как комплексный коэффициент усиления.
Крайне полезно для задач ЦОС рассмотреть геометрическую интерпретацию ПФ. На рис. 6.2.3 изображена единичная окружность на комплексной плоскости. Угол задаёт положение переменной z на единичной окружности – точку O, стрелкой обозначено направление положительного вращения. Точки с кружками соответствуют обозначению нулей ПФ звёздочки обозначают положение полюсов Модули числителя ПФ определяются длинами векторов соединяющих точку O с нулями Аналогичным образом вводятся модули векторов знаменателя ПФ, которые определяются длинами векторов соединяющих точку O с полюсами Углы определяют угловой наклон векторов и
Рис.6.2.3. Геометрическая интерпретация ПФ на комплексной плоскости
Модуль ПФ АЧХ представится как отношение произведений длин указанных векторов. ФЧХ для ЦФ, исходя из геометрической картины рис. 6.2.3, определится соответствующей угловой суммой для угол задаётся параметром
. (6.2.6)
Рассмотрим пример построения АЧХ с использованием (6.2.6) для ЦФ в виде апериодического звена (6.1.3) с параметрами с расположением действительного полюса на левой полуоси, (рис. 6.2.4а). Нетрудно видеть, что Легко записать формулу для ПФ
На рис. 6.2.4б представлена рассматриваемая АЧХ. Отметим существенную особенность данной АЧХ из-за расположения полюса – при возрастании частоты АЧХ возрастает.
Рис. 6.2.4а. Геометрическая интерпретация ПФ
для апериодического звена на комплексной плоскости
Рис. 6.2.4б. АЧХ для цифрового апериодического звена
с действительным полюсом на левой полуоси
Учитывая возможность рассмотрения ПФ на комплексной плоскости с введённой переменной z, найдём связь между ПФ, как функции z, и импульсно-переходной функцией.
Запишем реакцию линейного фильтра с помощью импульсно-переходной функции, для простоты рассмотрения примем начальные условия нулевыми
.
На основании материалов разд. 2.6 можно сразу записать z-преобразования для выходной последовательности на основе произведения z-преобразований входной и весовой последовательностей
Ясно, каким образом связывается импульсно-переходная функция и передаточная функция: ПФ на комплексной плоскости для принятой переменной z является z-преобразованием для импульсно-переходной функции.